图论部分作业辅导

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1、1离散数学离散数学 2012 春学期图论部分形考作业辅导春学期图论部分形考作业辅导下面是本学期第 4，5 次形考作业中的部分题目一、单项选择题一、单项选择题单项选择题主要是第 4 次形考作业的部分题目 第 4 次作业同样也是由 10 个单项选择题组成，每小题 10 分，满分 100分在每次作业在关闭之前，允许大家反复多次练习，系统将保留您的最好成 绩，希望大家要多练几次，争取好成绩需要提醒大家的是每次练习的作业题 目可能不一样，请大家一定要认真阅读题目1设图 G，vV，则下列结论成立的是 ( ) Adeg(v)=2E B deg(v)=E C DEvVv2)deg( EvVv )deg(该题主

2、要是检查大家对握手定理掌握的情况复习握手定理： 定理 3.1.1 设 G 是一个图，其结点集合为 V，边集合为 E，则 VvEv|2)deg(也就是说，无向图 G 的结点的度数之和结点的度数之和等于边数的两倍边数的两倍正确答案：C2设无向图 G 的邻接矩阵为，0101010010000011100100110则 G 的边数为( )A6 B5 C4 D3 主要是检查对邻接矩阵的概念理解是否到位大家要复习邻接矩阵的定义，要记住当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的即当结点 vi与 vj相邻时，结点 vj与 vi也相邻，所以连接结点 vi与 vj的一条边在邻接矩阵的第 i 行第j 列处和第 j

3、行第 i 列处各有一个 1，题中给出的邻接矩阵中共有 10 个 1，故有102=5 条边正确答案：B3如右图所示，以下说法正确的是 ( ) A(a, e)是割边 B(a, e)是边割集 C(a, e) ,(b, c)是边割集 D(d, e)是边割集 先复习割边、边割集的定义：定义定义 3.2.9 设无向图 G=为连通图，若有边集 E1E，使图 G 删除了abcde2E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了 E1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称 E1是 G 的一个边割集边割集若某个边构成一个边割集，则称该边为割边割边（或桥桥）因为删除答案 A 或 B 或 C 中的边后，得到的图是还

4、是连通图，因此答案A、B、C 是错误的正确答案：D注：如果该题只给出图的结点和边，没有图示，大家也应该会做如：若图 G=，其中 V= a, b, c, d, e ，E= (a, b), (a, c) , (a, e) , (b, c) , (b, e) , (c, e) , (e, d)，则该图中的割边是什么？4设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如下图所示，则下列结论成立的 是( )A（a）是强连通的 B（b）是强连通的 C（c）是强连通的 D（d）是强连通的我们先复习强连通的概念：定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另 一个结点可达的，则称图G是单向（侧）

5、连通的；若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图 G 是强连通的正确答案：A问：上面的图中，哪个仅为弱连通的？请大家要复习“弱连通”的概念5设完全图 K 有 n 个结点(n2)，m 条边，当（ ）时，K 中存在欧拉nn 回路 Am 为奇数 Bn 为偶数 Cn 为奇数 Dm 为偶数我们先复习完全图的概念：定义定义 3.1.6 简单图 G=中，若每一对结点间都有边相连，则称该图 为完全图完全图有 n 个结点的无向完全图记为 Kn 由定义可知，无向完全图 Kn中的任一结点 v 到其它结点都有一条边，共有n-1 条边，即每个结点的度数是 n-1，当 n 为奇数时，n-1 为偶数由定理 4.1.1

6、的推论推论一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度 数都是偶数所以，正确答案应该是 C提示：前面提到 n 阶无向完全图阶无向完全图 Kn的每个结点的度数是的每个结点的度数是 n- -1，现在要问：无向：无向 完全图完全图 Kn的边数是多少？的边数是多少？36设 G 是连通平面图，有 v 个结点，e 条边，r 个面，则 r= ( )Aev2 Bve2 Cev2 Dev2本题主要检查大家是否掌握了欧拉定理欧拉定理定理定理4.3.24.3.2（欧拉定理）（欧拉定理） 设连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为 r，则欧拉公式v-e+r =2成立由欧拉公式 v-e+r =2，

7、得到 r = e- v+2 所以，答案 A 是正确的问：如果连通平面图 G 有 4 个结点，7 条边，那么图 G 有几个面？ 7无向简单图 G 是棵树，当且仅当( ) AG 连通且边数比结点数少 1 BG 连通且结点数比边数少 1 CG 的边数比结点数少 1 DG 中没有回路 可以运用教材中的定理 5.1.1，可以作出正确选择因为定理 5.1.1 中给出的图 T 为树的等价定义之一是图 T 连通且 e=v-1，其中 e 是边数，v 是结点数也就是说：无向简单图 G 是棵树，当且仅当 G 连通且边数比结点数少 1正确答案：A注：由上面的树的等价定义可知，结点数 v 与边数 e 满足 e=v-1

