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1、如果牛顿和莱布尼兹想到过连续函数不一定有导数 ( 而这却是一般情形 )，那么微积分就决不会被创造出来。皮卡分析算术化的过程开始了19世纪的数学，发生了三件意义深远的大事。在 30 年代，罗巴切夫斯基和鲍耶挣脱欧几里得几何的束缚，创造了和它同样相容的几何非欧几何。欧几里得几何的某些公理在那里不再得到满足。它打破了欧几里得几何是先验的、惟一的几何真理的神话，为更多新几何创立打开大门。几乎同时，代数学也发生了类似的革命。以伽罗瓦、哈密顿、格拉斯曼和凯莱为代表的数学家们创立了新的代数。普通代数里的某些公理在那里不再适用。它为群、环、域、布尔代数、约当代数和李代数等抽象代数的创立开辟道路。第三个具有重大
2、意义的事件是分析的算术化。微积分自牛顿、莱布尼兹创立以来，获得空前的发展。但是，它的许多概念还是含混不清的，它的基础仍旧薄弱。达朗贝尔首先察觉到需要有一个极限理论来消除混乱；拉格朗日则在解析函数论中作了有益的尝试；高斯比同时代数学家更早排除直观，对严密性提出更高的要求；最后是柯西把问题大大推进。他的极限理论对分析的发展和级数敛散性的判别都是必不可少的。但是，使数学家最终下决心摒弃凭直观推理而寻求更可靠基础的，是由于德国数学家卡尔维尔斯特拉斯在1874 年发表的一个和直观相悖的惊人发现：一条连续曲线却处处没有切线! 一个艰巨而漫长的分析算术化的过程开始了。早年的波折人们总以为，一个人要想在数学上
3、取得成就，成为第一流的数学家，就必须从小受到良好的数学训练，而且不能把大量的时间和精力花在像中等教育这一类和数学创造无关的事务上。不过，被誉为“现代分析之父”的德国伟大数学家卡尔维尔斯特拉斯可以说是个例外。卡尔维尔斯特拉斯于1815 年 10 月 31 日诞生于德国西北部威斯特伐利亚区的奥斯坦菲尔德。父亲威廉维尔斯特拉斯是受法国雇佣的海关职员，因为当时拿破仑的法国正统治着德国西部和大半个欧洲呢。威廉正直坦率，有一定文化素养，一度曾经当过教师。不过，和高斯的父亲一样，威廉在家里十分严厉而且专断。几乎一直到卡尔 40 岁，父亲还在不顾儿子的才能和爱好，鲁莽地干预他的事务。幸好卡尔在意志和体格上都异
4、常坚强。父亲的干扰使他的事业和生活走了一段曲折的弯路，但是终究没有挡住他登上光荣的顶峰。在卡尔后面，威廉和妻子肖朵拉福斯特又生了彼得和两个女儿：克拉拉和爱丽丝。爱丽丝出世不久，肖朵拉不幸病故。母亲的为人鲜为人知，只知道她对自己的婚姻似乎不大满意。父亲于第二年再娶。继母是个典型的德国家庭妇女，对子女智力的发展说不上有什么影响。维尔斯特拉斯兄弟姐妹四人亲密无间，和睦相处，并且都没有结婚。可怜的彼得一度有过这种念头，可是很快被父亲的厉声斥责所吓退。卡尔降生不久，维尔斯特拉斯全家搬到威斯特伐利亚的韦斯特康登村。父亲在那里任制盐厂的海关官员。韦斯特康登是个默默无闻的小村。一条坑洼不平的道路，两旁疏疏落落
5、居住着二三十户人家，连一所小学也没有。小村今天在德国以至全世界出了名，只因为维尔斯特拉斯在这里度过他的青少年时代，而且他的处女作也是在这里完成的。 14 岁，卡尔进附近帕德博恩城的一所天主教预科学校学习。在学校里，他如鱼得水，自由自在。他和善的性格和过人的智慧深得老师们的喜爱。学习规定的几门功课，他毫不费力，而且每年稳拿 7 项以上奖赏。通常首先是德语，其次是拉丁语、希腊语和数学。所以，在笛卡儿、费马等一大串数学家的后面又加上了维尔斯特拉斯的名字，他们不但是数学的巨匠，而且是语言学的大师。只有书法一项，维尔斯特拉斯没有获过奖。可是，具有讽刺意味的是，命运却安排他要在以后相当长的时间里，教那些刚
