误差理论与数据处理实验

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1、误差理论与数据处理误差理论与数据处理实验报告实验报告姓名：小叶 9101学号：小叶 9101班级：小叶 9101指导老师：小叶目目 录录实验一实验一 误差的基本概念误差的基本概念实验二实验二 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理实验三实验三 误差的合成与分配误差的合成与分配实验四实验四 线性参数的最小二乘法处理线性参数的最小二乘法处理实验五实验五 回归分析回归分析实验心得体会实验心得体会实验一实验一 误差的基本概念误差的基本概念一、实验目的一、实验目的 通过实验了解误差的定义及表示法、熟悉误差的来源、误差分类以及有效 数字与数据运算。 二、实验原理二、实验原理 1、误差的基本概念：所谓误差

2、就是测量值与真实值之间的差，可以用下 式表示 误差=测得值-真值 1、 绝对误差：某量值的测得值和真值之差为绝对误差，通常简称为误 差。绝对误差=测得值-真值2、 相对误差：绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差，因测得值 与真值接近，故也可以近似用绝对误差与测得值之比值作为相对误 差。相对误差=绝对误差/真值绝对误差/测得值2、精度反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度，它与误差大小相对应，因 此可以用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。3、有效数字与数据运算含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位， 那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第

3、一位有效数字。从 第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字， 都叫有效数字。数字舍入规则如下：若舍入部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加 1。 若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位加 1。 若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。 即当末位为偶数时则末位不变，当末位为奇数时则末位加 1。三、实验内容三、实验内容1、用自己熟悉的语言编程实现对绝对误差和相对误差的求解。 2、按照数字舍入规则，用自己熟悉的语言编程实现对下面数据保留四位 有效数字进行凑整。4、实验数据整理实验数据整理（1）用自己熟悉的语言编程实现对绝对误

4、差和相对误差的求解。用自己熟悉的语言编程实现对绝对误差和相对误差的求解。1、分析：、分析：绝对误差：绝对误差=测得值-真值相对误差：相对误差=绝对误差/真值绝对误差/测得值2、程序、程序%绝对误差和相对误差的求解 x=1897.64 %已知数据真值 x1=1897.57 %已知测量值 d=x1-x %绝对误差 l=(d/x)%相对误差3、在在 matlab 中的编译及运行结果中的编译及运行结果原有数据3.141592.717294.510503.215516.378501舍入后数据（二）按照数字舍入规则，用自己熟悉的语言编程实现对下面数据保留四（二）按照数字舍入规则，用自己熟悉的语言编程实现对

5、下面数据保留四位有效数字进行凑整。位有效数字进行凑整。1、分析：、分析：保留四位有效数字可使用 matlab 控制运算精度函数 vpa2、程序：、程序：%对数据保留四位有效数字进行凑整 a=3.14159,2.71729,4.51050,3.21551,6.378501%定义数组， 输入数值b=vpa(a,4)%利用vpa函数保留四位有效数字3、在在 matlab 中的编译及运行结果中的编译及运行结果小结小结第一个实验内容相对简单，也比较容易操作，较难的是matlab的理 解与使用，例如第二道题目还是需要查找资料和广泛学习才能找到比较简 洁的方法，总体上来说细心就可以很好地完成，回顾了基础知识

6、。原有数据3.141592.717294.510503.215516.378501舍入后数据实验二实验二 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理一、一、实验目的实验目的了解误差的基本性质以及处理方法二、实验原理二、实验原理（1）算术平均值）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同， 应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。 1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以 n 而得的值成为算术平均值。设 ，,为 n 次测量所得的值，则算术平均值 1l2lnl121.ni nillllxnn算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若

7、测量次数无限增加，则算术平均值必然趋近于真值。x0L-iv ilx第 个测量值， =ilii1,2,., ; n的残余误差（简称残差）ivil2、算术平均值的计算校核 算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性 质来校核。残余误差代数和为：11nnii iivlnx当为未经凑整的准确数时，则有：x1ni iv01）残余误差代数和应符合：当=，求得的为非凑整的准确数时，为零；1ni ilnxx1ni iv当，求得的为凑整的非准确数时，为正；其大小为求1ni ilnxx1ni iv时的余数。x当，求得的为凑整的非准确数时，为负；其大小为求1ni ilnxx1ni iv时的亏数

8、。x2）残余误差代数和绝对值应符合：当 n 为偶数时，A;1ni iv2n当 n 为奇数时，1ni iv0.52nA式中 A 为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。x（2）测量的标准差）测量的标准差 测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。 1、测量列中单次测量的标准差2 222 121.ni ni nn式中 测量次数（应充分大）n测得值与被测量值的真值之差i21 1ni ivn2、测量列算术平均值的标准差：xn三、实验内容：三、实验内容：1对某一轴径等精度测量 8 次，得到下表数据，求测量结果。序号il/mmiv/mm22/ivmm1234567824.67424.67524.6

