5、不变性与对称性原理

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1、 5、不变性与对称性原理益川敏英说：“科研包含科学与技术两个方面的研究。成功的基础科学研究，就像音乐、美术一样更加容易对人们的生产与生活方式产生影响。未来的时代， 需要我们探索社会与宇宙发展的规律性，这些规律可能会影响我们未来十年、二十年甚至是更长时间内的发展”。对称的不变性规律也许就算得上这类影响。格林说，费曼是用两句话来概括现代科学的基本点的：一、世界是由原子组成的。二、对称性是宇宙规律的基础。原子是球状，当然也是对称的。格林解释所谓的对称性操作，是并不要求保持你的观测不变，而是关心这些支配的定律本身在对称性下是否不变。关于对称性和守恒定律的研究一直是物理学中的一个重要领域，对称性与守恒定

2、律的本质和它们之间的关系一直是人们研究的重要内容。在经典力学中， 从牛顿方程出发，在一定条件下可以导出力学量的守恒定律，粗看起来， 守恒定律似乎是运动方程的结果但从本质上来看， 守恒定律比运动方程更为基本，因为它表述了自然界的一些普遍法则，支配着自然界的所有过程，制约着不同领域的运动方程对称性制约作用量的形式，然而物理学家并不可能先验地知道我们这个世界所涉及到的全部对称性， 而已经确实知道的对称性又不足以完全确定作用量的形式。尽管作用量可能具有的形式已经大大受到限制，但他们仍然可以具有许许多多种可能的形式，物理学家们不得不采用试探性的方法，根据物理上的可能性依次考察每一个作用量的候选者，这种试

3、探性的方法艰巨而繁难，而且很难说是有成效的。1916 年诺特（ AENoether ）提出一个著名定理， 给探寻作用量的形式带来了曙光。诺特定理是说， 作用量的每一种对称性都对应一个守恒定律， 有一个守恒量。 对称和守恒这两个得要概念是紧密地联系在一起的。经典物理范围内的对称性和守恒定律相联系的诺特定理后来经过推广，在量子力学范围内也成立在量子力学和粒子物理学中，又引入了一些新的内部自由度, 认识了一些新的抽象空间的对称性以及与之相应的守恒定律，这就给解决复杂的微观问题带来好处，尤其现在根据量子体系对称性用群论的方法处理问题，更显优越。物理学中的对称性和守恒律：不可观测量数学变换守恒定律绝对位

4、置空间位移rr动量守恒绝对时间时间平移tt能量守恒绝对空间方向转动rr角动量守恒绝对的左和右空间反演rr宇称守恒 (P) 绝对的电荷正负电荷反演ee电荷共轭 ( 守恒 )(C) 绝对的时间方向时间反演tt时间反演 ( 守恒 )(T) 全同粒子置换玻色 - 费米统计状态的绝对位相规范变换iqe相空间转动电荷不变在经典力学中，我们所熟悉的这种对应关系是；时间平移对称性（时间平移不变性）对应于能量守恒；空间旋转对称性（空间各向同性）对应于角动量守恒。1、时间平移对称性和能量守恒时间平移对称性要求物理定律不随时间变化，即昨天、 今天和明天的物理定律都应该是相同的。如果物理定律随时间变化，例如重力法则随

5、时间变化，那还想利用重力随时间的可变性，就可以在重力变弱时把水提升到蓄水池中去，所需做的功较少；在重力变强时把蓄水池中的水泄放出来，利用水力发电， 释放出较多的能量，这是一架不折不扣的能创造出能量的第一类永动机，这是与能量守恒定律相违背的，这就清楚地说明时间平移对称性与能量守恒之间的联系。2、空间位移的不变性导出动量守恒定律，1 F1 21rr2F2假定两球的相互作用势能为)(21rrV，V只与两球的相对位置有关 , 与绝对位置无关。1r2r设球 1 受力为 :1211)(rVrrVF1r2r球 2 受力为 : 2212)(rVrrVF两球的绝对位置不可分辨( 或者说， 两球受力与两球所在坐标

6、原点设在那里无关 ), 假定原点离球很远, 可近似的看作21rr, 合力 : 01121rVrVFFF( 即:21FF, 牛顿第三定律) 亦即 : 0 dtdPF,( 动量 P是恒量 ) 。 绝对位置的不可测不但导出动量守恒 , 也能导出牛顿三定律。考虑两个质点组成的系统，它们的相互作用热能为U，U是这两个质点位置r1、r2的函数， U （r1、r2），由于物理定律具有空间平移对称性，质点的绝对位置是一个不可观测量，质点间的相互作用势能只能依赖质点间的相对位置，即U（r1r2）。将质点1 和质点 2 移动相同的小量， 相互作用热能U不变，则相互作用力做功的总和为零。由于位移相同， 因此相互作用