6、刚脱离妈妈怀抱的孩童们写字 ! 卡尔学习出色，在实际工作中也身手不凡。从15 岁开始，他就一边学习，一边在一位经营火腿黄油的女商人那里当会计。他把账目管理得井井有条，深得女主人的赏识，以致他的口袋里总不缺零花钱。可是，这一连串的成功给卡尔带来一个意想不到的结果。从预科学校一毕业，不容卡尔有半句分辩，父亲就把他送到波恩大学去学法律。威廉的理由很简单：卡尔能赢得这么多奖状，又能把账目管理得有条有理，表明他聪明过人而且是出色的簿记员。什么是簿记员的顶峰 ?当然是在普鲁士民政部当一名文官。要出任文官，不学法律怎么行呢 ? 卡尔没有欧拉幸运。欧拉在人生的十字路口有伯努利一家出来为他说情，使父亲最终打消要
7、他从事神职工作的念头。卡尔孤掌难鸣。他不能指望恭顺的彼得和两个神经脆弱的妹妹给他帮什么忙。何况老维尔斯特拉斯比欧拉的父亲固执得多。到波恩去的决定，已经没有商量的余地。不过卡尔不是那种性格温顺、可以任人摆布的人。任何外力休想随意规定他生活的道路。父亲精心为他安排的生活到头来被他搞得面目全非，虽然他可能并没有意识到自己是在反抗父亲的意志。波恩是座美丽的城市。鹅卵石铺筑的街道，绿树成荫，红白相间的房舍，到处是丁香、紫罗兰和不知名的鲜花，令人赏心悦目。可是，维尔斯特拉斯心绪恶劣，哪有心思欣赏! 他恨不得到旷野里大喊大叫一场，或者让暴风雨淋个浑身湿透! 虽然是学法律的，他对法律毫无兴趣。他对法律惟一的一
8、次接触，是他坚决反对一个不学无术却善于巴结钻营的家伙被提名为法学博士候选人。每星期他难得去听几次课。他上教室听课远不及到大学对面的小酒馆频繁和准时。因此，他在学业上的进展与他在酒馆里所取得的成功相比，实在是微不足道。几乎每天晚上6 点钟一敲，维尔斯特拉斯就出现在酒馆临街的一张小桌子上，风雨无阻。他用的是那种半加仑装的特大号啤酒杯，喝的时候，谁也不能用一只手轻易地把它举起来。他的烟斗是堪与酒杯匹配的特制的大烟斗。一只大酒杯，一支大烟斗，和他巨人般的身躯一起，显得十分匀称。由于他生性粗犷随和，隔不多久，老主顾们都和他交上了朋友。小酒馆每天顾客盈门，生意兴隆，光顾的大多是波恩大学的学生和教职员。屋子
9、里烟雾迷漫，酒香四溢。不过，和那晶莹透明的琥珀色的当地土制啤酒相比，顾客间为各种热门的话题进行辩论，似乎更吸引他们。辩论是这样紧张精彩，所有的顾客，甚至连酒店老板，都被吸引了过来。这时候，好像这里成了世界的中心。激动起来，有的干脆跳到椅子上去发言。但是，交锋激烈并不伤和气；气氛炽热仍不失诙谐。这正是辩论最为可贵的地方。在这种机智和智慧的较量中，维尔斯特拉斯很快以敏锐的洞察力、闪电般的反应、非凡的准确性和无懈可击的逻辑力量赢得不可战胜的名声。说到他的酒量，同样所向无敌。如果有人竟敢和他比试酒量，那么最后不省人事被抬着回去，谁也不会感到意外。维尔斯特拉斯超群的才智和强壮的体魄得到充分的表现，可惜不
10、是在有用的方向。著名数学家兼物理学家普吕克尔当时倒是在波恩；可是他正忙于他自己的事务。维尔斯特拉斯没有机会拜见他，更无法向他讨教。不过，维尔斯特拉斯在雄辩和痛饮之余，还是阅读了不少数学名著。他和阿贝尔一样，“直接向大师们而不是他们的学生学习”。拉普拉斯的天体力学给他留下深刻印象。这部巨著曾经引导哈密顿走上数学家的光荣道路。这一次，它使维尔斯特拉斯一生对动力学和微分方程组发生兴趣。不过，对卡尔在这方面的进展，父亲并不理解。他只感到深深的悲哀和失望：一家人精打细算，省吃俭用，把全部希望寄托在最聪明能干的卡尔身上，谁想到4 年以后，1838 年夏天，当他从波恩回来，肚子里装满啤酒，两手却空空如也，什
11、么学位也没有得到 ! 良师指路一片一筹莫展的愁云笼罩着维尔斯特拉斯一家。父亲喋喋不休的说教已经毫无效果。看到卡尔麻木不仁的神态，吓得两个妹妹直担心哥哥的神经是不是出了毛病。要给“从身体到灵魂”都被病魔缠住的卡尔安排一条出路真不容易。父亲经不住这次打击，病倒了。一天，一位海关的老朋友闻讯前来慰问。他是个数学业余爱好者，对卡尔的才能和爱好略知一二。他同情卡尔的处境。他以老朋友的身份向老维尔斯特拉斯出主意：让卡尔到附近的蒙斯特学院去学习两年，为参加国家教师资格的考试作准备。虽然这种学习得不到博士学位，如果考试合格，却可以找到一份教师工作。假如卡尔在数学上真有才能，在业余时间还可以花些功夫。老朋友的话
