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1、信号与线性系统题解信号与线性系统题解 阎鸿森阎鸿森 第四章第四章 习题答案习题答案4.1 由于复指数函数是 LTI 系统的特征函数，因此傅里叶分析法在连续时间 LTI 系统分析 中具有重要价值。在正文已经指出：尽管某些 LTI 系统可能有另外的特征函数，但复 指数函数是唯一能够成为一切 LTI 系统特征函数的信号。在本题中，我们将验证这一 结论。(a) 对单位冲激响应的 LTI 系统，指出其特征函数，并确定相应的特征值。( )( )h tt(b) 如果一个 LTI 系统的单位冲激响应为，找出一个信号，该信号不( )()h ttT具有的形式，但却是该系统的特征函数，且特征值为 1。再找出另外两个
2、特征ste函数，它们的特征值分别为 1/2 和 2，但不是复指数函数。提示：可以找出满足这些要求的冲激串。(c) 如果一个稳定的 LTI 系统的冲激响应是实、偶函数，证明和实( )h tcostsint该系统的特征函数。(d) 对冲激响应为的 LTI 系统，假如是它的特征函数，其特征值为，( )( )h tu t( ) t确定应满足的微分方程，并解出。( ) t( ) t此题各部分的结果就验证了正文中指出的结论。解：(a) 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函数都是它的特征函数，其特征Q( )( )h tt值 为 1。(b) ，。如果是系统的特征函数，且特征值Q( )()h ttT( )()
3、x tx tT( )x t为 1，则应有。满足这一要求的冲激序列为。( )()x tx tT( )()kx ttkT若要找出特征值为 1/2 或 2 的这种特征函数，则可得：， 特征值为 1/2。1( )( )()2kkx ttkT， 特征值为 2。( )2()kkx ttkT(c) 1cos()2j tj ttee ()()1( )( )( )( )2 11( )( )22jtjtj tjj tjy th tx theedehedehed 为实、偶函数Q( )h t( )( )jjhedhed 1( )()( )cos()2j tj tjy teehedt H j gg同理可证。sint(d
4、) Q( )( )h tu t ( )( )( )y tx t dty tty tt于是 ( )t tce4.2 求下列信号的傅里叶级数表示式。(a) ( )cos4cos6x ttt(b) 是以 2 为周期的信号，且( )x t( ),11tx tet (c) 如图 P4.2(a)所示。 (d) 如图 P4.2(b)所示。( )x t( )x t(e) 如图 P4.2(c)所示。 (f) 如图 P4.2(d)所示。( )x t( )x t图 P4.2解：(a) ，取，则有44661111cos4sin62222j tj tj tj ttteeeejj022233111;0 (2,3)222k
5、aaaaakjj (b) , 则02,T(1)1(1)111( 1)1()22(1)2(1)jkk tjk tjk kae edteeejkjke 2( 1) (1)( )2 (1)k jk tkex teejk (c) ，是奇函数，2T ( )x tQ00a111 11111111( 1)|, (0)22( 1)( 1)( )k jk tjk tjk t kkk jk tjk tkkjateteekjkjkkjjx teekk (d) ，可求得06,/3T 1233 211233 213 011 66 112|sinsin, (0)2226( )()0;jktjktkjktjktjktk k
6、aedtedtkkeekjkjkjkx txtax ta e Q(e) ，是偶函数，04,/2T( )x tQ01 2a0222 2220111 cos(1)(1)422jktjktkttk taedtedtkk (f) ，可求得04,/2T 1222 0112222 01422 011244 11|(2), (0)22311;()();44422jktjktkjktjktjkjkjkjkjktkaak kaedtedtjeeeekjkjkkaask esk ex ta e 4.3 已知某 LTI 系统的单位冲激响应为 4( )th teu t对下列输入信号，求输出响应的傅里叶级数表示式。(
