《2017届高三理科数学一轮总复习第四章 平面向量（教师用书）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017届高三理科数学一轮总复习第四章 平面向量（教师用书）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 平面向量高考导航考试要求重难点击命题展望1.平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景； (2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等 的含义； (3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几 何意义； (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解 两个向量共线的含义； (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3.平面向量的基本定理及其坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义； (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数 乘运算； (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4.平
2、面向量的数量积 (1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义；(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系；(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向 量数量积的运算； (4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.向量的应用 (1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问 题； (2)会用向量方法解决某些简单的力学问题及 其他一些实际问题.本章重点： 1.向量的各种运算；2.向量的坐标运算 及数形结合的思想；3.向量的数量积在 证明有关向量相等、 两向量垂直、投影、 夹角等问题中的应 用. 本章难点： 1.向量的直角坐标 运算在证明向量垂 直和平行问题中的 应用
3、； 2.向量的夹角公式 和距离公式在求解 平面上两条直线的 夹角和两点间距离 中的应用.向量是近代数学中重 要和基本的数学概念之一， 它是沟通代数、几何与三 角函数的一种工具，有着 极其丰富的实际背景，同 时又是数形结合思想运用 的典范，正是由于向量既 具有几何形式又具有代数 形式的“双重身份”，所以 它成为中学数学知识的一 个交汇点.在高考中，不仅 注重考查向量本身的基础 知识和方法，而且常与解 析几何、三角函数、数列 等一起进行综合考查. 在考试要求的层次上更加 突出向量的实际背景、几 何意义、运算功能和应用 价值.知识网络4.1 平面向量的概念及线性运算典例精析 题型一 向量的有关概念
4、【例 1】 下列命题：向量AB的长度与BA的长度相等；向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；向量AB与向量CD是共线向量，则 A、B、C、D 必在同一直线上.其中真命题的序号是 . 【解析】对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故错；显然错；AB与CD是共线向量，则 A、B、C、D 可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故错.故是真命题的只有. 【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要 举出一个反例即可. 【变式训练 1】下列各式：|a|aa；(ab) ca (bc)；O
5、AOBBA；在任意四边形 ABCD 中，M 为 AD 的中点，N 为 BC 的中点，则ABDC2MN；a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且 a 与 b 不共线，则(ab)(ab). 其中正确的个数为( ) A.1B.2C.3D.4【解析】选 D.| a|aa正确；(ab) ca (bc)； OAOBBA正确；如下图所示，MN=MD+DC+CN且MN=MA+AB+BN，两式相加可得 2MNABDC，即命题正确；因为 a，b 不共线，且|a|b|1，所以 ab，ab 为菱形的两条对角线， 即得(ab)(ab). 所以命题正确. 题型二 与向量线性运算有关的问题 【例 2】如图，A
6、BCD 是平行四边形，AC、BD 交于点 O，点 M 在线段 DO 上，且DM=DO31，点 N 在线段 OC 上,且ON=OC31,设AB=a, AD=b,试用 a、b 表示AM，AN，MN.【解析】在ABCD 中，AC，BD 交于点 O，所以DODB (ABAD) (ab)，121212AOOCAC (ABAD) (ab).121212又DMDO， ONOC，1313所以AMADDMbDO13b (ab) a b，13121656ANAOONOCOC13OC (ab) (ab). 43431223所以MNANAM (ab)( a b) a b.2316561216【点拨】向量的线性运算的一
7、个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的 向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形. 【变式训练 2】O 是平面 上一点，A、B、C 是平面 上不共线的三点，平面 内的动点 P满足OPOA(ABAC)，若 时，则PA(PBPC)的值为 .12【解析】由已知得OPOA(ABAC)，即AP(ABAC)，当 时，得AP (ABAC)，1212所以 2APABAC，即APABACAP，所以BPPC，所以PBPCPBBP0，所以PA (PBPC)PA00，故填 0.题型三 向量共线问题 【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线.(1)若ABab
