历高考数学概率与分布列汇编

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1、第第 1 1 页页 共共 1414 页页第十一章第十一章 高考概率与统计考点解析高考概率与统计考点解析概率与统计试题是高考的必考内容。当求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率，解此 类题目常应用以下知识 ：(1) 等可能性事件(古典概型)的概率：P(A);)()( IcardAcard nm等可能事件概率的计算步骤：等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数;n 设所求事件 A，并计算事件 A 包含的基本事件的个数;m 依公式求值;( )mP An 答，即给问题一个明确的答复。 (2) 互斥事件有一个发生的概率：P(AB)P(A)P(B);特例：对立事件的概率：P(A)P()

2、P(A)1。AA (3) 相互独立事件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B);特例：独立重复试验的概率：Pn(k)。其中 P 为事件 A 在一次试验中发生的概率，knkk nppC)1 ( 此式为二项式(1-P)+Pn展开的第 k+1 项。 (4) 解决概率问题要注意解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种。第二步，判断事件的运算和事件 积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件。第三步，运用公式求解( )()( )( ) ()(

3、 )( ) ( )(1)kkn k nnmP An P ABP AP B P A BP AP B P kC pp等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n次独立重复试验:第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复。考点考点 1 1 考查等可能事件概率计算考查等可能事件概率计算 在一次实验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件 A 包含的结果有 m 个，那么 P（A）= 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。高考常借助nm不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。 例 1、从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛。

4、(I) 求所选 3 人都是男生的概率；(II)求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率；(III)求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率。解：(I) 所选 3 人都是男生的概率为 3 4 3 61.5C C(II) 所选 3 人中恰有 1 名女生的概率为 12 24 3 63. 5C C C(III) 所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为1221 2424 3 64.5C CC C C考点考点 2 2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算 不可能同时发生的两个事件 A、B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为

5、A+B，用概率的 加法公式计算。)()()(BPAPBAP 事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生的概率没有影响，则 A、B 叫做相互独立事件，它 们同时发生的事件为。用概率的法公式计算。BA BPAPBAP 高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。例 2、设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照 顾的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为 0.1，乙、丙都需要照顾的概率为 0.125， （）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率

6、。 解：（）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A、B、C，1 分 则 A、B、C 相互独立，由题意得：P（AB）=P（A）P（B）=0.05 P（AC）=P（A）P（C）=0.1，P（BC）=P（B）P（C）=0.1254 分 解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5 所以， 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是 0.2、0.25、0.56 分（）A、B、C 相互独立，相互独立，7 分A B C、 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为10 分()( ) ( ) ( )0.8 0.75 0.50.3P A B CP A P B P

7、C这个小时内至少有一台需要照顾的概率为12 分1()1 0.30.7pP A B C 考点考点 3 3 考查对立事件概率计算考查对立事件概率计算必有一个发生的两个互斥事件 A、B 叫做互为对立事件。即或。用概率的减法公 AB BA式计算其概率。 _ 1APAP高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。例 3、甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为。52 21与（）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率； （）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率。第第 2 2 页页 共共 1414 页页解：（）依题意，记“甲投一次命中”为事件

8、 A， “乙投一次命中”为事件 B，则.53)(,21)(,52)(,21)(BPAPBPAP“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为BABA.21 52 21 53 21)()()(BAPBAPBABAP答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为.21（）事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为1009 53 53 21 21P甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率 .10091 100911PP答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为.10091考点考点 4 4 考查独立重复试验概率计算考查独立重复试验概率计算 若在次重复试验中，每次

9、试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做次nn 独立重复试验。若在 1 次试验中事件 A 发生的概率为 P，则在次独立惩处试验中，事件 A 恰好发n生次的概率为。k knkk nnPPCkP1高考结合实际应用问题考查次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率的计算方法和化归转化、nk 分类讨论等数学思想方法的应用。 例 4、某会议室用 5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同。假定每盏灯能否正常照明只与 灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1，寿命为 2 年以上的概率为 p2。从使用 之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。 （

10、）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率； （）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率； （）当 p1=0.8，p2=0.3 时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换 4 只灯泡的概率（结果保留两 个有效数字） 。解：（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为需要更换 2 只灯泡的概率为,5 1p ;)1 (2 13 12 5ppC（II）对该盏灯来说，在第 1、2 次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为 p1(1-p2)，故所求的概率为);1 ()1 (212 1pppp

11、（III）至少换 4 只灯泡包括换 5 只和换 4 只两种情况，换 5 只的概率为 p5（其中 p 为（II）中所求， 下同）换 4 只的概率为（1-p） ，故至少换 4 只灯泡的概率为41 5pC.34. 042.34. 04 . 06 . 056 . 06 . 07 . 08 . 02 . 0,3 . 0, 8 . 0).1 (45 32 2141 55 3只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当ppppppCpp考点考点 5 考查随机变量概率分布与期望计算考查随机变量概率分布与期望计算1.1.离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布列列 离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随

12、机变量 可能取的值为， 取每一个值1x2xix（1，2，）的概率P（）=，则称下表.ixiixiP为随机变量 的概率分布，简称 的分布列. 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1），1，2，;（2）=1.0iPi21PP 常常见见的的离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布列列： （1 1）二二项项分分布布 次独立重复试验中，事件A 发生的次数 是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，n，n 并且，其中，随机变量 的分布列如下：knkk nkqpCkPP)(nk 0pq1 01knPn nqpC00111n nqpCknkk nqpC0qpCnn n 称这

13、样随机变量 服从二项分布，记作，其中、为参数，并记：),(pnBnp.),;(pnkbqpCknkk n（2 2）几几何何分分布布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数 是一个取值为正整数的离散型随机 变量， “”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生 .k 随机变量 的概率分布为： 123k Ppqp2q p1kqp 2.解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生概率 的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。 以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。 例

14、 5、某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的机会， 一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第 4 次为止。如果李明 决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加 驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率。解：的取值分别为 1，2，3，4。 ，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故 P（）=0.6。11 ，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故2.28. 07 . 0)6 . 01 ()2(P=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故

15、 .096. 08 . 0)7 . 01 ()6 . 01 ()3(P=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故 .024. 0)8 . 01 ()7 . 01 ()6 . 01 ()4(P 李明实际参加考试次数 的分布列为1x2xixPP1P2iP第第 3 3 页页 共共 1414 页页1234 P0.60.280.0960.024 的期望 E=10.6+20.28+30.096+40.024=1.544。 李明在一年内领到驾照的概率为 1(10.6)(10.7)(1-0.8)(10.9)=0.9976。考点考点 6 考查随机变量概率分布列与其他知识点结合考查随机变量概率分布列与其他知识点结合 1、考查随机变量概率分布列与函数结合考查随机变量概率分布列与函数结合 例 6、某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4，0.5，0.6，且 客