7、力之和为零，即两个质点之间的作用力与反作用力大小相等，方向相反， 且在一条直线上， 这正是牛顿每三定律。而我们知道， 在力学范围内牛顿第三定律与动量守恒是互为因果的。 可见空间平移对称性与能量守恒之间的联系。至于空间各向同性与角动量守恒，考虑两个质点组成的系统，固定质点1，将质点2 以质点 1 为中心移动一小段弧长S，如果相互作用力存在切向力分量，则相互作用热能改变为U=f 切 S。空是各向同性意味着两个质点相互作用势能只与它们之间的距离有关，与两者联线在空间的取向无关，所以移动操作不改变相互作用热能，从而U=0，于是相互用力切向分量f 切 =0 ，或者说两质点的相互作用力沿两者的联线， 这与

8、“角动量守恒” 是等价的，从而空间各向同性与角动量守恒是联系在一起的。诺特定理引导物理学家们去寻找新领域中的守恒定律和守恒量，由此确定其中的对称性，从而获得作用量的形式和基本定律；反过来， 如果知道了使一个给定的作用量保持不变的对称变换， 从而也就可以知道相应的守恒定律和守恒量。这样使得物理学的基础研究有法可循而变得富有成效。基本物理方程具有某些对称性要求，如 Lorentz不变性， 广义协变性等， 这些不变性对方程具有很强的约束，对解的性质有重要作用，所以很重要。 方程的对称性与现实世界的中的几何对称性是两回事，其关系是方程与解之间的关系。对称意味着稳定，意味着一个系统的稳定，反之不对称意味

9、着不稳定。一个稳定的系统是可以用许多的物理学量来描述的，所以说一种对称对应一个守恒量。当我们考虑物理学发展中起主导作用那方面内容的时候，我们发现整个物理学贯穿着这样一个猜想对性性。正如我们看到的那样：牛顿力学具有伽利略群的对称性，狭义相对论具有庞加莱群的对称性，广义相对论具有光滑的、一一对应的完全变换群的对称性。“从对称性出发到方程再到实验”这个连锁方法建立起来的相对论，有着惊人的数学美而让人信服，远比其它可能的方案更为简单，而且奇迹般地被无数事实所证实。在科学理论中，对称性涉及到两个概念：变换和不变性。麦卡里斯特说：“一个结构在一定的变换下是对称的，只要该变换能够使该结构保持不变。”每一个变

10、换不变性都含有两个基本关系式 , 即不变量与变换式。在科学发展的常规阶段, 不变量与变换式是互相适应的,它们共同构成某种变换不变性。而在科学革命阶段, 常常会不断地发现一些新的不变量及新的变换式 , 它们常和旧的不变量或变换式发生深刻的矛盾。科学革命的任务之一就是用新的变换不变性来代替旧的变换不变性。变换不变性方法的实质也就在于, 抓住不变量与变换式之间的内在矛盾, 并通过不断扩大变换不变性来解决两者的矛盾, 从而达到变革旧理论、 发展新理论的目的 , 达到物理学基本规律逐渐扩大统一性的目的。传统的对称性简单地说就是：从不同角度看某个事物都是一样的。相对性原理就是对称性的一种描述和反映。没有这

11、种、对称性，我们的物理学理论，不要说美丽，就是存在都会变得艰难。比如空间和时间的对称性，使我们的实验室可以建立在任何地点，实验可以在任何时间做，都不会影响实验结果。我们无法想象实验结果与实验的时间和地点有关，会给物理学带来什么灾难。在量子理论中，对称性也无所不包不在，如局域对称性，但这些对称有别与传统的对称。现代物理学理论研究要把发现不变性, 寻求变换式及适用范围作为目标。自从本世纪初,在发现物理规律的洛仑兹变换不变性之后, 物理学界逐渐认识到变换不变性概念和物理学对称性概念的内在联系, 以及变换不变性方法对现代物理学发展的极端重要性。可以说 ,现代物理学的每一次重大进展, 从狭义相对论、广义

