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1、1 先验分布服从伽马 -逆伽马分布1：取形状参数先验分布为伽马分布：)exp( )(),()(1bmm abbaGamaa，其中 a 为形状参数，b为尺度参数。2: 尺度参数的先验分布为逆伽马分布：vuvvuIGauuexp1)(),()(1，其中 u 为形状参数，v 为尺度参数。则两参数的联合验前分布为：vuvbmm abvuIGabaGamuu aaexp1)()exp( )(),(),(),(11)(为伽马函数：dxexaxa01)(0a2 超参数确定方法上面给出的先验分布中，除了两参数数都取无信息先验分布，其它先验分布都含有未知的超参数。 超参数可以根据经验专家给出，但是更多的时候要利
2、用先验数据确定。通常利用先验矩可以确定超参数。这时，首先要获得参数(对于Weibull 而言，就是m 和）的样本，然后才能去估计参数的样本矩。然而， 已知的先验数据与参数的样本并没有明显的对应关系。在工程应用中，常用自助法（Bootstrap）获得参数的样本。自助法的核心是利用自助样本（或称为再生样本）来估计未知概率测度的某种统计量的统计特性。设),(21ntttT是得到的一组数控系统无故障工作时间样本。通过其运用自助法便可获得m 和的样本。具体步骤如下：1）对),(21ntttT进行有放回抽样，可得到自助样本；2）利用自助样本),(* 2* 1* ntttT进行最大似然估计，得到m ?， ?
3、；3）重复上述两个步骤N 次，得到估计参数样本)?,?( ,),?,?(),?,?(2211NNmmm；4）利用得到的估计参数样本即可求未知参数m,的期望和方差。通过得到的N 组参数样本，分别计算其期望与方差，可以得到验前分布的超参数。当假设先验分布为二元正态时：Niimm N1?1，NiiN1?1，Nimimm N122? 11）（，NiiN122? 11）（，当假设先验分布为伽马-逆伽马分布时，解下面两个方程组便可得。NimiNiim Nabm Nab1221? 11?1）（，NiiNiiNuuvNuv12221? 11)2()1(?11）（3 Bayes方法得到的后验分布)()()|()
4、|( tmtpt；（2.5）dtptM)()|()(；（2.6）由于)(tM不依赖于，在计算的后验分布中仅起到一个正规化因子的作用。假如把)(tm省略，把Bayes 公式改写为如下等价的形式：)()|()|(tpt其中符号代表两边仅差一个常数因子，一个不依赖于的常数因子。则联合后验分布为：mDCiiDiiburmubtvamtmmubvatMmmtLtm)(exp)(1)(),(),|()|,(111（2.7）dmdtmtULULmm|,；（2.8）在这里 ubvaub 是不依赖于,的常量因子， 在以后的积分当中可以消掉，因此可以省略它写成如下形式：mDCiimDiiburmtvamtmmmH
5、)(exp)(1),(111（2.9）对上式进行积分可以得到：dmdmHJULULmm,（2.10）4 参数m,和 MTBF值的点估计和区间估计ULULmmKKdmdmHm E,1)|(（2.11）JE1|; dmdmmHJULULmm,1（2.12）m的双侧区间估计mm,，由以下公式求得：ULLmmd m dmH J2,1（2.13）ULLmmd m dmH J21,1（2.14）同样的方法可以得到的点估计和区间估计ULULmmKKdmdmH JZE,1)|(（2.15）JJZE2|; dmdmHJULULmm,2（2.16）的双侧区间估计,，由以下公式求得：ULLmmd m dmH J2,
6、1（2.17）ULLmmd m dmH J21,1（2.18）MTBF 的点估计和区间估计MTBF=t= m11（2.19）ULULmmKKdmdmHt JZtE,1)|(（2.20）3t |J EZ J; dmdmtHJULULmm,3（2.21）MTBF 的双侧区间估计，由以下公式求得：ULLmmmtdmdmH J11 2,1（2.22）ULLmmmt dmdmH J1 1 21,1（2.23）5 算例 通过新产品现场试验，我们得到一组现场样本T：完全失效数据203 323 934 1583 1947 1961 3206 截尾数据783 1353 1016 3097 3300 通过由自助法得到的m 和样本，我们便可得到样本均值、样本方差：m=1.44，=2251，2m=0.025，2=1.98105 025.044.12abab，5221098.1 )2()1(2962 1uuvuv可得：95.82,6.57ba，134209,3.46vum的点估计（后验期望估计）)(?mEmE=1.35 的点估计（后验期望估计）)(?EE=2888.3 取显著性水平=0.1 ， 则 m 的区间估计：Lm=1.16，Um=1.49 的区间估计：L=2283.4，U=3073.6 MTBF 值的点估计：) ?11(?EEMTBFmt=2648
