热点探究四猜想推理型中考试题的归纳与预测

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1、 第 1 页 共 9 页 热点探究四猜想推理型中考试题的归纳与预测热点一、旋转型试题例 1（2004 河北课改）用两个全等的等边三角形（ 和 ）拼合成了菱ABC D形 ABCD把一个含 60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的顶点与点 A 重合，夹角的两边分别与 AB，AC 重合将三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转 60（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 相交于点 E，F 时（如图 1（1） ） ，通过观察或测量 BE，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 的延长线相交于点 E，F 时（如图1（2） ） ，你在（1）中得到

2、的结论还成立吗？简要说明理由简析：（1）通过观察或测量，可以得出 ，要证明线段相等这一结论，可以BECF想到多种方法，但根据本题的条件与图形特点，可以看出 绕点 A 逆时针旋转得到 （或 绕点 A 顺时针旋转 得到 ） ，利用60ACF D 60E（或 ）实现 较好 （2）同（1） BE 简解：（1） 证明：在 和 中， ，60EC BAECF ， ，A （ASA） BF（2） 仍然成立 说理略简评：此题通过三角板的旋转来构造探索性问题，学生在探索过程中，可以表现出自己在从事观察、实验、数学表达、猜想、证明等数学活动方面的能力，此题关注了学生认识数学对象的过程和方法.本题通过观察或测量等实验操

3、作，猜想出实验结果，再对实验结果进行推理证明，然后对操作的结果进行进一步猜想证明本题用三角形全等进行证明，对学生来说，比较常规，也容易做对例 2（2006 河北课改）如图 2（1） ，一等腰直角三角尺 的两条直角边与正方形GEF 第 2 页 共 9 页 ABCD 的两条边分别重合在一起现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边 EF 的中点 O（点 O 也是 BD 中点）按顺时针方向旋转（1）如图 2（2） ，当 EF 与 AB 相交于点 M，GF 与 BD 相交于点 N 时，通过观察或测量 BM，FN 的长度，猜想 BM，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺 GE

4、F 旋转到如图 2（3）所示的位置时，线段 FE 的延长线与 AB 的延长线相交于点 M，线段 BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N，此时， （1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由简析：这又是一道通过观察和测量进行猜想，然后进行推理证明猜想的试题第（1）问经过测量易得到 要证明线段相等这一猜想，由本题条件与图形特点，易证BMFN明含有线段 的三角形和含有线段 的两个三角形全等，即证 ，BOBMFN 进而得到 第（2）问思维方法同（1） 简解：（1） 证明： 是等腰直角三角形，四边形 是正方形，GE ACD ， 45ABDFOF又 ，MN （2） 仍然成立证明： 是

5、等腰直角三角形，四边形 是正方形，GEF ABCD ， 45DBAOF 13MN又 ， OF BMN简评：本题作为几何题，一改以往图形复杂、推理繁琐的特点，以较为一般、简单、动态的图形为背景，让学生操作（旋转）图形，通过观察、实验、归纳、类比等活动探讨图形运动中的变量和不变量，并对自己的猜想进一步寻求证据，给出证明，较好的考查了学生对几何图形的把握水平.本题与例 1 解法类似，与例 1 不同的是，把 30，60，90的三角板换成一个等腰直角三角板，把菱形换成正方形，绕顶点旋转变成绕三角形斜边中点旋转这两个试题也提醒学生与老师在学习与教学中，多注意三角板在几何图形中旋转的题目，掌握寻找变化中的不

6、变数量关系的思路和方法热点二、平移型试题 第 3 页 共 9 页 例 3（2007 河北课改）在 中， ， 交 的延长线于点ABC CGBA一等腰直角三角尺按如图 3（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 ，一条G F直角边与 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点 AC（1）在图 3（1）中请你通过观察、测量 与 的长度，猜想并写出 与 满FCG足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿 AC 方向平移到图 3（2）所示的位置时，一条直角边仍与 AC 边在同一直线上，另一条直角边交 BC 边于点 D，过点 D 作 DEBA 于点 E此时请你通过观察、测量 DE、DF 与 CG 的长

7、度，猜想并写出 与 CG 之间满足的数量关系，然后证EF明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿 AC 方向继续平移到图 3（3）所示的位置（点 F 在线段 AC 上，且点 F 与点 C 不重合）时， （2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）简析：（1）是课本一道习题的变形，加了三角尺这一背景测量 BF，CG 的长度，可得，既可通过 得到 ，也可通过 得BCGBAG BFCBCG 到 （2）是课本这道习题经典变形（即等腰三角形底边上一点到两腰的距离和等于一腰上的高）后加了三角尺这一背景测量 DE、DF 与 CG 的长度，可得出这一数量关系要证明这一数量关系，可用截长补短的方法此题涉及三

8、DEF条垂线，也可用等面积法；有直角三角形，也还可以用锐角三角函数解决由（2）易得到（3）的结论解：（1） ；BCG证明：在 和 中，AF ， ， ，90BAC （AAS） ， FG（2） ；DE证明：方法一：过点 D 作 DHCG 于点 H（如图 3（4） ） 于点 E，G =90，DHCG，BA四边形 EDHG 为矩形， ， DB CH ， FBC又 ， ，0 第 4 页 共 9 页 （AAS） ， FDCH DFCH ，即 GEGEG方法二：连接 AD，利用 ，ABABSS 得到 方法三： ， ， ，sinsinsinCBA ，BFCD ，()iiECA G（3）仍然成立简评：此题是把等