9、7324.67624.67124.67824.67224.674假定该测量列不存在固定的系统误差，则可按下列步骤求测量结果。 1、算术平均值 2、求残余误差 3、校核算术平均值及其残余误差 4、判断系统误差 5、求测量列单次测量的标准差 6、判别粗大误差 7、求算术平均值的标准差 8、求算术平均值的极限误差 9、写出最后测量结果 四、实验数据整理：四、实验数据整理： （一）（一） 、求算术平均值、残余误差、求算术平均值、残余误差 1、分析：、分析：（1）算术平均值：121.ni nillllxnn（2）残余误差：-iv ilx（3）校核算术平均值及其残余误差：残差和： 11nnii iivln

10、x残余误差代数和绝对值应符合：当 n 为偶数时，A1ni iv2n当 n 为奇数时，1ni iv（4）测量列中单次测量的标准差：0.52nA2 222 121.ni ni nn（5）测量列算术平均值的标准差xn21 1ni ivn2、程序：、程序：l=24.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,2 4.674;%已知测量值 x1=mean(l);%用mean函数求算数平均值 v=l-x1;%求解残余误差a=sum(v);%求残差和 ah=abs(a);%用abs函数求解残差和绝对值 bh=ah-(8/2)*0.0001;%校核算术平均值及其

11、残余误差,残差和绝对值 小于n/2*A,bh0，故以上计算正确xt=sum(v(1:4)-sum(v(5:8);%判断系统误差（算得差值较小，故 不存在系统误差） bz=sqrt(sum(v.2)/7);%单次测量的标准差 p=sort(l)%用格罗布斯准则判断粗大误差，先将测量值按大小顺序重新排列 g0=2.03;%查表g(8,0.05)的值 g1=(x1-p(1)/bz; g8=(p(8)-x1)/bz;%将g1与g8与g0值比较，g1和g8都小于g0，故判 断暂不存在粗大误差 sc=bz/(sqrt(8);%算数平均值的标准差 t=2.36;%查表t(7,0.05)值 jx=t*sc%算

12、术平均值的极限误差 l1=x1+jx;%写出最后测量结果 l2=x1-jx%写出最后测量结果3、在、在 matlab 中的编译及运行结果中的编译及运行结果实验三实验三 误差的合成与分配误差的合成与分配一、实验目的一、实验目的通过实验掌握误差合成与分配的基本规律和基本方法。二、实验原理二、实验原理（1）误差合成间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量， 按照已知的函数关系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所 得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函 数，这种误差为函数误差。研究函数误差的内容实质上就是研究误差的传 递问题，而对于这种具有确定关系

13、的误差计算，称为误差合成。 随机误差的合成 随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量的标准差或极限误 差来表征其取值的分散程度。 标准差的合成若有 q 个单项随机误差，他们的标准差分别为，其相12q应的误差传递系数为，。1a2aqa根据方和根的运算方法，各个标准差合成后的总标准差为211()2qqiiijijij iijaa a 一般情况下各个误差互不相关，相关系数=0，则有ij21()qii ia极限误差的合成 在测量实践中，各个单项随机误差和测量结果的总误差也常以极限误差的 形式来表示，因此极限误差的合成也很常见。若已知个单项极限误差为，且置信概率相同，则按方和12.q根合成的总极

14、限误差为211()2qqiiijijij iijaa a 系统误差的合成 系统误差的大小是评定测量准确度高低的标志，系统误差越大，准确度越 低；反之，准确度越高。 已定系统误差的合成 已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。在测量过程中，若有 r 个单项已定系统误差，其误差值分别为，1，相应的误差传递系数为，则代数和法进2r1a2ara行合成，求得总的已定系统误差为：1rii ia 未定系统误差的合成 标准差的合成： 若测量过程中有 s 个单项未定系统误差，它们的标准差分别为其相应的误差传递系数为则合成后未定系统误12,.,su uu12,.,sa aa差的总标准差为211()

15、2ssiiijijij iijuaua a uu 当=0，则有ij21()qii iuau极限误差的合成 因为各个单项未定系统误差的极限误差为=1，2，siiietu i总的未定系统误差的极限误差为 etu则可得211()2ssiiijijij iijetaua a uu 当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且=0，则有ij21()si i ieae 系统误差与随机误差的合成 当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差，应将其进行 综合，以求得最后测量结果的总误差。 按极限误差合成 若测量过程中有 r 个单项已定系统误差，s 个单项未定系统误差，q 个单 项随机误差，他们的误差值或极限误差分别为，12r，1e2ese，12.q设各个误差传递系数均为 1，则测量结果总的极限误差为22111qrs ii i iiiiietRtt R各个误差间协方差之和 当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，上式可简化为 22111qrsiii iiie 系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差