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1、1函数函数f f(x)(x)一致连续的条件及应用一致连续的条件及应用（数学与（数学与应应用数学用数学 2003 级级 张张志志华华 指指导导教教师师 刘敏思）刘敏思）内容摘要：内容摘要：本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，还将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去关关 键键 词：词：一致连续 拟可导函数 基本初等函数 二元函数AbstractAbstract：This paper is more completely to summarize the methods of judging unifo
2、rm continuity of functions, and apply them to analyze some examples, moreover, we discuss uniform continuity of fundamental primary functions in detail, and extend these methods to the case of functions of two variables.KeyKey words:words: uniform continuity perederivatable functions fundamental pri
3、mary functions functions of two variables1 1引言引言函数的一致连续性是数学分析课程的重要理论，弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键一般的数学分析教材中只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的康托定理，内容篇幅较少，不够全面和深入；虽然有些.G论文对函数一致连续性的判断作了一些拓展和补充，但是显得不够系统和应用得不够广泛因此，对一般数学分析教材中这一部分内容并结合一部分论文资料，作一个比较系统和全面的总结，并作适当的拓展，如将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，无疑这一工作是十分必要和具有现实意义
4、的 2 2预备知识预备知识2.12.1 一致连续和非一致连续的定义一致连续和非一致连续的定义一致连续：设为定义在区间上的函数.若对任给的，存在，使得( )f xI0( )0 对任何，只要，就有,则称,x xIxx( )()f xf x函数在区间上一致连续.( )f xI2非一致连续：存在，对任何正数（无论多么小） ，总存在两点 ，尽管00,x xI，但有.则称函数在区间上非一致连续.xx 0( )()f xf x( )f xI2.22.2 康托定理康托定理.G康托定理1：若函数在闭区间上连续，则在上一致连续.G( )f x , a b( )f x , a b这个定理的证明可应用实数连续性命题中
5、有限覆盖定理或致密性定理来证明但是康托定理只能用来判断有限闭区间上函数的一致连续性，应用不是十分广泛下面.G再介绍几种比较常见的判断函数一致连续性的方法2.32.3 几种常见的判断函数一致连续性的方法几种常见的判断函数一致连续性的方法方法方法 1 1：利用李普希茨条件：利用李普希茨条件若在区间上满足李普希茨条件，即任给，有（其中( )f xI, x yI( )( )f xf yk xy为常数） ，则在区间上一致连续.k( )f xI方法方法 2 2：有限开区间上一致连续的判别法：有限开区间上一致连续的判别法若在有限开区间上连续，且与都存在且有限函数在( )f x( , )a b(0)f a(0
6、)f b( )f x上一致连续.( , )a b类似的有：有限半开半闭区间上一致连续的判别法有限半开半闭区间上一致连续的判别法若在区间（或）上连续，且（或）存在且有限函数( )f x( , a b , )a b(0)f a(0)f b在（或）上一致连续.( )f x( , a b , )a b方法方法 3 3：无穷区间上一致连续的判别法：无穷区间上一致连续的判别法若在上连续，且及极限存在，则在( )f x(,) lim( ) xf xA lim( ) xf xB ( )f x上一致连续.(,) 类似的还有：若在(或)上连续，且(或)极限存在，则在( )f x ,)a (, blim( ) xf
7、 x lim( ) xf x ( )f x(或)上一致连续. ,)a (, b若在 (或)上连续，且及(或及( )f x( ,)a (, )blim( ) xf x lim( ) xaf x lim( ) xf x 3)极限存在，则在(或)上一致连续.lim( ) xbf x ( )f x( ,)a (, )b3.3. 方法的归纳和应用方法的归纳和应用3.13.1 方法的归纳及方法的应用方法的归纳及方法的应用方法方法 1 1：用连续模数来刻画一致连续性：用连续模数来刻画一致连续性若在区间上有定义,则称为函数的连续( )f xI ,( )sup( )()xxf x xIf xf x( )f x模
