《数学建模-第二章-初等模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模-第二章-初等模型（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初 等 模 型一、公平的席位分配二、划艇比赛三、人员疏散四、红绿灯模型一、公平的席位分配1、问题：某学校有3个系共200名学生，其个甲系100名，乙系60 名、丙系40名若学生代表会议设20个席位，公平而又简 单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙 三系分别应占有10、6、4个席位。现在丙系有6名学生转入甲乙两系各3名，若仍按比例 分配席位，出现小数按取整原则，重新计算后，甲乙丙三 系的席位为10、6、4席。现在的问题是：因为有20个席位的代表会议在表决提案 时可能出现10：10的局面，会议决定下一届增加1席他们 按照上述方法重新分配席位，计算结果是：甲乙丙三系的 席位为11、7、
2、3席。显然这个结果对丙系太不公平了、因 为总席位增加1席而丙系却由4席减为3席。按比例分配方案的计算结果要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公 平分配席位的指标，并由此建立新的分配方法。系 别学生 人数学生人数 的比例（ %）20个席位的分配21个席位的分配比例分配 的席位参照惯例 的结果比例分配 的席位参照惯例 的结果甲10361.510.31010.81511乙6331.56.366.6157丙3417.03.443.5703总和20010020.02021.000212、指标体系的建立（1）按比例分配不公平的原因设A、B两方人数分别P1和P2，占有席位分别是n1和n2，则两方每个席位
3、代表的人数分别为P1/n1和P2/n2。显然仅当P1/n1=P2/n2，此时席位的分配才是绝对公平的。但是因为人数和席位都是整数，所以通常P1/n1P2/n2，这时席位分配不公平，并且Pi/ni(i=1,2)数值较大的一方吃亏，或者说对这方不公平。 2、指标体系的建立（2）不公平程度的衡量：不妨设P1/n1P2/n2，不公平程度用以下数值衡量：绝对标准 P1/n1 P 2/n2评价：无法区分两种程度明显不同的不公平情况但常识告诉我们，这种情况的公平席位度比起前面已大为改善。改进： 相对标准2、指标体系的建立（3）相对标准的建立（符号假设同上）若： 定义 为A相对不公平值若： 定义 为B相对不公
4、平值方案原则：使这些指标值尽可能小3、分配方案的确定假设：A、B两方已分别占有n1、n2席，利用相对不公平值 rA和rB讨论，当总席位增加1席时，应该分配给A还是B？不失一般性可设 ，即对A不公平当再分 配1个席位时，关于P i/n i(i1，2)的不等式可能有以下3 种情况： （1） ，说明即使A方增加1席，仍然对A不公平，所以这一席显然应分给A方。（2） ，说明当A方增加1席时将变为对B不公平，此时对B的相对不公平值为（3） ，即当B方增加1席时将对A不公平 ，此时对A的相对不公平值为不可能出现 的情况。3、分配方案的确定为什么？归纳：因为公平分配席位的原则是使得相对不公平值尽 可能地小，
5、所以如果则这1席应分给A方；反之则分给B方。3、分配方案的确定模型：当上式成立时增加的l席应分给A方。反之则分给B。4、模型的推广Q值法推广有m方分配席位的情况：设第i方人数为P i ，已占有n i个席位，i=1，2，.，m。当总席位增加1席时，计算：应将这席分给Q值最大的一方。这种席位分配方法称Q值法。5、本问题求解：下面用Q值法重新讨论本节开始提出的甲乙丙三系 分配21个席位的问题。 （1） 先按照比例计算结果将整数部分的19席分配完毕，有n1=10，n26，n33 （2）然后再用Q值方法分配第20席和第21席：第20席：第21席：于是这一席应分给丙系。计算Q1最大，于是这一席应分给甲系；
6、计算，Q2、Q3同上，Q3最大，评论这种方法公平吗？Q值所反映的对第i方的不公平程度：记p为总人数即ppi，n为总席位数，且设第i方 席位ni为按人数比例计算的整数部分即：于是：上式两端分别是增加的1席分给第i方和不分给第i方 时，该方每席位所代表的人数，这两个值越大，对第i方 越不公平。而Qi恰是它们的几何平均值的平方，故Qi能 反映对第i方酌不公平程度，增加的1席应分给Q值最大的 一方。关于公平分席的另一方案新问题：学校共1000名学生，235人住在A宿台，333人住B宿舍，432人住在C宿舍学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数。dHondt方法：将A、B、C各宿
