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1、用用“ 几何画板几何画板”学作分形学作分形1 1、 几何画板几何画板生成分形树的制作方法生成分形树的制作方法1.1 打开一个新的绘图窗口，再打开一个记录窗口，并将记录窗口和绘图窗口并排放置，在记录窗口中按录制按钮进行记录。1.2 用线段工具作一条铅直线段 AB(标注字母是为了行文方便，实际制作中可不必标注，下同)，用选择工具选择点 B，双击，记为旋转中心；按下 Shift 键，用选择工具选中点 A，从变换菜单中选择旋转命令，在对话框中输入“120”,得点 C；再从变换菜单中选择缩放命令，在对话框中“新”输入“1”，“旧”输入“2”，按下确定，得点 D；选择点 C，在显示菜单中选择“隐藏”命令，
2、隐去点 C(如图 51)。1.3 用选择工具双击点 B，记为旋转中心，按下 Shift 键，用选择工具选中点 D，从变换菜单中选择旋转命令，弹出对话框，输入“120”, 按下确定，得点 E，如图 52。1.4 用作图工具箱中的线段工具连接点 B、D；点 B、E；得线段 BD、BE。1.5 按下 Shift 键，依次选择点 B、D，按下“循环”按钮；再按下 Shift 键，依次选择点B、E，按下“循环”按钮，按下“停止”按钮。按下 Shift 键，选中 A、B、D、E，在显示菜单中按下，隐去点 A、B、D、E，再将记录保存为“分形树”。ABCDABDE图 51 图 52 图 53 1.6 打开一
3、个新绘图板，作一个点，按下 Shift 键，在铅直线上再作第二个点，按下记录对话框中的“快进”键，弹出对话框，“深度”选择“3”，按下确定，得图 3四级分形树，保存为“分形树”。注：为了使学生看到生成过程，只要在步骤 1.6 中按下 Shift 键，同时选择所作两点，按下记录对话框中的“播放”键，弹出对话框，按下确定，便可以看到动态的生成过程。生成过程中，若觉得生成速度偏慢，可选择“快进”键，便立即得到整个分形树。2 2、用、用几何画板几何画板生成生成 KochKoch 曲线的制作方法曲线的制作方法2.1 打开一个新的绘图窗口，再打开一个记录窗口，并将记录窗口和绘图窗口并排放置，在记录窗口中按
4、录制按钮进行记录。2.2 用线段工具作一条水平线段 AB，选择左端点 A，双击，标记为中心。按下 Shift 键，选择右端点 B，从变换菜单中选择缩放命令，弹出对话框，在“新”框条中输入“1”，在“旧”框条中输入“3”，按确定，得点 C。重新按下 Shift 键，选择点 B，返回缩放对话框，在“新”框条中输入“2”，按确定，得点 D。2.3 选择线段 AB，按下显示菜单，按下线段，隐去线段 AB。用线段工具分别连结点A、D，点 C、B，得线段 AD、CB。2.4 选择点 D，双击，标记为旋转中心，按下 Shift 键，选择点 C，从变换菜单中选择旋转命令，弹出对话框，输入“60”，按下确定，得
5、点 E，用线段工具连结 DE、CE。2.5 按下 Shift 键，依次选择点 A、D(点 D、E；点 E、C；点 C、B)，在记录对话框中按下循环。按下 Shift 键，选择点 A、B、C、D、E、F，在显示菜单中按下，隐去点A、B、C、D、E、F，在记录对话框中按下停止。2.6 打开一个新绘图板，作一个点，按下 Shift 键，在水平线上再作第二个点，按下记录对话框中的“快进”键，弹出对话框，“深度”分别选择“1”、“2”、“3”，选择确定，得图 542 级、3 级、4 级 Koch 曲线，保存为“Koch 曲线”。4 级 Koch 曲线3 级 Koch 曲线2 级 Koch 曲线图 543
