《线性代数期末试题及参考答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数期末试题及参考答案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、大学生校园网 努力打造的学生最实用的网络平台！2010 线性代数期末试题及参考答案一、判断题(正确填 T，错误填 F。每小题 2 分，共 10 分) 1 A 是 n 阶方阵， R，则有 A。 （ ）2 A，B 是同阶方阵，且 0B，则 11)(B。 （ ）3如果 与 等价，则 A的行向量组与 的行向量组等价。 ( )4若 ,均为 n阶方阵，则当 时， A,一定不相似。 ( )5n 维向量组 4321,线性相关，则 321也线性相关。 （ ）二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。（A）01(B)01(C) 102(D) 1022设向量组 123,线性无
2、关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。（A） 1231, （B） 1231, （C） 12 （D）3设 A 为 n 阶方阵，且 50AE。则 1(2)AE（）(A) E (B) (C) 1()3(D) ()34设 A为 nm矩阵，则有（ ）。（A）若 ，则 bAx有无穷多解；（B）若 ，则 0有非零解，且基础解系含有 mn个线性无关解向量；（C）若 有 n阶子式不为零，则 bx有唯一解；大学生校园网 努力打造的学生最实用的网络平台！（D）若 A有 n阶子式不为零，则 0Ax仅有零解。5若 n 阶矩阵 A，B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，则（ ）（A）A 与 B 相似 （
3、B） ，但| A-B|=0 （C）A=B （D）A 与 B 不一定相似，但|A|=|B| 三、填空题（每小题 4 分，共 20 分）101210nn。2 A为 3 阶矩阵，且满足 A3,则1=_，*3A。3向量组1，205，3247， 0是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。4 已知 123,是四元方程组 Axb的三个解，其中 A的秩()RA=3，14，234，则方程组 xb的通解为 。5设2310a，且秩(A)=2，则 a= 。四、计算下列各题（每小题 9 分，共 45 分）。1已知 A+B=AB，且1234A，求矩阵 B。2.设 (,1),(1,)，而 TA，求 n。大学
4、生校园网 努力打造的学生最实用的网络平台！3.已知方程组11232xax有无穷多解，求 a 以及方程组的通解。4.求一个正交变换将二次型化成标准型 3212321321 84),( xxxxf 5 A，B 为 4 阶方阵，AB+2B=0，矩阵 B 的秩为 2 且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵 A 的特征值；（2）A 是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。五证明题（每题 5 分，共 10 分）。1若 是对称矩阵， B是反对称矩阵， BA是否为对称矩阵？证明你的结论。2设 A为 mn矩阵，且的秩 ()R为 n，判断 T是否为正定阵？证明你的结论。大学生校园网 努力打造的
5、学生最实用的网络平台！线性代数试题解答一、1 （F） （ An）2 （T） 3 （F） 。如反例：10A，01B。4 （T） （相似矩阵行列式值相同）5 （F）二、1选 B。初等矩阵一定是可逆的。2选 B。A 中的三个向量之和为零，显然 A 线性相关； B 中的向量组与 1， 3等价 , 其秩为 3，B 向量组线性无关；C、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D 中的向量组线性相关。3选 C 。由 052EA232()3EEA，1()3)。4选 D。A 错误，因为 nm，不能保证 ()|)RAb；B 错误， 0x的基础解系含有 Rn个解向量；C 错误，因为有可能 (|)1nRAbn，b
6、x无解；D 正确，因为 ()。5选 A。A 正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵 ,PQ，使得1 112(,)nPdiagQB ，因此 ,A都相似于同一个对角矩阵。三、1 !n（按第一列展开）2 3； 5（A=23）3 相关（因为向量个数大于向量维数） 。 124,。因为 312，大学生校园网 努力打造的学生最实用的网络平台！124| |0A。4 TTk423。因为 3AR，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为 132，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。5 6a（ )02AR四、1解法一： B1()EBAE。将 与 A组成一个矩阵 (|)AE，用初等行变换
7、求 1(|。|= 212430)(31r212430213,rr12043023r120032r353r1523r210。故 230B。解法二： AB1()EAEA。101()3236AE，因此101()325B。2解： 11T， A42， 11()()()()4nnnTTTTTA A 。3解法一：由方程组有无穷多解，得 |3Rb，因此其系数行列式大学生校园网 努力打造的学生最实用的网络平台！1|20aA。即 1或 4a。当 1a时，该方程组的增广矩阵 11(|)2Ab10230于是 ()|)3Rb，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系132T，原方程组的一个特解 10T，故 1
8、a时，方程组有无穷多解，其通解为3102Tk，当 4a时增广矩阵41(|)6Ab410205，()2(|)3RA，此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。 2 2 21111(|)002010()4aaaAb 由于该方程组有无穷多解，得 ()|)3RAb。因此2()0a，即 1a。求通解的方法与解法一相同。4解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵大学生校园网 努力打造的学生最实用的网络平台！124A，212| 4()7AE因此得到其特征值为 12， 37。再求特征值的特征向量。解方程组 ()0AEx，得对应于特征值为 12的两个线性无关的特征向量 12T
9、， 2T。解方程组 (7)x得对应于特征值为 37的一个特征向量3T。再将 120T， 201T正交化为 120Tp，245Tp。最后将 120T， 2415Tp， 32T单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵 325014，其标准形为23217yyf。5 解：（1）由 AE知-1，2 为 A的特征值。 02B0BEA，故-2 为 的特征值，又 B的秩为 2，即特征值-2 有两个线性无关的特征向量，故 A的特征值为-1，2，-2，-2。（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2 各有一个特征向量，对应于特征值-2 有两个线性无关的特征向量，所以 A有四个线性无关的特征向量，故 A可相似对角化。（3） EA的特征值为 2，5，1，1。故 E3=10。五、1 B为对称矩阵。证明： 大学生校园网 努力打造的学生最实用的网络平台！TTBABA= TB= BA= ，所以 为对称矩阵。2 T为正定矩阵。证明：由 T知 A为对称矩阵。对任意的 n维向量 0，由nAR得 0， =20，由定义知 AT是正定矩阵。
