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1、李 S 老师高三数学暑假班新王牌教育 12不等式（学案）一、基础知识点1. 实数的大小比较 （1）实数有以下性质：任意两个实数之间，一定还有其它实数。（2）对于两个实数 a，b，有且只有以下三种关系之一：ab，ab，ab. （3）实数的大小比较：通过以下作差法来解决： 0abab；0abab；0abab. （4）注意实数运算的符号法则. 2. 不等式的基本性质（1）对称性：.abba（2）传递性：,.ab bcac（3）加法性质：.abacbc 不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号不变.（4）乘法性质：,0,0ab cacbcab cacbc .不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号不变
2、； 不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号反向.（5）同向不等式相加：,.ab cdacbd（6）同向不等式相乘：0,0.abcdacbd（7）1100.abab（8）乘方性质：*0,nnabnNab.（9）开方性质：*0,nnabnNab.3. 一元二次不等式的解法0 0 0 二次函数二次函数2yaxbxc(0)a 的图象一元二次方程一元二次方程20axbxc(0)a 的根有两个相异实根1212,()xx xx有两个相等实根122bxxa 无实根李 S 老师高三数学暑假班新王牌教育 24. 不等式恒成立问题（1） axf在Dx内恒成立 axfmin； axf在Dx内有解 axfmax；（2
3、） axf在Dx内恒成立 axfmax； axf在Dx内有解 axfmin.5. 两个一元二次不等式恒成立问题的解决方法：（1）不等式20axbxc（0a ）对任意实数 x 恒成立0,0.a （2）不等式20axbxc（0a ）对任意实数 x 恒成立0,0.a 6. 一元二次方程实根分布设 02acbxaxxf，方程02cbxax的两根为2121,xxxx，acb42.（1）方程有两个正根 0002121 xxxx；（2）方程有两个负根 0002121 xxxx；（3）方程有一正根一负根 0021xx；（4）方程有两个大于 k 的根 020kfkab；20axbxc(0)a 的解集12 |x
4、xxxx或2bx xa R20axbxc(0)a 的解集12 |x xxx李 S 老师高三数学暑假班新王牌教育 3（5）方程有两个小于 k 的根 020kfkab；（6）方程有一根大于 k 一根小于 k 0kf；（7）方程在区间nm,内有且只有一根 0nfmf；（8）方程两根都在区间nm,内 0020nfmfnabm.7. 分式不等式等价转化为整式不等式求解：. 00, 00abababab8. 绝对值不等式绝对值的定义： 0,0,|aaaaa绝对值|a的几何意义：数轴上实数 a 所对应的点到原点的距离.绝对值不等式：设0a，22|axaxaax；.|22axaxaxax或解绝对值不等式的关键
5、在于“去绝对值”，去绝对值的方法有：分段讨论；两边平方.绝对值不等式：bababa.9. 无理不等式： 等价转化为有理不等式. 转化应注意：根式有意义的条件；不等式两边的符号；两边平方的 条件.（1）baba 0；（2） ba 200baba；（3） ba 20000bababa或李 S 老师高三数学暑假班新王牌教育 410. 高次不等式： 将不等式的一边化为零，另一边多项式分解因式，再用数轴标根法求解.设nxxx21，将高次不等式化为：)0(0)()(21或nxxxxxx.9. 基本不等式（1）02a对任意实数a恒成立，当且仅当0a时取等号.（2）abba222对任意实数a和b恒成立，当且仅
6、当ba 时取等号.（3）abba 2对任意正数a和b恒成立，当且仅当ba 时取等号.其中2ba与ab分别叫正数a和b的算术平均数、几何平均数，故此不等式也称为均值不等式.均值不等式的几何解释：NMCOBAba如图，线段bMBaAM ,，以线段 AB 为直径画圆，分别过圆心 O、点 M 作 AB 的垂线交圆于点 C、N，则abMNbaOC,2，由图可见.2abbaMNOC即（4）3 3abccba对任意正数cba,恒成立，当且仅当cba时取等号.其中3 3abccba和分别叫三个正数cba,的算术平均数、几何平均数.一般，n 个正数的算术平均数不小于它的几何平均数. 10. 基本不等式的应用 （
7、1）定和积最大：设0, 0ba，若baP为定值，则当且仅当ba 时，abS 有最大值.（2）定积和最小：设0, 0ba，若abS 为定值，则当且仅当ba 时，baP有最小值.运用基本不等式 2 求最值应满足三个条件：一正二定三相等. 11. 不等式的证明 不等式的证明方法主要有：比较法；综合法；分析法.李 S 老师高三数学暑假班新王牌教育 5比较法有：作差比较，0baba；作商比较：在已知0, 0ba条件下，. 1baba综合法：从条件出发，运用有关知识及适当变形，推导出结论；推导模式：在“BA”中，可由BDCA得到，也就是寻找已知的必要条件. 分析法：从结论出发，运用有关知识及适当变形，最后
