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1、普通高中课程标准实验教科书数学 人教版高三新高三新数学数学第一轮复习教案（讲座第一轮复习教案（讲座 35）曲线方程及圆锥曲线曲线方程及圆锥曲线的综合问题的综合问题一课标要求：一课标要求： 1由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等 价转化思想的训练； 2通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 3了解圆锥曲线的简单应用。 二命题走向二命题走向 近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主 要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但 圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计 2007
2、 年高考对本讲的考察， 仍将以以下三类题型为主。 1求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标 系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力； 2与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中 需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的 构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。 预测 07 年高考： 1出现 1 道复合其它知识的圆锥曲线综合题； 2可能出现 1 道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。三要点精讲三要点精讲 1曲线方程 （1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步
3、骤如下：步 骤含 义说 明1、 “建”：建立坐 标系；“设”：设 动点坐标。建立适当的直角坐标系， 用(x,y)表示曲线上任意 一点 M 的坐标。(1) 所研究的问题已给出坐标系，即可 直接设点。 (2) 没有给出坐标系，首先要选取适当 的坐标系。2、现(限)：由限制 条件，列出几何等 式。写出适合条件 P 的点 M 的集合 P=M|P(M)这是求曲线方程的重要一步，应仔细分 析题意，使写出的条件简明正确。3、 “代”：代换用坐标法表示条件 P(M)，列出方程 f(x,y) =0常常用到一些公式。4、 “化”：化简化方程 f(x,y)=0 为最简要注意同解变形。形式。5、证明证明化简以后的方程
4、的 解为坐标的点都是曲线 上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以 不要证明，变形过程中产生不增根或失 根，应在所得方程中删去或补上(即要注 意方程变量的取值范围)。 这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化” （2）求曲线方程的常见方法： 直接法：也叫“五步法” ，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程 的基本方法。 转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点， 另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一
5、个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标 x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。 2圆锥曲线综合问题 （1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元 素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性 质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想 的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法： 设圆锥曲线 Cf(x，y)=0 与直线 ly=kx+b 相交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则 弦长|
6、AB|为：若弦 AB 过圆锥曲线的焦点 F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF| 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法 求出相应的最值注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。 （2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的 判断方法。（3）实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。涉及与圆锥曲线有关的应用问题的
7、解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：实际问题 模型的解 数学模型方程 讨论方程的解 翻译回去 建立坐标系 转化成数学问题 （4）知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有 较强区分度的综合题。 四典例解析四典例解析 题型 1：求轨迹方程例 1 （1）一动圆与圆外切，同时与圆内22650xyx226910xyx 切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。M（2）双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心2 219xyP12,F F12PFF的轨迹方程。M 解析：（1） （法一）
8、设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为( , )M x yR、，1O2O将圆方程分别配方得：，22(3)4xy22(3)100xy当与相切时，有 Me1Oe1|2O MR 当与相切时，有 Me2Oe2| 10O MR 将两式的两边分别相加，得 ，21| 12O MO M即 2222(3)(3)12xyxy 移项再两边分别平方得：222 (3)12xyx两边再平方得：，22341080xy整理得，22 13627xy所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。22 13627xy（法二）由解法一可得方程，2222(3)(3)12xyxyxy1O2OP由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，(
9、 , )M x y1( 3,0)O 2(3,0)O12所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中M1( 3,0)O 2(3,0)O12心在坐标原点，焦点在轴上，x ，26c 212a 3c 6a ，236927b 圆心轨迹方程为。22 13627xy（2）如图，设点坐标各为，在已知双曲线方程中,P M11( ,),( , )P x yM x y，3,1ab9 110c 已知双曲线两焦点为，12(10,0),( 10,0)FF存在，12PFF10y 由三角形重心坐标公式有，即 。11(10)10 3 00 3xxyy 1133xxyy ，。10y 0y 已知点在双曲线上，将上面结果代
10、入已知曲线方程，有P2 2(3 )(3 )1(0)9xyy即所求重心的轨迹方程为：。M2291(0)xyy点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。例 2 （2001 上海，3）设 P 为双曲线y21 上一动点，O 为坐标原点，M 为42x线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是 。 解析：（1）答案：x24y21 设 P（x0，y0） M（x，y） 2xx0，2yy02,200yyxx4y21x24y21442x点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。 题型 2：圆锥曲线中最值和范围问题例 3 （1）设 AB 是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为x
11、ay bab222210()，则F1AB 的面积最大为（ ）Fc10() ，A. B. C. D. bcabacb2（2）已知双曲线的左右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双x ay bab2222100()，曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（ ）|PFPF124A. B. C. 2D. 4 35 37 2（3）已知 A（3，2） 、B（4，0） ，P 是椭圆上一点，则|PA|PB|的xy222591最大值为（ ）A. 10B. 105C. D. 105102 5解析：（1）如图，由椭圆对称性知道 O 为 AB 的中点，则F1OB 的面积为F1AB 面积的一半。又，F1OB 边
12、OF1上的高为，而的最大值是 b，所|OFc1yByB以F1OB 的面积最大值为。所以F1AB 的面积最大值为 cb。1 2cb点评：抓住F1AB 中为定值，以及椭圆是中心对称图形。|OFc1（2）解析：由双曲线的定义，得：，| |PFPFa122又，所以，从而|PFPF124322|PFa|PFa22 3由双曲线的第二定义可得，|PFxa cc a2 2 所以。又，从而。故选 B。xa c5 32 xaa ca，即5 32 ec a5 3点评：“点 P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系成立的条件。利用这个结论得出关于 a、c 的不等式，从而得出 e 的取值范围。5 32a
13、 ca（3）解析：易知 A（3，2）在椭圆内，B（4，0）是椭圆的左焦点（如图） ，则 右焦点为 F（4，0） 。连 PB，PF。由椭圆的定义知：，| |PBPF 10所以。| | |(| |)PBPFPAPBPAPFPAPF101010，所以由平面几何知识，即，| | |PAPFAF(| |)|minPAPBAF10而，|()()AF 3420522所以。(| |)minPAPB105点评：由PAF 成立的条件，再延伸到特殊情形 P、A、F 共线，| | |PAPFAF从而得出这一关键结论。| | |PAPFAF例 4 （1） （06 全国 1 文，21）设 P 是椭圆短轴的一个端点，2 2
14、 211xyaa为椭圆上的一个动点，求的最大值。QPQ（2）（06 上海文，21）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原xOy点，左焦点为,右顶点为,设点(3,0)F (2,0)D.11,2A求该椭圆的标准方程；若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；PPAM过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。O,B CABC（3） （06 山东文，21）已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴 端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为 l。()求椭圆的方程； ()直线 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点，当 AOB 面积取得最大值时，l 求直线 l 的方程
15、。 解析：（1）依题意可设 P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|=，又因为 Q 在椭圆x2 + (y1)2上，所以，x2=a2(1y2)， |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2，=(1a2)(y )2+1+a2 。1 1a21 1a2因为|y|1,a1, 若 a, 则|1, 当 y=时, |PQ|取最大值，21 1a21 1a2a2 a21a21若 10，0，则MBP 为锐角，从而MBN 为钝角，BMBP故点 B 在以 MN 为直径的圆内。解法 2：由（）得 A（2，0） ，B（2，0）.设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则2b0),其半焦距 c=6,22221xy ab,b2=a2-c2=9。2222 122112126 5aPFPF3 5a 所以所求椭圆的标准方程为22 1459xy点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(