6、 3、用、用几何画板几何画板生成生成 KochKoch 雪花的制作方法雪花的制作方法 科克(Koch) 雪花：把等边三角形的每一条边三等份，去掉中间的三分之一，在被去掉线段处向外作出两边为此线段三分之一的尖角。重复这一过程得到各个尖角，以至无穷。这个几何分形是数学家赫尔奇冯科克在 1904 年创造的。雪花曲线制作方法雪花曲线制作方法 1 1：3.1 打开一个新的绘图窗口，作点 A，在水平线上作点 B；选择 A，双击，标记为旋转中心，按下 Shift 键，选择点 B，从变换菜单中选择旋转命令，弹出对话框，输入“60”，按确定，得点 C。 3.2 按下 Shift 键，依次选择点 A、C(点 C、
7、B；点 B、A)，按下记录对话框中的“快进”键，弹出对话框，“深度”分别选择“1”、“2”、“3”，选择确定，分得图 55、图 56、图 572 级、3 级、4 级 Koch 雪花。(注意：若依次选择点 A、B，则生成的曲线在开始时所作三角形的内部。)图 55 图 56 图 57作者：江苏省苏州实验中学 周建华雪花曲线制作方法雪花曲线制作方法 2：第第 1 1 阶段阶段：（1）任取两点 AB（2）以点 A 为中心以(1/3)和(2/3)为比例缩放点 B 得点 C、D（3）以点 C 为中心将点 D 旋转 60得到点 E（4）选择点 C、D、E，选择“构造”菜单中的“三角形内部”命令，构造三角形的
8、内部。（5）选择三角形的内部，选择“显示”-“颜色”命令，将三角形内部的颜色标为蓝色。第第 2 2 阶段阶段：新建一个参数以控制迭代深度，取参数初始值为 2第第 3 3 阶段阶段：（1）选择点 A、B、迭代深度，按住键不放，然后选择“变换”菜单中的“深度迭代”命令；（2）用鼠标依次选择点 D、B 建立如图所示 A-D，B-B 的映射。第第 4 4 阶段阶段：（1）选择“结构”-“添加新的映射”命令增加 A-E，B-D 的新映射；（2）类似地增加如图所示映射。（3）选择“结构”-“仅没有点的象”命令隐藏由迭代产生的点。（4）按“迭代”键退出。第第 5 5 阶段阶段：创建工具（1）选择所有对象，然
9、后按工具箱中的“自定义工具”按钮选择“创建新工具”命令，在弹出的对话框中将工具名称更改为“雪花曲线的一边”，按确定退出。第第 6 6 阶段阶段：应用新工具（1）将点 A 以点 B 为中心旋转 60得到点 F；（2）选择工具箱中的“自定义工具”按钮 -“雪花曲线的一边”工具；（3）用鼠标选择点 E、A、迭代深度；（4）再用鼠标选择点 B、F、迭代深度；（5）单击工具箱中的“选择工具”按钮，依次选择点 A、B、F，然后选择“构造”菜单中的“三角形内部”命令，画出三角形 ABC 的内部。（6）隐藏不必要的内容。至此课件全部制作完毕。使用方法使用方法：1、拖动点 A、B 可改变图形大小2、双击“迭代深
10、度”或选择“迭代深度”后按+或-键改变迭代深度可控制“生长”的次数注注：迭代深度=生长次数-14 4、 几何画板几何画板生成生成 SierpinskiSierpinski 三角形的制作方法三角形的制作方法4.1 打开一个新的绘图窗口，再打开一个记录窗口，并将记录窗口和绘图窗口并排放置，在记录窗口中按录制按钮进行记录。4.2 用线段工具作一条水平线段 AB，选择左端点 A，双击，标记为中心，按下 Shift 键，选择点 B，从变换菜单中选择旋转命令，弹出对话框，输入“60”，按确定，得点 C。用线段工具连结点 A、C；点 C、B。4.3 选择线段 AB，用作图菜单中的“中点”命令作出线段 AB
11、的中点 D；用同样的方法，作出线段 AC、BC 的中点 E、F。用线段工具作出线段 DE、EF、DF。4.4 按下 Shift 键，依次选择点 E、F、C，在记录对话框中按下循环；用同样的方法，处理点 A、D、E；点 D、B、F。按下 Shift 键，选择点 A、B、C、D、E、F，在显示菜单中按下，隐去点 A、B、C、D、E、F，在记录对话框中按下停止。4.5 打开一个新的绘图窗口，作点 A，在水平线上作点 B；选择 A，双击，标记为旋转中心，按下 Shift 键，选择点 B，从变换菜单中选择旋转命令，弹出对话框，输入“60”，按确定，得点 C。按下 Shift 键，依次选择点 A、B、C，