8、寻找到条件.推导模式：要由“BA”，可由ADCB得到，也就是寻找结论成立的充分条件. 其它还有放缩法、反证法、数学归纳法等.二、例题精讲1. (2014三明模拟)若 ab0，则下列不等式一定成立的是()A.1 ab1 bBa2abC.|b| |a|b|1 |a|1Danbn2. (2015九江模拟)若不等式 f(x)ax2xc0 的解集为x|2x1，则函数 yf(x)的图象为()3. (2014浙江卷)已知函数 f(x)x3ax2bxc，且 0f(1)f(2)f(3)3，则()Ac3B3c6C6c9Dc94. 若不等式ax2bx20的解集为 31 21|xx， 则不等式2x2bxa0的解集是_
9、5. (2015大连模拟)已知函数 f(x)(ax1)(xb)，如果不等式 f(x)0 的解集是(1,3)，则不等式f(2x)0 的解集是()A. ,21 23,B. 21,23C. ,23 21,D. 23,21李 S 老师高三数学暑假班新王牌教育 66. (2015淄博模拟)若不等式(aa2)(x21)x0 对一切 x(0,2恒成立，则 a 的取值范围是()A. 231,B. ,231C. 231, ,231D. 231,2317. 已知 a1,1，不等式 x2(a4)x42a0 恒成立，则 x 的取值范围为_8. (2014闽南四校联考)设 a0，若关于 x 的不等式 xax4 在 x(
10、0，)上恒成立，则 a 的最小值为()A4B2C16D19. (2014成都诊断)函数 f(x)lgx 2x，若 f(a)f(b)0，则3 a1 b的最小值为_10. (2013江西高考)下列选项中，使不等式21xxx成立的 x 的取值范围是()A(，1)B(1，0)C(0，1)D(1，)11. (2012浙江，17)设 aR，若 x0 时均有(a1)x1(x2ax1)0，则 a_.李 S 老师高三数学暑假班新王牌教育 712. 已知函数 f(x)x22xax，若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围13. (2014天津新华中学月考)已知不等式 mx22xm22x 的
11、解集为(1,3)（1）若方程 f(x)6a0 有两个相等的根，求 f(x)的解析式；（2）若 f(x)的最大值为正数，求 a 的取值范围李 S 老师高三数学暑假班新王牌教育 917. 解答下列问题：（1）已知 a0，b0，且 4ab1，求 ab 的最大值；（2）若正数 x，y 满足 x3y5xy，求 3x4y 的最小值；（3）已知 x54，求 f(x)4x21 4x5的最大值；（4）已知函数 f(x)4xax(x0，a0)在 x3 时取得最小值，求 a 的值18. 已知函数 axxf.（1）若不等式 f(x)3 的解集为x|1x5，求实数 a 的值；（2）在（1）的条件下，若 f(x)f(x5
12、)m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围李 S 老师高三数学暑假班新王牌教育 1019. 某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为 400 元/米，中间两道隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造单价为 80 元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价20. (2014泰安期末考试)小王于年初用 50 万元购买一辆大货车，第一
13、年因缴纳各种费用需支出 6 万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出 2 万元，假定该车每年的运输收入均为 25 万元小王在该车运输累计收入超过总支出后， 考虑将大货车作为二手车出售， 若该车在第 x 年年底出售， 其销售价格为(25x)万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年)（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收入总支出)李 S 老师高三数学暑假班新王牌教育 11三、巩固练习1. (2014江苏卷)已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0 成立，则实数m 的取值范围是_2. 已知 a0，b0，ab2，则 y1a4 b的最小值是()A.7 2B4C.9 2D53. (2013山东，12)设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当xyz取得最大值时，2x1 y2 z的最大值为()A0B1C.94D34. 若存在实数 x 使|xa|x1|3 成立，则实数 a 的取值范围是_5.