12、相对论、量子力学、量子场论, 到规范场理论,都是以变换不变性思想为模线, 发展起来的。 狄拉克更是指出, 理论物理学进一步前进的方向是继续扩大变换不变性。目前, 物理学已经建立了将定域同位旋对称性与对称性自发破缺相结合的弱电统一理论, 正在向更进一步的大统一理论目标前进。而从整体对称性到定域对称性的深入 , 是达到这一目标的最有希望的探索方向。早期的爱奥尼亚哲学家就相信：“不管所有的变化和转化，必然存在某种恒久的东西。”例如，古希腊的水（泰勒斯）、气（阿那克希米尼）、火（赫拉克利特） 、存在（巴门尼德） 、四原素（恩培多克勒） 、奴斯（阿那克萨哥拉）或原子（德谟克利特），近代的能（笛卡儿） 、

13、物质（培根） 、最小作用（费马和莫培督）和光速（爱因斯坦）。尽管本格森断言不变量这样的信念是古代的错误，但是不变性原理（物理学定律的数学形式相对于坐标系的变换保持不变）作为对自然的认识工具在科学中是相当成功的。尤其是爱因斯坦，更是把它运用到炉火纯青的地步，以致杨振宁干脆把不变性原理称为“对称支配相互作用原理”，并认为它已经从被动角色转化为主动角色，在20 世纪的物理学中起了举足轻重的作用。规范场论纲领直接继承了量子场论纲领的全套基本理念，它是场本体论的、量子化的，只是在理论结构上，加上了规范对称性（规范原理）的严格限制。任何规范理论的核心是具有规范对称性的群和它在决定理论动力学（以相关的守恒定

14、律为标志）时的关键作用。 对称性可以有不同的类型： （1）如果一个对称性的表象在不同时空点都是同样的，称作全域对称性。 （2）否则，称作局域对称性。 （3）如果相关可观察度在本质上是属于外部时空的，则是外部对称性。 （4）否则，就是内禀对称性。现代规范理论正是从外部对称性到更普遍的局域内禀对称性的推广。这第一步是由杨振宁和米尔斯所采用的，当时他们想要寻找假定同位旋守恒定律的后果。同位旋概念是由N. Kemmerz在 1938 年引入的，同位旋被设想为在进行相互作用时与电子自旋相类似。它在随后的核力理论和规范场理论中都有重要作用。同位旋守恒是核力对电荷无关性这一事实的重新表述。按海森伯的说法，

15、质子和中子是在一个抽象的同位旋空间中的同一个粒子的两个状态。既然电荷守恒与相不变性有关，那么通过类比，人们就会猜想强相互作用在同位旋转动中有不变性。从科学哲学的观点看，在规范不变性的思想中所体现的是，客观的物理事件独立于我们所选择的描述框架，即物理学定律具有某种深刻的内在不变性。同位旋不变性属于规范不变性之列（同位旋空间属于内部空间的一种）。杨与米尔斯所得的结果意义重大。1905 年 爱 因 斯 坦 发 表 的 论 动 体 的 电 动 力 学 ， 被 学 界 称 为 “ 相 对 论 ” ，因 为 这 种 理 论 依 据 的 两 条 原 理 分 别 是 ：力 学 相 对 性 原 理 和 光 速

16、不 变 原 理 。 “ 事实 上 ， 爱 因 斯 坦 本 来 宁 愿 把 他 的 理 论 称 为 不 变 量 理 论 ， 而 不 称 为 相 对 论 。 但是 ， 相 对 论 这 个 名 称 强 加 于 他 了 。 他 把 它 叫 做 所 谓 的 相 对 论 表 示 了 他 的不 快 ” 。【1】二十世纪三十年代以后，由于加速机器技术和探测技术的发展，利用粒子的碰撞和粒子相互作用的衰变，实验物理学家相继发现了许多新粒子，这些粒子中只有极少数的几个是理论上预言的， 绝大多数的粒子是突出其来的，它们在性质上和相互关系上表现出极大的差别，极大地丰富了人们对于粒子世界的认识，形成了庞大的粒子物理领域。而对如此庞大的粒子家庭， 亟须把它们整理出次序来。物理学家们分析实验资料，找出许多守恒量和守恒定律，这些为认识粒子世界的对称性和探索其中的基本定律准备了条件。理论物理发展到分析力学的阶段，最小作用量原理和欧拉- 拉格朗日方程，哈密顿方程逐渐升起， 经过普朗克写出狭义相对论力学的拉氏量