因式分解(竞赛班)答案

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1、第三讲 因式分解 1第三讲 因式分解因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通 常根据多项式的项数来选择分解的方法【例 1】将 x4+8 分解因式正确的是（ ）A、 （x416）B、 （x2+4） （x24）C、 （x2+4） （x+2） （x2）D、 （x2+2） （x22）2考点：因式分解-运用公式法。分析：先提取公因式，然后套用公式 a2b2=（a+b） （ab） ，再进一步分解因式解答：解：x4+8，=（x416） ，=（x24） （x2+4） ，=（x2） （x+2） （x2+4） 故选 C 点评：本题考查了用公式法进行因式分解的能力，

2、进行因式分解时，若一个多项式有公因式首先提取公因式， 然后再套用公式进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止【例 2】 20、分解因式：（x3） （x1）+1考点：因式分解-运用公式法。 专题：常规题型。 分析：先根据多项式的乘法整理成多项式的一般形式，然后再利用完全平方公式进行因式分解解答：解：（x3） （x1）+1=x24x+3+1=x24x+4=（x2）2点评：本题考查了利用完全平方公式分解因式，先利用多项式的乘法整理成多项式的一般形式是解题的关 键【例 3】分解因式 x42x2+1.解：x42x2+1=（x21）2=（x1） （x+1）2=（x1）2（x+1）2.【例 4】多

3、项式 x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz 因式分解后的结果是（ ）A、 （yz） （x+y） （xz）B、 （yz） （xy） （x+z）C、 （y+z） （x 一 y） （x+z）D、 （y 十 z） （x+y） （x 一 z） 考点：因式分解-分组分解法。 分析：原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的第三讲 因式分解 2多项式（yz）x2+（z2+y22yz）x+z2yy2z，再运用提取公因式法和十字相乘法分解因式解答：解：x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz=（yz）x2+（z2+y22yz）x+z2yy2z

4、=（yz）x2+（yz）2xyz（yz）=（yz）x2+（yz）xyz=（yz） （x+y） （xz） 故选 A 点评：本题考查了用分组分解法进行因式分解，难点是将原式重新整理成关于 x 的二次三项式，改变其结构， 寻找分解的突破口【例 5】分解因式：（x2+3x）22（x2+3x）8= （x+1） （x+2） （x1） （x+4） 考点：因式分解-十字相乘法等。分析：将（x2+3x）看做一个整体，用十字相乘法来分解，对分解后的两个多项式再运用十字相乘法进一步 分解解答：解：（x2+3x）22（x2+3x）8=（x2+3x）4（x2+3x）+2=（x2+3x4） （x2+3x+2=（x+1）

5、（x+2） （x1）（x+4） 点评：同学们要明白对于十字相乘法中 x、a、b 对于代数式，仍然成立【例 6】分解因式：x（x2） （x+3） （x+1）+8= x+2） （x1） （x2+x4） 考点：因式分解-十字相乘法等。 专题：因式分解。分析：分别把（x2）和（x+3） 、x 和（x+1）相乘，然后变为（x2+x6） （x2+x） ，接着把 x2+x 作为一个整体因式分解，然后即可求解解答：解：x（x2） （x+3） （x+1）+8=（x2） （x+3）x（x+1）+8=（x2+x6） （x2+x）+8=（x2+x）26（x2+x）+8=（x2+x2） （x2+x4）=（x+2） （x

6、1） （x2+x4） 故答案为：（x+2） （x1） （x2+x4） 点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，解题的时候重新分组做乘法，同时也注意利用整体思想解 决问题【例 7】分解因式：（x4+x24） （x4+x2+3）+10= （x4+x2+1） （x2+2） （x+1） （x1） 第三讲 因式分解 3考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-运用公式法。 专题：换元法。分析：首先利用换元，令 x4+x2=y，然后根据十字相乘法进行因式分解，最后再将 x4+x2=y，代入进行还原， 得出结果解答：解：令 x4+x2=y，原式=（y4） （y+3）+10=y2y2=（y+1） （y2）将

7、 x4+x2=y 代入，所以原式=（x4+x2+1） （x4+x22）=（x4+x2+1） （x2+2） （x21）=（x4+x2+1） （x2+2） （x+1） （x1） 故答案为为（x4+x2+1） （x2+2） （x+1） （x1） 点评：本题综合考查了十字相乘法和换元法，做这类题必须要记得还原回去，不能得出的结果为（y+1）（y2） 【例 8】 （1）完成下列配方问题：x2+2px+1=x2+2px+（ p2）+（ 1p2）=（x+ p ）2+（ 1p2）（2）分解因式：a2b2+4a+2b+3 的结果是 （a+b+1） （ab+3） 考点：配方法的应用。 专题：配方法。 分析：（1）

