《2018版高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）导学案 新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）导学案 新人教a版必修4（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.4.21.4.2 正弦函数、余弦函数的性正弦函数、余弦函数的性质质( (二二) )学习目标 1.掌握ysin x，ycos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握ysin x，ycos x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的单调区间.知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线和余弦曲线.正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R R，值域都是1，1.对于正弦函数ysin x，xR R 有：2当且仅当x2k，kZ Z 时，取得最大值 1； 2当且仅当
2、x2k，kZ Z 时，取得最小值1. 2对于余弦函数ycos x，xR R 有：当且仅当x2k，kZ Z 时，取得最大值 1；当且仅当x(2k1)，kZ Z 时，取得最小值1.知识点二 正弦、余弦函数的单调性观察正弦函数ysin x，x，的图象. 23 2思考 1 正弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 23 2答案 观察图象可知：当x时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由1 增大到 1； 2，2当x时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由 1 减小到1. 2，32推广到整个定义域可得当x(kZ Z)时，正弦函数ysin x是增函数，函数值由1 增大 22k，22
3、k到 1；当x(kZ Z)时，正弦函数ysin x是减函数，函数值由 1 减小到 22k，322k1.观察余弦函数ycos x，x，的图象.思考 2 余弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案 观察图象可知：当x，0时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由1 增大到 1；当x0，时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由 1 减小到1.3推广到整个定义域可得当x2k，2k，kZ Z 时，余弦函数ycos x是增函数，函数值由1 增大到 1；当x2k，(2k1)，kZ Z 时，余弦函数ycos x是减函数，函数值由 1 减小到1.思考 3 正弦函数、余弦函数的单调区间是
4、什么？答案 ysin x的增区间为，kZ Z，减区间为 22k，22k，kZ Z. 22k，322kycos x的增区间为2k，2k，kZ Z，减区间为2k，2k，kZ Z.梳理 解析式ysin xycos x图象值域1，11，1单调性在，kZ Z 上递增， 22k，22k在，kZ Z 上递减 22k，322k在2k，2k，kZ Z 上递增，在2k，2k，kZ Z 上递减最值当x2k，kZ Z 时，ymax1；当 2x2k，kZ Z 时，ymin1 2当x2k，kZ Z 时，ymax1；当x2k，kZ Z 时，ymin1类型一 求正弦、余弦函数的单调区间例 1 求函数y2sin的单调递增区间.
5、( 4x)解 y2sin2sin，( 4x)(x 4)令zx， 4则y2sin z.因为z是x的一次函数，所以要求y2sin z的单调递增区间，即求 sin z的单调递减区4间，即 2kz2k(kZ Z). 23 22kx2k(kZ Z)， 2 43 2即 2kx2k(kZ Z)，3 47 4函数y2sin的单调递增区间为( 4x)(kZ Z).2k3 4，2k74反思与感悟 用整体替换法求函数yAsin(x)或yAcos(x)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.跟踪训练 1 函数ysin，x的单调递减
6、区间为_.(3x 6) 3，3答案 ， 3，29 9，3解析 由2k3x2k(kZ Z)， 2 63 2得x(kZ Z). 92k 34 92k 3又x， 3，3所以函数ysin，x的单调递减区间为，.(3x 6) 3，3 3，29 9，3类型二 正、余弦函数单调性的应用命题角度 1 利用正、余弦函数的单调性比较大小例 2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(1)sin 196与 cos 156；(2)cos与 cos.(23 5)(17 4)解 (1)sin 196sin(18016)sin 16，cos 156cos(18024)cos 24sin 66.0sin 66，即 si
7、n 196cos 156.(2)coscos cos(4 )cos ，(23 5)23 53 53 55coscos coscos .(17 4)17 4(4 4) 40cos 170，即 cos 870sin 980.命题角度 2 已知三角函数的单调性求参数范围例 3 已知是正数，函数f(x)2sin x在区间，上是增函数，求的取值 3 4范围.解 由2kx2k(kZ Z)，得 2 2x， 22k 22k f(x)的单调递增区间是，kZ Z. 22k 22k 根据题意，得，(kZ Z)， 3 4 22k 22k 从而有Error!解得 00，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范(x 4
8、) ( 2，)围是( )A. B.1 2，5 41 2，3 4C. D.(0，2(0，1 2答案 A解析 取 ，f(x)sin，5 4(5 4x 4)其减区间为，kZ Z，8 5k 5，85k显然，kZ Z，排除 B，C.( 2，) 85k 5，85k取2，f(x)sin，(2x 4)其减区间为，kZ Z，k 8，k58显然，kZ Z，排除 D.( 2，) k8，k58类型三 正、余弦函数的值域或最值例 4 (1)求函数y2cos(2x)，x(，)的值域； 3 6 6(2)求使函数ysin2xsin x 取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数35 4的最大值和最小值.解 (1)sin
9、B.sin 3sin 2( 8)( 10)C.sin sin D.sin 2cos 17 5(2 5)答案 D解析 sin 2coscos，( 22)(2 2)且 0cos 1， 2(2 2)即 sin 2cos 1.故选 D.3.函数ycos，x的值域是( )(x 6)0， 2A. B.32，121 2，32C. D.32，11 2，1答案 B解析 0x，x ， 2 6 62 3cos coscos ，2 3(x 6) 6 y.故选 B.1 2324.求函数y32sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合.1 2解 1sin x1，1 2当 sin x1，x2k，kZ Z，1 21 2 2
10、即x4k，kZ Z，ymax5，此时自变量x的集合为x|x4k，kZ Z；9当 sin x1，x2k，kZ Z，1 21 2 2即x4k，kZ Z 时，ymin1，此时自变量x的集合为x|x4k，kZ Z.5.求函数y2sin(2x)，x(0，)的单调递增区间. 6解 函数y2sin2sin，( 62x)(2x 6)函数y2sin的单调递增区间为y2sin的单调递减区间.由( 62x)(2x 6)2k2x2k，kZ Z， 2 63 2得kxk，kZ Z. 35 6x(0，)，由k0，得x. 35 6函数y2sin，x(0，)的单调递增区间为.( 62x) 3，561.求函数yAsin(x)(A
11、0，0)的单调区间的方法把x看成一个整体，由 2kx2k (kZ Z)解出x的范围，所得 2 2区间即为增区间，由 2kx2k(kZ Z)解出x的范围，所得区间即为 23 2减区间.若0 且单调递减的区间.(x 2 3)2k f(cos ) B.f(sin )f(sin )C.f(sin )f(cos ) D.f(sin )，0， 2 2 2sin sin，即 1sin cos 0，( 2)1f(cos )，f(sin )f(cos )，f(sin )0. 2由f(cos A)0f( )，f(x)在(0，)上单调递增，1 2得 0cos A ，1 2解得A. 3 2当A 时，cos A0. 2f(x)为 R R 上的奇函数，f(x)在(0，)上单调递增，f(x)在(，0)上单调递增，ff0，(1 2)(1 2)由f(cos A)0f，得 cos A ，(1 2)1 215A.2 3当A时，cos A0，f(x)为 R R 上的奇函数， 2f(0)0，f(0)0 成立.综上所述，角A的取值范围是. 3，2 2 3，)
