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1、数学专业大学生竞赛几何训练题Page 1 of 111.设点设点 O 是平面上正多边形是平面上正多边形 A1A2An的中心，证明的中心，证明:+.1OA2OAnOA0r证明：因为,1OA3OA2OA,2OA4OA3OA +,1nOA1OAnOA,nOA2OA1OA所以 2(+)1OA2OAnOA(+),1OA2OAnOA所以 (2)(+).1OA2OAnOA0r显然 2, 即 20. 所以 +.1OA2OAnOA0r2., 是三个两两不共线的矢量，且是三个两两不共线的矢量，且 + ，试证，试证 A, B, C 三点共三点共OBOA,OCOCOAOB线的充要条件是线的充要条件是 + 1. 证明：
2、“ ”因为 A，B，C 共线，从而有/,ACCB且有 m1, 使m,ACCBm (),OCOAOBOC(1+m)m,OCOAOB.OCm11OAmm 1OB但已知. 由对, 分解的唯一性可得OCOAOBOCOA OB, m11 mm 1从而 +1. m11 mm 1“” 设+1. 则有(1)OCOAOBOAOB=+(),OBOAOB(),OCOBOAOB所以 ,BCBA从而 /.故 A，B，C 三点共线.BCBA 3.四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心 距离的三倍距离的三倍. 用四
3、面体的顶点坐标把交点坐标表示出来用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来. 证明：设四面体 A1A2A3A4,Ai对面重心为 Gi, 欲证 AiGi交于一点(i1, 2, 3, 4).在 AiGi上取一点 Pi，使3, 从而，iiPAiiGPiOP313 iiOGOA设 Ai (xi, yi, zi)(i1, 2, 3, 4)，则G1, 3,3,3432432432zzzyyyxxxG2, 3,3,3431431431zzzyyyxxx数学专业大学生竞赛几何训练题Page 2 of 11G3, 3,3,3421421421zzzyyyxxxG4, 3,3,3321321321zzzyyyxxx所以
4、P1(,)3133432 1xxxx3133432 1yyyy3133432 1zzzzP1(,).44321xxxx 44321yyyy 44321zzzz同理得 P2P3P4P1，所以 AiGi交于一点 P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离 的三倍. 4.用矢量法证明三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距用矢量法证明三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.5.设径矢设径矢, , , 证明证明 ()()()垂直于垂直于 ABC1rOA2rOB 3rOC R21rr 32rr 13rr 平面平面. 证明:由于 =RAB)(12rr )()()(133221rrrrrr=)()
5、()()()()(131321211132322212rrrrrrrrrrrrrrrrrr=,0)()(321321rrrrrr所以 .同理可证 .所以 平面 ABC.RABRACR6.已知：连接两点已知：连接两点的线段平行于平面的线段平行于平面，求，求),12, 0(),5,10, 3(zBA0147zyx里的坐标里的坐标.Bz解：解： 而平行于Q5 , 2 , 3zABAB0147zyx由题 3 知：从而.0)5(427)3(z18z7.已知四面体的四个顶点为已知四面体的四个顶点为，计算从顶点，计算从顶点)4 , 1, 1 (),5,11, 2(),3 , 5 , 3(),4 , 6 ,
6、0(CBAS向底面向底面 ABC 所引的高。所引的高。S解：解：地面 ABC 的方程为：所以，高。0522zyx335426h8.通过直线通过直线向三坐标面所引的三个射影平面。向三坐标面所引的三个射影平面。 014209385 zyxzyx解：解：由已知方程 014209385 zyxzyx分别消去，得到：xyz，0231136zy079 zx06411yx此即为三个射影平面的方程。9.给定两异面直线：给定两异面直线：与与，试求它们的公垂线方程。，试求它们的公垂线方程。01 123zyx 102 11zyx数学专业大学生竞赛几何训练题Page 3 of 11解：解：因为， 1, 2, 11 ,
7、 0 , 10 , 1 , 2公垂线方程为： 0 121101210 12101213zyxzyx即，亦即。 022220852zyxzyx 010852zyxzyx10. 求过三条平行直线求过三条平行直线的圆柱面方程。的圆柱面方程。211, 11,zyxzyxzyx与解：解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为0zyx，这三点所定的在平面上的圆的圆心为)34,31,31(),1, 0, 1( ,0, 0, 00zyx，圆的方程为：)1513,1511,152(0M07598)1513()1511()152(222zyxzyx此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点，且方向为