8、， BC2a8b， CD3(ab)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线.【解析】(1)证明：因为ABab， BC2a8b， CD3(ab)，所以BDBCCD2a8b3(ab)5(ab)5AB，所以AB， BD共线.又因为它们有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线. (2)因为 kab 和 akb 共线， 所以存在实数 ，使 kab(akb)， 所以(k)a(k1)b. 因为 a 与 b 是不共线的两个非零向量， 所以 kk10，所以 k210，所以 k1. 【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与 之共
9、线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想. (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系， 当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练 3】已知 O 是正三角形 BAC 内部一点，OA+2OB+3OC=0，则OAC 的面积与OAB 的面积之比是（）A.B.3223C.2D.13【解析】如图，在三角形 ABC 中， OA2OB3OC0，整理可得OAOC2(OBOC)0.令三角形 ABC 中 AC 边的中点为 E，BC 边的中点为 F，则点 O 在点 F 与点 E 连线的处，即 OE2OF.13设三角形 ABC 中 AB 边上的高为 h，则
10、SOACSOAESOECOE ( )12h2h2 OEh，12SOAB ABh ABh，121214由于 AB2EF，OE EF，所以 AB3OE，23所以hhABOE4121 .故选 B.S OACS OAB23总结提高 1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向 量平行则包括共线(即重合)的情形. 2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把 另外一个向量表示出来. 3.当向量 a 与 b 共线同向时，|ab|a|b|； 当向量 a 与 b 共线反向时，|ab|a|b|； 当向量 a 与 b不共线时，|ab|
11、a|b|.4.2 平面向量的基本定理及其坐标表示典例精析题型一 平面向量基本定理的应用【例 1】如图ABCD 中,M,N 分别是 DC，BC 中点.已知AM=a,AN=b,试用 a，b 表示AB，AD与AC【解析】易知AMADDMADAB，12ANABBNABAD，12即 .21,21baADABABAD所以AB (2ba)， AD (2ab).2323所以ACABAD (ab).23【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程 思想的运用值得仔细领悟.【变式训练 1】已知 D 为ABC 的边 BC 上的中点，ABC 所在平面内有一点 P，满足PABPCP
12、0，则| ADPD等于( )A. B. C.1 D.21312【解析】由于 D 为 BC 边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PBPC2PD，因此结合PABPCP0 即得PA2PD，因此易得 P，A，D 三点共线且 D 是 PA的中点，所以| ADPD1，即选 C.题型二 向量的坐标运算 【例 2】 已知 a(1，1)，b(x，1)，ua2b，v2ab. (1)若 u3v，求 x；(2)若 uv，求 x. 【解析】因为 a(1，1)，b(x，1)， 所以 u(1，1)2(x，1)(1，1)(2x，2)(2x1，3)，v2(1，1)(x，1)(2x，1). (1)u3v(2x1，3)
13、3(2x，1) (2x1，3)(63x，3)， 所以 2x163x，解得 x1.(2)uv (2x1，3)(2x，1) 3),2(12xx(2x1)3(2x)0x1. 【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起 重视.【变式训练 2】已知向量 an(cos，sin)(nN*)，|b|1.则函数n7n7y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2 的最大值为 . 【解析】设 b(cos ，sin )，所以y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2(a1)2b22(cos ，sin )(cos ，sin )77 (a141)2b22(co
14、s，sin)(cos ，sin )2822cos( )，所以 y 的最大值为141714177284.题型三 平行(共线)向量的坐标运算 【例 3】已知ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，设向量 m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2). (1)若 mn，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2，角 C ，求ABC 的面积.3【解析】(1)证明：因为 mn，所以 asin Absin B. 由正弦定理，得 a2b2，即 ab.所以ABC 为等腰三角形. (2)因为 mp，所以 mp0，即 a(b2)b(a2)0，所以 abab. 由余弦定理，
15、得 4a2b2ab(ab)23ab， 所以(ab)23ab40. 所以 ab4 或 ab1(舍去).所以 SABC absin C 4.1212323【点拨】设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，则mnx1y2x2y1；mnx1x2y1y20. 【变式训练 3】已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量 m(2cosC1，2)，n(cos C，cos C1).若 mn，且 ab10，则ABC 周长的最小值为( )A.105B.10533C.102D.10233【解析】由 mn 得 2cos2C3cos C20，解得 cos C 或 cos C2(舍去)，所以12c2a
