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1、材 料 力 学 讲 义第第 3131 讲讲 教学方案教学方案 能量法（）基 本 内 容1.图乘法。教 学 目 的1. 掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 。2. 掌握图乘法的基本原理与推导过程。3. 掌握图乘法的应用条件。4. 能够熟练地应用图乘法计算指定截面的位移。 5 了解并掌握图乘法的计算与应用技巧 。重 点 、 难 点1. 重点掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 。2. 重点掌握图乘法的基本原理与应用条件。3. 要求熟练掌握图乘法的计算方法与计算技巧。4. 难点是如何正确理解虚功原理。 5 在解决问题时，有时图乘法非常简单，有时却很麻烦。教 学 安 排本次教学计划学时：2 学时。 课堂讨论
2、： 1. 单位载荷法与莫尔积分之间的关系。 2. 虚位移与虚功的基本概念。 3. 如何理解莫尔积分的另一种推导方法。 4莫尔积分与图乘法的应用条件有什么区别？第 三 十 一 讲12- 单单位位载载荷法荷法 莫莫尔积尔积分分单位载荷法单位载荷法：用于求结构上某一点 某方向上位移的方法。如要求图 11-18 刚 架 A 点 a-a 方向的位移，可将该系统 （图 11-18a）真实位移作为虚位移虚位移，而 将单位力单位力（广义力）作用于同一结构上 A 点 a-a 方向的结构作为一个平衡力系 （图 11-18b）,则应用虚功原理虚功原理有：（11-23） llldxQdxMldxN)()()()(1其
3、中，是单位力系统的内力，而 d(l)，d、d是原系统的变形，)(xN)(xM)(xQ现在被看作是虚变形；是原系统上 A 点沿 a-a 方向的真实位移。对于以拉压杆件，则只保留（11-23）式的第一项：（11- lldxN)()(24）若杆的内力=常数，则上式改为：)(xNlNldN l对于有 n 根杆组成的桁架，则有：（11-25） niiilN1对于杆以弯曲为主，则可忽略轴力与剪力的影响，有：（11-26） ldxM)(仿照上述推导，如要求受扭杆某一截面的扭转角，则以单位扭矩作用于该截面，并引起 扭矩，以原结构引起微段两端截面相对扭转角为虚位移，则：)(xTd（11-27） ldxT)(以上
4、诸式中。如求出的为正，则表示原结构位移与所加单位力方向一致。 若结构材料是线弹性的，则有：材 料 力 学 讲 义dxdxdv dxdd dxEIxMdxdxvd)(22 iii iEAlNl)(dxGIxTd)(则式（11-25） 、 （11-26） 、 （11-27）分别化为（11-28） lEIdxxMxM)()(（11-29）iniiiilEANN 1)(（11-30） lGIdxxTxT)()(这些式子统称为莫尔定理,式中积分称为莫尔积分，显然只适用于线弹性结构。当需要求两点的相对位移时，如图 11-19a 所示截面 A 与 B 的相对位移A+B，则只要在 A，B 两点的联线方向上加一
5、对方向相反的单位力（图 11-19b） ，然后用单位载荷法计算，即可求得相对位移，因为这时的，即是 A，B 两点的相对位移。同理，BA11如需要求两截面相对转角，只要在两截面上加方向相反的一对单位力偶矩即可。莫尔积分还可用另一方法导出：如欲求梁上 C 点在载荷 P1，P2，作用下的位移（图 11-20a） ，可在 C 点假想先只有单位力 P0=1 作用（图 11-20b） ，由应变能公式（11-12）（对线弹性材料）得 P0作用的应变能：第 三 十 一 讲（11-31）EIdxxMU2)(2此后将 P1，P2，作用于梁（图 11-20c） ，由于 P1，P2，作用的变形能为。这时，梁的总变形能
6、为： lEIdxxMU2)(211UUU其中是因为已作用在梁上的单位力在 P1，P2，作用后引起的位移上所做的功。1如果将 P1，P2，与 P0=1 共同作用（图 11-20c） ，则梁内弯矩为，此时)()(xMxM应变能为： dx EIxMxMU l2)()(21此两最后状态的应变能相等，故有：1UUdx EIxMxMl2)()(2比较以上诸式，不难得到：（11-32） lEIdxxMxM)()(此即（11-28） 。例题例题 11-8 图 11-21 简单桁架，两杆截面积为 A，材料应力应变关系为：。试求结点 B 的垂直位移V。21 C解解：由结点 B 的平衡条件可解得 BD 杆的应力 、
7、应1变 及伸长 分别为：11l,sin1AP222222 1 1sinACP Ccossincos222211AClPll同样可求得 BE 杆的应力，应变 及伸长 分别为：222l,sincos2AP2222222 2 2sincos ACP C222222sincos AClPl 材 料 力 学 讲 义设 B 点作用有单位力，则与单位力相应的 BD、BE 内的轴力分别为：，sin1 1N sincos 2N由单位载荷法莫尔积分，得 B 点的垂直位移为：cossincos134222221121AClPlNlNlNiiiV若材料是线弹性的，弹性模量为 E，则有：,sin1APsin1EAP E
8、cossincos11EAPlll,sincos2APsincos2EAP Esincos12EAPlll而单位载荷引起的内力不变，故得：。 cossincossin sincos cossin1 )(232222 1 EAPl EAPl EAlNNniiiii V12-4 图图形互乘法形互乘法莫尔积分（11-28）中的 EI（或 GI）为常量，可提到积分号外，只需计算积分： ldxxMxM)()(,如有一个是 x 的线性函数，即可采用图乘法图乘法简化积分计算。)(xM)(xM图 11-22 表示直杆 AB 的图与图，其中可用直线式表达：)(xM)(xM)(xMtan)(xxM则莫尔积分莫尔积
9、分可写成：dxxxMdxxMxM ll)(tan)()(右边积分中，M(x)dx 为微面积，整个积分为 M(x)所围面积 对 y 轴的静矩，若 xc为 M(x)面积的形心到y 轴的距离，则： cxdxxxM)(于是：（11-33）c lcMxdxxMxMtan)()(第 三 十 一 讲其中是图中与图的形心 C 所对应的纵坐标，故（11-32）可写成cM)(xM)(xM（11-34）EIMdxEIxMxMcl)()(这就是计算莫尔积分的图乘法图乘法。 常用的几种图形的面积及 形心位置计算公式见图 11- 23。使用（11-34）时，为了计算方便，可将弯矩分解成几部分，对每一部分使用如图 11-2
10、3 的标准图形叠加求和。有时M(x)为连续光滑曲线，而图为折线，则应以折线)(xM的转折点为界，将积分分成几段，逐段使用图乘法，然后求和。例题例题 11-9 均布载荷作用下简支梁如图 11-24，EI 为已知常量，试求跨度中点 C 的挠度 fc。解解：简支梁受均布载荷作用弯矩图为二次抛物线（图 b） ，求中点挠度时，单位载荷作用于中点，故单位载荷的弯矩图为一折线（图 d） 。用图乘法时应分为两段，以折点为界。AC、CB 两段弯矩图的面积)(xM1、2为：3221241 2832qllql1、2的形心 c1、 c2所对应的图的纵坐标为：)(xMllMMCC325 48521按图乘法，跨中挠度为：。EIM EIMfCC c21213845 325 241243qllql EI材 料 力 学 讲 义