12、按下记录对话框中的“快进”键，弹出对话框，“深度”分别选择“1”、“2”、“3”，按下确定，分别得图 4.1、图 4.2、图 4.3。 图 4.1图 4.2 图 4.3用类似的方法，可以用几何画板生成各级 Sierpinski 垫片，试试看！教学实践表明，用几何画板生成分形树，Koch 曲线，Koch 雪花，Sierpinski 三角形等分形图形至少有以下几个好处：(1)可以看到动态的生成过程；(2)作图速度快，作图准确；(3)可以将各级分形图形加以比较。学生由衷地说：科学家研究问题的方法并不神秘，只是他们站得更高，看得更远。 小制作小制作 用几何画板生成各级 Sierpinski 垫片5 5
13、、深度迭代的运用、深度迭代的运用构造构造“奇妙的勾股树奇妙的勾股树”【本课件运行结果】如（图 5-1），单击动画按钮，“奇妙的勾股树”动态变化，颜色也进行不断改变，在展示数学规律的同时给人一种赏心悦目的感觉。【功能运用】通过本课件的学习，您将重点学习几何画板的【深度迭代】功能，在制作的过程中您还可以学习一些基本图形的构造方法以及如何用参数来控制对象颜色的变化。【制作思路】首先构造一个直角三角形，并以斜边为边长构造一个正方形，给正方形填充颜色后，用动态的度量值控制正方形内部填充色的改变，然后用【深度迭代】构造“勾股定理树”。下面就让我们开始一步一步构造“勾股定理树”。【操作步骤】新建画板后，用画
14、线工具画出线段 AB，双击点 A（这样就把点 A 标记为中心），单击线段 AB 和点 B，选择【变换】/【旋转】,打开【旋转】对话框,单击【旋转】按钮(此时默认旋转角度为 90),得到线段 AB;双击点 B标记点 B为中心,旋转线段 AB(旋转角度为 90)得到线段 BA,依次单击点 A和点 B,按快捷键 Ctrl+l,构造线段 AB,此时构造出正方形 ABAB.如(图 5-2)单击选中线段 AB,按 Ctrl+M 组合键,构造出 AB的中点 C(点 C 为选中状态),再依次选中点 A和 B(注意顺序不要搞错啊),选择【构造】/【圆上的弧】,构造出以 AB为直径的半圆,用画点工具在半圆上画出点
15、 D.如图(5-3)依次单击选中点 A、B、A、B，选择【构造】/【四边形内部】,把正方形填充上颜色;在工作区空白处单击后单击选中点 A、D，选择【度量】/【距离】得到A、D 两点间的度量值。如（图 54）依次单击选中正方形的填充色和度量值，选择【显示】/【颜色】/【参数】打开【颜色参数】对话框,按图(5-5)进行设置.(用鼠标托动点 D 看看正方形的填充色有什么改变么)(图 5-5) (图 5-6)选择【图表】/【新建参数】打开【新建参数】对话框,如(图 5-6),单击【确定】得到参数 t1=1. 依次选中半圆和点 C,按组合键 Ctrl+H(隐藏它们,为了后面观察方便);依次单击选中点 A
16、、点 B、参数 t1=1.0，按住 Shfit 键的同时选择【变换】/【深度迭代】弹出【深度迭代】对话框,如(图 5-7)。（图 5-7） （图5-8）当点 A 对应的框为白色是，单击 B，当点 B 对应的框为白色时，单击点 D，结果如（图 58）单击上图中的【结构】，出现结构对话框 如（图 5-9）（图 5-9）单击【添加新的映射】，当迭代对话框出现新的“？”后依次单击点 D 和点A，如（图 5-10）；去掉结构对话框（参考图 5-9）【生成迭代数据表】前的对钩，不显示表格，单击【迭代】按钮，完成迭代。结果如（图 5-11）。（图 5-11）（图 5-10）选中参数 t1=1.00,按键盘上的“”、“”键控制参数 t1值的增减，同时也控制迭代层数的增减，请您自己试试看看迭代的效果是什么样子；最后选中点 D，选择【编辑】/【操作类按钮】/【动画】,生成【动画】按钮,单击它点D 在半圆上
