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1、武汉理工大学 考试试题纸（ A 卷）课程名称 线性代数 专业班级 统考 闭卷题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分得分备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一、单项选择题（每题 3 分，共 15 分）1、有限个同阶正交矩阵的乘积一定为（ ）A 正交矩阵 B 奇异矩阵 C 初等矩阵 D 单位矩阵2、若方阵 A 与方阵 B 等价，则（ ）A、r(A)=r(B) B、| E-A|=| E-B|C、|A|=|B| D、存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B3、 1， 2， 3， 4， 5 中任取 4 个向量的部分组皆线性无关，则A 1 =0；B 1， 2 线性相关； C
2、1， 2， 3 线性无关； D 1， 2， 3， 4 ， 5 线性无关4、二次型 是（ ）二次型321),( xxxf A 负定 B 不定 C 半负定 D 正定5、设 A 是 mn 矩阵，X 是任意一个 n 维非零向量，则 AX 必为非零向量的充要条件是 A 的（ ）A列向量组线性无关 B列向量组线性相关C行向量组线性无关 D行向量组线性相关二、填空题（每题 3 分，共 15 分）1、若方程组 仅有零解，则 的取值范围是 。02zyxkk2、向量 ， 则 。 T)1,( ),(|2x3、设 A 为 3 阶方阵，|A|=-3，则|-3A|= 。4、若 =2 是可逆方阵 A 的一个特征值，则方阵（
3、 ） -1 必有一个特征值为 。 21A5、矩阵 ，则 。01321A1 三、设 1=（-2，1，0，3） ， 2=（1，-3，2，4） ， 3=（3，0，2，-1 ） ， 4=（2，-2 ，4，6） 。问向量组是否线性相关；若无关，说明理由。若相关，求出一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。 （10 分）四、求线性方程组的通解 （10 分）213204141xx五、计算行列式：1、 ；（7 分） 2、 。 （8 分）13042D nnxyD 0六、设 A 是 mn 矩阵，证明：1、方程组 与方程组 同解，即它们有相同的解集；（5 分）x0AxT2、当秩 ， 为对称正定阵。 （5 分）
4、nR)(七、已知三阶矩阵 A 的特征值为 1，2，-3 ， 为 的伴随阵，求行列式 。 （10 分） EA23八、用正交相似方法化二次型 成标准形，3212321321 846),( xxxxf 并求所用的变换矩阵。 （15 分）A2 答 案 一、 AACDA （每题 3 分）二、1 且 ； 2、 2 3. 81 4. 5、 。 （每题 3 分）2k12103121A三、 7 分61432001线性相关， 为极大无关组且 10 分21,321,3214四、 （A|b）= 4 分/ 00/1同解方程组为 基础解系为 ， 8 分2/1431x T),1(T)1,20(2特解为 通解 X=k 1 +
5、k2 + 10 分T)0,2(T)0,(,五、 1、 = -25。 -7 分134201D31942、按第一列展开得：-8 分nnnnn yxyxyxyx 1111 )(0)(0 六、1、设 是一个 n 维向量，满足 。于是， 。-3 分xAxT 0)(2 AxAxTT因此， 。 -5 分0A2、 ， ， 为对称阵； -2 分TT)(设 是一个 n 维非零向量，则 。 -3 分x0x 于是， 。 -5 分xAxAxTT)()(02七、 ； -3 分116,6A， -6 分)236(23231EE于是， 的特征值为-1，5，-5 ； -9 分 -10 分 25A八、二次型对应的实对称阵为 ， - 2 分3246A其特征值分别为 -2，7，7。 - 5 分分别求解齐次线性方程组 得：属于特征值-2，7，7 的0xE）（ 单位正交特征向量分别为 ， ， 。 - 12 分3/21/3/12/令矩阵 ，有 。 - 14 分P/13/21/ 701AP二次型 经过以正交阵 为变换矩阵的正交变换 化为标准形：fPyx- 15 分23217yyf