9、腰三角形部分一道经典题目加上三角尺平移这一背景，原题还有一问，若点 D 在 CB 延长线上，ED，DF ，CG 又有何关系（ ） 相信初三学DFECG生都做过此题，但不一定会做改编后的试题，这就要求学生能从复杂图形中提炼出熟悉的基本图形，便于解决问题，这也要求教师在教学中要注重把典型的例、习题进行改编训练本题（2）问解法二，解法三与解法一不同点是：利用了面积不变与角的不变；相同之处是：都抓住了平移过程中的不变关系 第 5 页 共 9 页 热点三、非变换型图形运动试题例 4（2005 河北课改）如图 4（1） ，4（2） ，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点直角三角尺的一条直

10、角边经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合） ，另一条直角边与CBM 的平分线 BF 相交于点 F（1）如图 4（1） ，当点 E 在 AB 边的中点位置时：通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是_；连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是_；请证明你的上述两个猜想（2）如图 4（2） ，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N，使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系简析：本题第一问为了降低难度，连接了 NE，BF ，同时也是暗示通过证明含

11、有DE，NE 的 与含有 EF，BF 的 全等，证明 ， 这两个D BF DEFB猜想第二问，沿着第一问的证明思路，可以通过全等三角形，做出符合条件的点，同时DE 与 EF 的数量关系便一目了然了简解：（1） ； EN证明：四边形 ABCD 是正方形，点 N，E 分别为 AD，AB 的中点， NBBF 平分CBM ， ，A 904513DF ， ，E 90BEDA NNF ， （2）在 DA 边上截取 （或截取 ） ，连接 ，点 N 就使得E成立（图略） 此时， BF简评：本题的问题由易到难，层次分明，适合于各种学习程度的学生.题目考查了学生用运动的观点探索图形中的数量关系的能力，让学生经历了

12、“问题情境建立模型解释、应用与拓展”的解决问题的过程；本题也是一道经典试题的变式和引申，把它改为了一直角三角形的两直角边，这就隐含了垂直关系例 3，例 4 两道试题的出现体现了经典题目的价值，也再一次提醒教师在教学中应重视经典题目的变形、改编、挖掘，实现举一反三，一题多能的效果热点预测从近几年河北省中考数学试卷中的几何证明试题来看，估计 2008 年的几何证明题很有可能继续沿用将特殊几何图形的变化作为背景，利用平移、旋转、翻折或综合变换的形式呈现问题，综合考查学生合情推理和演绎推理能力相互融合的题目 第 6 页 共 9 页 模拟练习1如图 5（1） ，四边形 ABCD 是正方形，等腰直角三角尺

13、 AMN 的非直角顶点 A 与正方形的顶点 A 重合，斜边 AN 与正方形对角线重合（1）如图 5（2） ，三角尺绕点 A 逆时针旋转，AM 与 BC 交于点 E，AN 与 CD 交于点F，连接 EF _ BAEDF通过测量 BE，EF ，FD 的长度，猜想 与 满足的数量关系是BEDF_；请证明你的上述猜想（2）如图 5（3） ，三角尺绕点 A 继续逆时针旋转，AM 与 BC 的延长线交于点 E，AN 与 CD 的延长线交于点 F，连接 EF通过测量 BE，EF ，FD 的长度，猜想 BE，DF 与 EF满足的数量关系是_2如图 6，已知： 中， ， ，将一块三角尺的直角顶点RtABC 90

14、2ACB与斜边 的中点 重合，当三角尺绕着点 旋转时，两直角边始终保持分别与边 ，ABMMBC交于 ， 两点（ ， 不与 ， 重合） CDE（1）通过观察或测量 MD 与 ME 的长度，猜想 MD 与 ME 满足的数量关系是_；并证明你的猜想（2）求四边形 的面积；C（3）当三角尺绕着点 继续旋转时，两直角边分别与边 ，CB的延长线交于 ，两点通过观察或测量 MD 与 ME 的长A度，猜想 MD 与 ME 满足的数量关系是_（4）若只将原题目中的“ ”改为“ ， （ ） ”其它2ABaAba都不变，请你探究：MD 和 ME 还相等吗?如果相等，请证明；如果不相等，请求出的值:MDE 第 7 页 共 9 页 3取一副三角板按图 7（1）拼接，固定三角板 ，将三角板 绕点 依顺时针方ADCAB向旋转一个大小为 的角（ ）得到 ，如图 7（2）所示试问：045 （1）当 为多少度时，能使得图 7（2）中 ？B（2）当旋转至图 7（3）位置，此时 又为多少度？图 7（3）中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比；（3）连接 ，当 时，探寻 值的大小变化BD045 DBCABDC情况，并给出你的证明4已知四边形 中， ， ， ， ，ABCDABCDABC120， 绕 点旋转，它的