8、由于二次项系数为 1，那么组成完全平方式的第三项应是第二项系数的一半，最后的结果应和 原来的代数式相等； （2）题中有 4a，2b，应为完全平方式的第二项，整理为两个完全平方式的差的形式，进而用平方差公式展 开即可解答：解：（1）x2+2px+1=x2+2px+（p2）+（1p2）=（x+p）2+（ 1p2） ；故答案为 p2；1p2；p；1p2；（2）a2b2+4a+2b+3，=（a2+4a+4）（b22b+1） ，=（a+2）2（b1）2，=（a+2+b1） （a+2b+1） ，=（a+b+1） （ab+3） 第三讲 因式分解 4故答案为：（a+b+1） （ab+3） 点评：本题考查了配方

9、法的应用，把所给代数式整理为有完全平方式子的形式是解决问题的突破点；用到的知识点为 a22ab+b2=（ab）2 【例 9】a4+4 分解因式的结果是（ ）A、 （a2+2a2） （a22a+2）B、 （a2+2a2） （a22a2）C、 （a2+2a+2） （a22a2）D、 （a2+2a+2） （a22a+2）考点：因式分解-十字相乘法等。分析：先将 a4+4 变为 a4+4+4a24a2，再将 a4+4+4a2看为一个整体，用完全平方公式分解，原式=（a2+2）24a2，再利用平方差公式分解解答：解：a4+4=a4+4+4a24a2=（a2+2）24a2=（a22a+2） （a2+2a+

10、2）故选 D 点评：在因式分解中，为能够运用平方差公式、完全平方公式，因而可以通过减去一项或再加上相同的项来 解决【例 10】如果 x2x1 是 x3+bx2+1 的一个因式，则 b 的值为（ ）A、2B、1C、0D、2 考点：因式分解的意义。 专题：因式分解。分析：由题意 x2x1 是 ax3+bx2+1 的一个因式，可得 x3+bx2+1=（x2x1） （x+c）将右边展开，然后根据系数相等，求出 b 值解答：解：x2x1 是 x3+bx2+1 的一个因式，x3+bx2+1=（x2x1） （x+c）=x3+（c1）x2（c+1）xcc1=b，c+1=0，c=1，b=2，故选 A 点评：此题

11、主要考查因式分解的意义，要注意因式分解的一般步骤： ：如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式； 如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；如果多项式有两项应思考用平方 差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法； 如果多项式超过三项应思考用完全平方公式 法； 分解因式时必须要分解到不能再分解为止训练题第三讲 因式分解 51.将多项式 x42x23 分解因式，结果正确的是（ ）A、 （x2+3） （x21） B、 （x2+1） （x23）C、 （x2+3） （x1） （x+1）D、 （x2+1） （x3） （x+3）考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-运

12、用公式法。 专题：常规题型。分析：因为31=3，3+1=2，所以利用十字相乘法分解因式即可，但一定要分解到不能分解为止解答：解：x42x23=（x2+3） （x21）=（x2+3） （x1） （x+1） 故选 C 点评：本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是 二项式乘法的逆过程，本题需要进行两次因式分解，分解因式一定要彻底2.分解因式 xy22xy+2y4= （y2） （xy+2） 考点：因式分解-分组分解法。分析：此题需要两两分组，即一二项一组，三四项一组，分别提公因式，即可得到公因式（y2） ，则问题得解解答：解：xy22xy+2y4，=（

13、xy22xy）+（2y4） ，=xy（y2）+2（y2） ，=（y2） （xy+2） 故答案为：（y2） （xy+2） 点评：本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组注意将此题一二项一组，三四 项一组分为两组，再提公因式分解即可3.分解因式：4（ab）2+16（a+b）2考点：提公因式法与公式法的综合运用。分析：先提公因式4，再对余下的多项式利用平方差公式分解，将 ab 和 a+b 看作一个整体解答：解：4（ab）2+16（a+b）2，=4（ab）24（a+b）2，=4（ab）2（a+b）（ab）+2（a+b），=4（ab2a2b） （ab+2a+2b） ，=4（a+3b）

14、 （3a+b） 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其 他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，计算时要注意整体思想的利用和运算符号第三讲 因式分解 6的处理4.4x24xy2+4y3= （2x+y3） （2xy+1） 考点：因式分解-分组分解法。 专题：计算题。分析：首先把3 变为 14，多项式变为（4x24x+1）（y24y+4） ，然后利用公式法分解因式，接着利用提取公因式法分解因式即可求解解答：解：原式=（4x24x+1）+（y24y+4）=（2x1）2（y2）2=（2x1+y2） （2x1y+2）=（2x+y3） （2xy+1） 故答案为：（2x+y3） （2xy+1） 点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，其中直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式， 关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配5.分解因式：4x29y2+12y4= （2x3y+2） （2x+3y2） 考点：因式分解-分组分解法。 分析：当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解本题中有 y 的二次项，y 的一次项，有常数项所以要考虑9y2+12y4 为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第一项利用平方差公式继续分解因式解答：解：4x29y2