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1、1第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题 4 分,共 24 分)1、 若 是五阶行列式中带正号的一项,则 。235ija ,12ij令 , ,取正号。,(123)(524)132、 若将 阶行列式 的每一个元素添上负号得到新行列式 ,则 = 。nDD(1)n即行列式 的每一行都有一个(-1)的公因子,所以 = 。()n3、设 , 则 = 。 10A10可得2 321213, ,00A4、设 为 5 阶方阵, ,则 。A515n由矩阵的行列式运算法则可知: 。1n5、 为 阶方阵, 且 0 。nTEEA则,0由已知条件:,21,1TTTAEAA而 : 。0TE6、设三阶方阵 可逆,则 应满
2、足条件 。203xy,xy32xy可逆,则行列式不等于零: 。20()0323Axyxyxy二、单项选择题(每小题 4 分,共 24 分)27、设 ,则行列式 232131aa A 。032311MaA 8B C DM8由于 1231313322338()8、设 阶行列式 ,则 的必要条件是 D 。nn0A 中有两行(或列)元素对应成比例 B 中有一行(或列)元素全为零 DnC 中各列元素之和为零 D以 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解n n9、对任意同阶方阵 ,下列说法正确的是 C 。,ABA. B. C. D. 11)(BATTAB)(B10、设 为同阶可逆矩阵, 为数,则下列命题中不
3、正确的是 B 。, 0A. B. C. D.1()1()11()1()()TT由运算法则,就有 。1A11、设 为 阶方阵,且 ,则 C 。n0aA B C D a11nna因为 。11nnAAA12、矩阵 的秩为 2,则 = D 。 1203aaA. 2 B. 3 C.4 D.5 通过初等变换,由秩为 2 可得:10213735a:三、计算题(每小题 7 分,共 42 分)313、计算行列式: 。 41解: 。3417111440=7=7=189各 列 加 到 第 一 列 提 第 一 行 乘 -到 外 面第 一 列 上 加 到 各 行 上14、计算行列式: 。4432110abba解:先按第
4、一行展开,再按第三行展开,有:= 。4432110ab2233142341()()babab15、问 取何值时,齐次线性方程组 有非零解。123()0()x解:齐次线性方程组有非零解,则系数行列式为零:2312123()140410=2=+3,0,r16、设矩阵 ,计算 。,5AB21()BA解:因为 ,所以都可逆,有2,7。212123152() ()491BABABA 417、解矩阵方程 ,求 ,其中 = 。AXBA35021,10B解: ,()()EXBE。10231()A1()20XAB18、设 ,利用分块矩阵计算 。52101解:1 111 1221205232,50130AA 四、
5、证明题(每小题 5 分,共 10 分)19、设 阶方阵 满足 ,证明矩阵 可逆,并写出 逆矩阵的表达式。 nA30EA证明:因为 ,2 20(3)AE从而 。2 1(3)20、若矩阵 ,则称矩阵 为反对称矩阵,证明奇数阶反对称矩阵一定不是满秩TAA矩阵。证明:设 为 阶反对称矩阵, 为奇数,则nn,(1)0TTnTA所以 不可逆,即 不是满秩矩阵。第二套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题 4 分,共 24 分)51、 为 3 阶方阵,且 是 的伴随矩阵,则 = -4 。A2,A* 1*4A因为: 。11 14284 2、 为 53 矩阵,秩( )=3, ,则秩( )= 3 。B30B因为
6、可逆, 相当于对 作列初等变换,不改变 的秩。BAA3、 均为 4 维列向量, , ,123,123(,)A213(,), ,则 = 40 。B。1212312123123(,)(,)88, 8(40AB4、 , ,且 ,则 = -4 。12t4Tt。13624Tt t5、如果 元非齐次线性方程组 有解, ,则当 n 时有唯一解;nAXB()RAr当 n 时有无穷多解。非齐次线性方程组有解的定义。 6、设四元方程组 的 3 个解是 。其中 ,如AXB123,123,45,则方程组 的通解是 。()3R0213k因为 ,所以 的基础解系含 4-3=1 个解向量;又()A0X6都是 的解,相加也是