8、关系的无向连通图就是树问当树 T 有 6 个结点，那么它有多少条边？8已知一棵无向树 T 中有 8 个结点，4 度，3 度，2 度的分支点各一个，T的树叶数为（ ）A8 B5 C4 D3设无向树 T 的树叶数为 x，因为树叶是度数为 1 的结点 那么，由定理 3.1.1（握手定理） 设 G 是一个图，其结点集合为 V，边集 合为 E，则 ， VvEv|2)deg(得 4+3+2+x=2（8-1），即 x=5 正确答案：B下面的内容主要是第 5 次形考作业的部分题目 二、填空题二、填空题1已知图 G 中有 1 个 1 度结点，2 个 2 度结点，3 个 3 度结点，4 个 4 度结点，则 G 的

9、边数是 也是检查大家对握手定理掌握的情况因为图 G 中有 1 个 1 度结点，2 个 2 度结点，3 个 3 度结点，4 个 4 度结点，即，根据握手定理，边数有 Vvv3044332211)deg(152/30E应该填写：15讨论： 已知图 G 中有 15 条边，3 个 3 度结点，4 个 4 度结点，其它结点的度abcdef4数小于等于 2，讨论图 G 可能的结点数2设给定图 G (如右图所示)，则图 G 的点割集是本题主要是检查大家对点割集、割点的概念理解的情况 定义定义3.2.7 设无向图G=为连通图，若有点集V1V， 使图G删除了V1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删 除了V1

10、的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割集点割集若某 个结点构成一个点割集，则称该结点为割点割点 从图G中删除结点f，得到的子图是不连通图，即结点集f是点割集；同样， 从图G中删除结点c，e，得到的子图也是不连通图，那么结点集c, e也是点割 集而删除其他结点集都没有满足点割集、定义的集合，所以 应该填写：f、c, e提示：若若 f 是图是图 G 的割点，则的割点，则f是图是图 G 的点割集，删除的点割集，删除 f 点后图点后图 G 是连通吗？是连通吗？ 3无向图 G 存在欧拉回路，当且仅当 G 连通且 由定理 4.1.1 的推论推论一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是

11、连通连通的，并且它的结点度结点度 数都是偶数数都是偶数 应该填写：结点度数都是偶数4若图若图 G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集 V 的每个非空的每个非空子集子集 S，在，在 G 中删除中删除 S 中的所有结点得到的连通分支数为中的所有结点得到的连通分支数为 W，则，则 S 中结点数中结点数|S|与与 W 满足的关系式为满足的关系式为 定理 4.2.1 若图 G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集 V 的每个非空子集 S 均有 W(G-S) |S|成立，其中 W(G-S)是（G-S）中连通分支数应该填写：W(G- -S) |S|5设图 G 是有 6

12、个结点的连通图，结点的总度数为 18，则可从 G 中删去条边后使之变成树（边后，可以确定图 G 的一棵生成树）由握手定理（定理 3.1.1）知道图 G 有 182=9 条边，又由定理 5.1.1 中给 出的图 T 为树的等价定义之一是“图 T 连通且 e=v-1”，可以知道： 应该填写：4 6注意：选择题和填空题讲完后还要强调考核说明中第 3 章的第 1 个考核要求： 1理解图的基本概念：结点、边、有向图，无向图、简单图、完全图、结点的度数、图的同构图的同构、子图等，理解握手定理三、判断说明题三、判断说明题51如果图 G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图 G 存在一条欧拉回路 分析：先复习

13、欧拉图的判别定理：定理 4.1.1 的推论：一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数解：解：不正确因为题中的图 G 没有“连通”的条件 问：“如果图 G 是无向连通图，则图 G 存在一条欧拉回路” 是否正确？ 2如右图所示的图 G 不是欧拉图而是汉密尔顿图 解：解：正确 图 G 有 4 个 3 度结点 a，b，d，f，所以图 G 不是 欧拉图图 G 有汉密尔顿回路 abefgdca，所以图 G 是 汉密尔顿图 注意：汉密尔顿图不一定是欧拉图，为什么？ 3设 G 是一个有 7 个结点 16 条边的连通图，则 G 为平面图分析：定理4.3.3 设G是一个有v个结点

14、e条边的连通简单平面图，若v3， 则e3v-6 利用该定理判断本题 解解：不正确因为题中的连通简单平面图有 v=7 个结点，e=16 条边，那么 1637- 6=15，由定理 4.3.3 知道，图 G 不是平面图 问：“完全图 K6是平面图”是否正确？不正确因为完全图 K6有 6 个结点 15 条边，且 1536-6=12，即 e 3v-6 对 K6不成立，所以 K6不是平面图四、计算题四、计算题 1设 G=，V= v1，v2，v3，v4，v5，E= (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)， (v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) ，试 (1) 给出 G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵； (3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形 解解：(1) 因为 V= v1，v2，v3，v4，v5， E= (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)， (v4,v5) ，所以 G 的图形表示为： (2) 分析：本题给定的简单图是无向图， 因此邻接矩阵为对称的即当结点 vi与 vj相 邻时，结点 vj与 vi也相邻，所以连接结点 vi 与 vj的一条边在邻接矩阵的第 i 行第