7、)y t(a)( )cos2x tt(b)( )()nx ttn(c)( )( 1)()nnx ttn(d) 如图 P4.3 所示。( )x t图 P4.3解：设则其中分别是和的傅里叶级0( ),jkt k ky tb e0();kkba H kkkab、( )x t( )y t数系数。(a) 其余0111( )cos2,2 ;,2x ttaa 0ka ，其余* 1101111(),4(2)4(2)ba Hbbjj0kb (b) ；( )()nx ttn01,2 ;1,012kTakL L，101242kbkj kL L，(c) ; ( )( 1)()nnx ttn02,;T1 2 1 20,
8、11( )(1)(1)221,jk tjk kkattedtek 偶奇0,1,4kk bkjk 偶奇(d) 由图 P4.3 所示可得：( )x t01,2T011 sin(/2),1,2,22/2kkaakk L L00,01,sin(/2),8(42)kkk bbkkkj k 偶，奇4.4 (a) 证明:以 T 为周期的信号如果是偶函数,即,则其三角函数形式的傅( )x t( )()x txt里叶级数表示式中只含有余弦分量；如果是奇信号，即，则其( )x t( )()x txt 三角函数形式的傅里叶级数中只含有正弦分量。(b) 如果以 T 为周期的信号同时满足( )x t( )()2Tx t
9、x t则称为偶谐信号；如果同时满足( )x t( )()2Tx tx t 则称为奇谐信号。证明偶谐信号的傅里叶级数中只包含偶次谐波；奇谐信号( )x t的傅里叶级数只包含奇次谐波。(c) 如果是周期为 2 的奇谐信号，且，画出的波形，并求( )x t( ),01x ttt ( )x t出它的傅里叶级数系数。解： (a) ，2/2/21( )TjktT kTax t edtT2/2/21( )TjktT kTax t edtT若，则( )()x txtkkaa22200( )()22cosjktjktjktTTT kkk kkk kx ta ea ea ekatT 若，则( )()x txt k
10、kaa 022sink kkx tjatT(b) 222/200/211( )( )( )TTTjktjktjktTTT kTax t edtx t edtx t edtTT若，则( )()2Tx tx t22/2/2001( )( 1)( )TTjktjktkTT kax t edtx t edtT 当 k 为偶数时， 2/202( )TjktT kax t edtT当 k 为奇数时， 0ka 只有偶次谐波同理可证奇谐信号只包含奇次谐波。(c) 奇谐信号， ( ):2,x tT ( )()2Tx tx t ,01( )(1),10ttx ttt 如图 PS4.4 所示。( )x t图 PS4
11、.4， （k 为奇数）102111 012 ()jk tjk tjk t katedtteejkjkjkk ， （k 为偶数）0ka 4.5假如图 P4.5 所示的信号和有如下三角函数形式的傅里叶级数表示式( )x t( )z t0 10 122( )2cos()sin()3322( )2cos()sin()33kk kkk kktktx taBCktktz tdEF 画出信号00 1122( )4()2()cos()sin()233kkk kktkty tadBEF图 P4.5解： 而 Q001;0;3ad002( ) ;2( ) ;kvkvaBEx tdEEz t2( )kdFOz t00
12、 1122( )4()2()cos()sin()233 11( )( )( )2kkk kvvdktkty tadBEFEx tEz tOz t 4.6设是一个周期信号，其基波周期为，傅里叶级数的系数为，用表示下列( )x t0TkAcos(1)(1)ttj Q23sin2(1)(1) ;cos23(2 )(2 )jtt故有 23( )sincos2jx ttt(c) 2sin3(3)(3)u tu tQ22sin3(2 )( )(3)(3)2jtx teu tu t 即 2,3( )0,3jtetx tt(d) 1( )( )2j tx tXed212332121( 1)(1)(1)2j t
13、j tj tj tedededed22212 (cos2cos3 )2 (cos2cos )2() 2j tjtjtj tjttjtteeee ttjtt(e) 0011( )( )1122Wj tj tj tWx tXedededWW 001 2WWj tj tj tWWedededWW212sincossin 2WtWWtWt ttt(f) 由图 P4.9(c)、(d)知，3( ),1jXe 0133102111( )( )222 1 sin(3)cos(3) 1 3(3)j tjj tjj tx tXedeedeedtt tt 4.10 先求出图 P4.10 所示各信号的频谱，再用表示图中