8、数.定理5 若在区间上有定义,则在上一致连续的充要条件是( )f xI( )f xI. 0lim( )0f 推论 若在区间上连续,若且,则( )f xI ,( )sup( )()( )xxf x xIf xf xg 0lim( )0g 在上一致连续.( )f xI由上述定理易得到一致连续的视察法:的值只与的图象最陡的地方有关.若的图象在某处无限变陡,( )f( )f x( )f x使得,则非一致连续;若在某处最陡,但时,此处的变差( )0f( )f x( )f x0,则一致连续.( )()0f xf x( )f x例 1 在上是非一致连续的,但在上一致连续.1( )f xx(0, )(0)c
9、c ,)(0)cc分析：，在处，图形无限变陡.1( )(0)f xxx0x .时.0,( )f 0( )0f 因此，在任何区间上都是非一致连续的.f(0, )(0)c c 但在区间 上，在点处最陡，且. ,)c 1( )f xxc11( )0(0 )fcc可见，在上一致连续.1( )f xx ,)c 方法方法 2 2：利用一致连续函数的四则运算性质来判断一致连续：利用一致连续函数的四则运算性质来判断一致连续(1)若都在区间上一致连续,则也在上一致连续.( ), ( )f x g xI( )( )f xg xI4(2)若都在有限区间上一致连续,则也在上一致连续.( ), ( )f x g xI(
10、 ) ( )f x g xI若都在区间(含无穷区间)上一致连续且有界,则也在上一致连( ), ( )f x g xI( ) ( )f x g xI续.(3)若在区间上一致连续,且有正的下确界(或负的上确界),则也 在上一致( )f xI1 ( )f xI连续.(4)若在区间上一致连续 ,则也在上一致连续(其中为任意常数).( )f xI( )f xI例 2 若在有限区间上一致连续, 在区间上非一致连续.问: 在( )f xI( )g xI( )( )f xg x上的一致连续性.I分析：假设在上一致连续，又是有限区间的一致连续函数，( )( )f xg xI( )f xI由一致连续函数的四则运算
11、性质知在上一致连续，这与条件矛盾.( ) ( )( )( )g xf xg xf xI所以，在上非一致连续同理有在上非一致连续.( )( )f xg xI( )( )f xg xI方法方法 3 3：复合函数的一致连续性：复合函数的一致连续性设函数在区间上一致连续, 在区间上一致连续,且,则复合函数( )f xI( )g xU( )g UI在区间上一致连续.( ( )f g xU方法方法 4 41：利用两区间之并：利用两区间之并设定义在上，若在和上都连续，则在上一致连续.( )f x , a c( )f x , a b , b c( )f x , a c上述结论可进一步推广为：设区间的右端点为,
12、区间的左端点也为(可为有限或无限区间).若1I1cI2I2cI12,I I在和上都一致连续,则在上一致连续.( )f x1I2I( )f x12IIIU例 3 讨论在上的一致连续性.( )f xx0,)分析：在上连续，设，( )f x0,)0a 当时，设，0xa12120,0,xaxa xx则5,1212xxxx12 1212 ,0, 0( )sup()()xxf x xaf xf x且 ，所以 在上一致连续. 0lim0 ( )f xx0, a当时，xa且.12 12 12,2xxxxxxa0lim02 a所以 在上一致连续.( )f xx ,)a 综上所述，在上一致连续.( )f xx0,
13、)方法方法 5 5：利用数列：利用数列(1)函数 在上一致连续对区间上任意两个数列,当时,有.( )f xII,nnxylim0nnnxy lim()()0nnnf xf y 函数在上非一致连续区间上存在两个数列,当时,但( )f xII,nnxylim0nnnxy .lim()()0nnnf xf y 例 4 在内非一致连续.2( )sinf xx(,) 分析：可取，则.而 2,222nnxnxn0()nnxxn ，故在内非一致连续.()()2nnf xf x2( )sinf xx(,) (2)5函数在有界实数集上一致连续函数将中的柯西列变成中的柯西( )f xE( )f xE1R列.方法方
14、法 6 6：利用渐近线：利用渐近线设在上连续,且(为常数).即时, 有( )f x ,)a lim ( )()0 xf xcxd , c dx ( )f x渐近线，则在上一致连续.ycxd( )f x ,)a 上述结论可进一步推广为6:设在上连续,在上一致连续,即时,且( )f x ,)a ( )g x ,)a x 6，则 在上一致连续.lim ( )( ) xf xg xA ( )f x ,)a 例 5 在上一致连续.1( )ln()f xxex1,)分析：由于，故在1ln()11lim1,lim ln() xxxexkbxexxxe 1( )ln()f xxex该区间有渐近线，所以 在上一致连续.1yxe( )f x1,)方法方法 7 7：利用导数：利用导数若在区间上存在有界导函数,即,有，则在上一( )f xI0,MxI ( )fxM( )f xI致连续.下面还有一个应用得更加广泛的结论6:若在上连续,在内处处可导,且存在，则在( )f x ,)a ( ,)a lim( ) xfxA ( )f x上一致连续. ,)a 例 6 在上一致连续.2( )2f xx(,) 分析：由于，故在上一致连续.2( ),( )1 2xfxfx x 2( )2f xx(,) 方法方法 8 8：利用积分：利用积分设函数在区间上局部可积，且在区间 上有界,则(