12、说得头头是道，老维尔斯特拉斯动心了。1839年 5 月 22 日，卡尔被蒙斯特学院正式录取。一块天然的璞玉只有经过精心雕琢才能成为璀璨夺目的瑰宝。维尔斯特拉斯事业的真正转机是遇到一位不可多得的良师克里斯托夫古德尔曼。古德尔曼先生是蒙斯特学院的数学教授，身材矮胖，光脑袋，有一双和善的、若有所思的眼睛，使人感到亲切。他是函数论的热心研究者，特别对椭圆函数有独到的见解。受到大名鼎鼎的克列尔的鼓励，他在克列尔创办的纯粹数学与应用数学杂志 ( 克列尔杂志 ) 上发表过一系列这方面的论文。可惜，他把一切都基于函数的幂级数展开上这一数学思想，没有引起人们的重视。古德尔曼根据这条思路辛辛苦苦研究了一辈子，没有
13、取得最后成功。但是，这个重要的思想确实哺育了维尔斯特拉斯。函数的幂级数展开成为他在分析中一切工作的核心。他在晚年谈到自己在分析中所采用的方法的时候常常说：“没有别的，只有幂级数。”它的意义是不难理解的。有一次格丁根大学的一个学生向数学家费利克斯克莱因请教数学发现的秘密。克莱因告诉他：“挑选好一个确定的研究对象，锲而不舍。你可能永远达不到终点，但是一路上准可以发现一些有趣的东西。”古德尔曼向维尔斯特拉斯提供了这样的研究对象；这是一座使他一生受益无穷的宝库。怪不得维尔斯特拉斯在成名以后，总要利用各种机会来表达自己对恩师的感激。古德尔曼是受之无愧的，因为并不是每个教授都能给自己的学生作出这样有价值的
14、启发啊。古德尔曼讲授椭圆函数的第一堂课，教室里一共坐着13 名学生。他感到相当满意，不由得微微一笑。要知道在一年以前，只有两名学生，而且不到一个月，他们都“逃之夭夭”了。他阖上讲义，眼睛一闭，把头微微抬起。这是他开始讲课的习惯姿势。一接触到椭圆函数这个心爱的课题，他的思想就像决堤的洪水，排山倒海，一泻千里。他讲课充满热情，打着激动的手势，可是没有条理。学生们很快被远远抛在后面。他们注视着黑板上一串串龙飞凤舞的公式，显得垂头丧气。只有一个人例外。他就是卡尔维尔斯特拉斯。他瞪大眼睛，感到从来没有过的兴奋。古德尔曼向他展示了一个崭新的天地。他可以发挥无穷的精力和才智，在这片美丽的一望无际的土地上尽情
15、驰骋啦! 第二次上课的时候，只剩下维尔斯特拉斯一人。其余的学生再也不敢问津这块神圣的领地。如果说，偶尔还有人敢于站得远远地向教室窥视，那完全是出于好奇。头两个月，只看见古德尔曼手舞足蹈地对着入了迷的学生滔滔不绝地讲解。后来，讲课变成了讨论。古德尔曼站在讲台上， 维尔斯特拉斯则坐在课桌上而不是椅子上，这样，魁伟的学生和矮胖的老师讨论起来恰好处于“平等”的地位。半年以后，维尔斯特拉斯开始在黑板上大段大段地推导公式了。1841年，也就是在中学试教一年以后，维尔斯特拉斯为取得教师正式证书接受考试。考试分两部分。第一部分是书面考试，要求考生在半年内写出三篇规定的论文；论文通过以后，再接受面试。维尔斯特拉
16、斯提交的论文中有一篇是对中学教学中一问一答式的苏格拉底教授法的总结。这位古希腊伟大学者采用这种方法吸引广大学生，造就了大批人才。后来，维尔斯特拉斯遵循这种方法取得巨大成功，成为全世界高等学府中最优秀的数学教师。最值得注意的是另一篇论文。 这是古德尔曼给维尔斯特拉斯出的一个真正的数学难题： 把椭圆函数表示成幂级数。 这无疑是教师合格考试史上最艰深的问题。古德尔曼在给教育局的报告中这样写道：“这个问题是应考生本人要求并得到考试委员会的同意提出的，一般来说，它对于一个年轻的分析学者是过于困难了。”古德尔曼在叙述了维尔斯特位斯所取得的成果以后指出，从工作的开创性和某些结果的戏剧性可以充分看出作者的数学天才，“只要不被浪费，他必定会对科学的发展作出贡献。为了作者，也为了科学，不要让他去当中学教师而让他在大学中任教，那里的良好条件将使这一点成为可能。 , 该考生将根据天赋的权利而跻身于著名发明家的行列。”古德尔曼为了强调，特地在有的句子下面划上一道粗粗的横线。这样一份热情的评语本来可以改变维尔斯特拉斯的生活进程。可惜，它在正式报告中竟被人莫名其妙地