7、舍的人数用1，2，3，.正整数去除 其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字 下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2、3、5个， 这就是3个宿舍分配的席位。这种方法有道理吗?12345A235117.578.358.7547B333166.511183.2566.6C43221614410886.4初 等 模 型一、公平的席位分配二、划艇比赛三、人员疏散四、红绿灯模型二、划艇比赛问题提出：赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双 人艇、四人艇、八人艇四种。八人艇还分重量级(桨手平均体重86公斤)和轻量级(平均体重73公斤)。各种艇虽大 小不同，但形状相似T
8、AMcMahon比较了各种赛艇 19641970年四次2000米比赛的最好成绩(包括1964年和 1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛)，发现它们之间 有相当一致的差别，他认为比赛成绩与桨手数量之间存 在着某种联系，于是建立了一个模型来解释这种关系。1、数据资料各种艇的比赛成绩和规格艇种2000米成绩t（分钟）艇长l （米 ）艇宽b （米 ）l/b 1234平均单人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3双人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.
9、1八人（ 重）5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.72、问题分析赛艇前进时受到的阻力主要是艇浸没部分与水之间的摩擦力。艇靠桨手的力量克服阻力保持定的速度前进。桨手越多划艇前进的动力越大。但是艇和桨手总重量的增加会使艇浸没面积加大，于是阻力加大，增加的阻力将抵消一部分增加的动力。建模目的是寻求桨手数量与比赛成绩(航行一定距离所需时间)之间的数量规律。3、如何抽象问题假设？（1）如果假设艇速在整个赛程中保持不变，那么只需构造一个静态模型，使问题简化为建立桨手数量与艇速之间的关系。注意到在实际比赛中桨手在极短的时间内使艇加速到最大速度，然后把这个速度保持到终点，
10、那么上述假设也是合理的。 （2）从表中可以看出，桨手数n增加时，艇的尺寸l、b及艇重w0都随之增加，但比值l/b和w0/n变化不大。若l/b常数，即各种艇的形状一样，则可得到艇浸没面积与排水体积之间的关系。 （3）若假定w0/n是常数，则可得到艇和桨手的总重量与桨手数之间的关系。此外还需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速的关系等方面作出简化且合理的假定，才能运用合适的物理定律建立需要的模型。4、问题假设（1）各种艇的几何形状相同，l/b为常数；艇重w0与桨手数n成正比，这是艇的静态特性（2）艇速v是常数，前进时受的阻力f与sv2成正比(s是艇浸没部分面积)，这是艇的动态特性。（3）所有桨手(除八
11、人艇轻量级组外)的体重都相同，记作w；在比赛中每个桨手的划桨功率P保持不变，且P与w成正比。5、模型的构成（1）有n名桨手的艇的总功率nP与阻力f和速度v的乘积成正比，即：（2）由假设2、3，有：（3）由假设1：各种艇几何形状相同，若艇浸没面积s与艇的某特征尺寸c的平方成正比，则艇排水体积A必与c的立方成正比，于是有： （4）根据艇重w0与桨手数n成正比，所以艇和桨手的总重量w/w0+nw也与n成正比(八人艇轻量级组除外)，即：（5）由阿基米德定律，艇排水体积A与总重量w/成正比，即：6、模型比赛成绩与速度的关系：速度与人数、重量及艇浸没面积的关系：7、模型应用于本问题对于八人艇的重量级组和轻量级组，分别用vh，vl， wh，wl，sh，sl和th，tl表示其速度、桨手体重、艇浸没 面积和比赛时间。关系1：因为n相同，所以：另外，重量级组桨手体重大，下沉力大，会增加艇 浸没面积，但重量级组的艇身略大，上浮力大，也会抵 消一部分下沉力，减少浸没面积，因而若记 ， 则将非常接近于1(略小于1)，所以：（w173，w286 ，0.975 P 2 / ( n 2 + 1)，因而不会出现这种情况。