8、的直线方程为：),(1111zyxM1, 1, 1 tzztyytxxtzztyytxx111111将此式代入准线方程，并消去 得到：t013112)(5222zyxzxyzxyzyx此即为所求的圆柱面的方程。11. 已知锥面的准线为已知锥面的准线为，顶点，顶点决定的径矢为决定的径矢为，)(),(),()(uzuyuxu A0000,zyx试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：与与0( )(1)vuvruuuu ru u r式中，式中，为参数。为参数。000( )(1)( )(1)( )(1)xvx uv xyvy uv yzvz
9、uv z vu,证明：对锥面上任一点，令，它与顶点的连线交准线于),(zyxMOMuuu u rrA数学专业大学生竞赛几何训练题Page 4 of 11，即。( ( ), ( ), ( )Mx uy uz u OM( )u uuuu ruuuu r，且（顶点不在准线上）/AMAMuuuu ruuuu u rQ0AM uuuu u rAMvAMuuuu ruuuu u r即,亦即00( ( )vuru u ruuuu ru u r0( )(1)vuvruuuu ru u r此为锥面的矢量式参数方程。 若将矢量式参数方程用分量表示，即：000 , , ( ), ( ), ( )(1),x y zv
10、 x uy u z uvxyz000)1 ()()1 ()()1 ()(zvuvzzyvuvyyxvuvxx此为锥面的坐标式参数方程，为参数。vu,12. 将直线将直线绕绕轴旋转，求这旋转面的方程，并就轴旋转，求这旋转面的方程，并就可能的值讨论这是可能的值讨论这是01xyz z, 什么曲面？什么曲面？ 解：解：先求旋转面的方程式：任取母线上一点，过的纬圆为：1111( ,)Mx y z1M1222222 111(1)(2)zzxyzxyz 又 （3）111 01xyz 从（1）（3）消去，得到：111,x y z222220xyz此即为所求旋转面的方程。当时，旋转面为圆柱面（以轴为轴） ；0,
11、0z当时，旋转面为圆锥面（以轴为轴，顶点在原点） ；0,0z当时，旋转面变为轴；,0 z当时，旋转面为单叶旋转双曲面。0,013. 由椭球面由椭球面的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面2222221xyz abc数学专业大学生竞赛几何训练题Page 5 of 11xyzmlO),(11cyxA，设，设，试证：，试证：123,p pp112233,opr opr opr222222 123111111 rrrabc证明：利用上题结果，有22222221(1,2,3)iiiiirabc其中是的方向余弦。,iii iopuu u r若将所在的直线看
12、成新的坐标系的三个坐标轴，则是坐标矢量关于(1,2,3)iop i uu u r123, 新坐标系的方向余弦，从而，同理，222 1231222 1231222 1231所以，222222222 123123123222222 123222111111()()()111rrrabcabc即：222222 123111111 rrrabc14. 设直线设直线 与与为互不垂直的两条异面直线，为互不垂直的两条异面直线，是是 与与的公垂线的中点，的公垂线的中点，两点分两点分lmClm,A B别在直线别在直线 ，上滑动，且上滑动，且，试证直线，试证直线的轨迹是一个单叶双曲面。的轨迹是一个单叶双曲面。lm
13、90ACBoAB证明：以 ，的公垂线作为轴，作为坐标原点，再令轴与 ，的夹角均为，lmzCxlm公垂线的长为，若设，则 ，的方程分别为：2ctglm0:yxlzc 0:yxmzc 令，则有：11( , )A x y c22(,)B xyc11220,0yxyx又，所以：ACCB222222222 11221212()()(2 )xycxycxxyyc亦即 （2）2 12120x xy yc又设为上任一点，则( , , )M x y zAB数学专业大学生竞赛几何训练题Page 6 of 11(3)ccz yyyy xxxx 2121121 从（1）（3）中消去，得：2211,yxyx222222222)1 ()1 (czyx即： (4)111222222222 cz cy cx 不垂直，lQm1 （4）表示单叶双曲面，即的轨迹是一单叶双曲面。AB15. 求与下列三条直线求与下列三条直线， 与与都共面的直线所构都共面的直线所构 zyx1 zyx152 41 32zyx成的曲面。成的曲面。解：解：动直线不可能同时平行于直线及直线 zyx1 zyx1不妨设其与第一条直线交于), 1 (p注与第二条直线的