7、 的解,从而可得2131,0AX0AX的一个解为:0AX,213123121453于是 的通解为: 。AXB1023Xk二、单项选择题(每小题 4 分,共 24 分)7、对行列式做 D 种变换不改变行列式的值。A.互换两行 B.非零数乘某一行 C.某行某列互换 D.非零数乘某一行加到另外一行8、 阶方阵 满足 ,其中 为单位矩阵,则必有 D 。n,ACEA. B. C. D.EBAEBCAE矩阵乘法不满足变换律,而 D 中 。119、矩阵 的秩为 2,则 = D 1203ttA. 3 B. 4 C.5 D.6通过初等变换,由秩为 2 可得: 。101203736tt:10、若方阵 不可逆,则
8、的列向量中 C 。nAA. 必有一个向量为零向量 B. 必有二个向量对应分量成比例 C. 必有一个向量是其余向量的线性组合 D. 任一列向量是其余列向量的线性组合方阵 不可逆,则 的列向量线nA性相关, ,由定义可得。711、若 r 维向量组 线性相关, 为任一 r 维向量,则 A 。m21,A. 线性相关 B. 线性无关 ,21m ,21mC. 线性相关性不定 D. 中一定有零向量, 由相关知识可知,个数少的向量组相关,则个数多的向量组一定相关。12、若矩阵 有一个 3 阶子式为 0,则 C 。54A.秩( )2 B. 秩( )3 C. 秩( )4 D. 秩( )5 AAA由矩阵秩的性质可知
9、: ,而有一个 3 阶子式为 0,不排除45min,R4 阶子式不为 0。三、计算题(每小题 7 分,共 42 分)13、计算行列式 。100abcd解:11101000 0() 11aaababdbbccccddd14、设 , , , ,求矩阵 。021A230C123BAYBCY解: 。1011253YB15、已知三阶方阵 ,且 ,计算矩阵 。A012ABEB8解:21|, 1201 00AABEB可 逆 ,16、求矩阵 的秩,并找出一个最高阶非零子式。32317058解:42134213422321307907970 1:, 最高阶非零子式是 。()RA125,17、写出方程组 的通解。
10、1234xx解:2130341032112022356:3130()122xXccR1=-18、已知 R3 中的向量组 线性无关,向量组 ,31,1223,bkb线性相关,求 k 值。31bk解: ,2312233131230b kk由 线性无关,得 ,321, 112 23 30因为 相关,所以123,b有非零解,故系数行列式=0,得12,9。1k四、证明题(每小题 5 分,共 10 分)19、设 为 阶方阵,若 ,则秩 秩 。,ABn0AB()Bn证明:因为线性方程组 ,当秩 时,基础解系为 个,由xrr0),(),(2121 nnAbb则有 ,即 B 的列均为 的解,这些列的极大线性无,
11、0jAbj x关组的向量个数 即秩( ,从而秩 。,rnrn) nB)(秩20、如果 线性相关,但其中任意 3 个向量都线性无关,证明必存在一组全不1234,为零的数 ,使得 。,k1240kk证明:因为 线性相关,所以存在一组“ 不全为零”的数 ,1234, 1234,k使得 , 如果 ,则340kk1k,且由于 不全为零,所以2234, 234,线性无关,与题设矛盾,所以 ;1k同理,可证明 。2340,0k第三套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题 4 分,共 24 分)1、已知三阶行列式 , 表示它的元素 的代数余子式,则与12356789DijAija对应的三阶行列式为 。2123
12、aAbc12378bc由行列式按行按列展开定理可得。102、 均为 阶方阵, ,则 = 。,ABn3AB12A()n由于: 。111()()2nnn3、 ,则 = 。A0431(2)AE021由于 。100001 214、向量组 线性 无 关。123(,3)(,1)(2,5)因为: 。104003545、设 6 阶方阵 的秩为 5, 是非齐次线性方程组 的两个不相等的解,则A,Axb的通解为 。xbXk由于 ,所以 的基础解系只含一个向量: ,故有上通解。()R0x6、已知 为 的特征向量,则 。1x2153Aab3;0ab。112312 0x abb二、单项选择题(每小题 4 分,共 24 分)7、 ,12132122311333 1, ,0aaaABP11,则 D 。102PA B C D 2PA12 BAP12 BAP21对 A 作行变换,先作 ,将第一行加到第三行上,再作 ,交换一二行。8、 元齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是 B 。n0XA B C