《2017届高三理科数学一轮总复习第三章 导数及其应用（教师用书）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017届高三理科数学一轮总复习第三章 导数及其应用（教师用书）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 导数及其应用高考导航考试要求重难点击命题展望1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景； (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数 yc(c 为常数)，yx，yx2，yx3，yx1，yx的导数；(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四 则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复 合函数(仅限于形如 f(axb)的复合函数)的导数.3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数 研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其 中多项式函数一般不超过三次)； (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件；会用导数求函数
2、的极大值、极小值(其 中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间 上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次). 4.生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本 思想，了解定积分的概念； (2)了解微积分基本定理的含义.本章重点： 1.导数的概 念； 2.利用导数 求切线的斜 率； 3.利用导数 判断函数单 调性或求单 调区间； 4.利用导数 求极值或最 值； 5.利用导数 求实际问题 最优解. 本章难点： 导数的综合 应用.导数与定积分 是微积分的核心概 念之一，也是中学 选学内容中较为重 要的知识之一.
3、由于 其应用的广泛性， 为我们解决有关函 数、数列问题提供 了更一般、更有效 的方法.因此，本章 知识在高考题中常 在函数、数列等有 关最值不等式问题 中有所体现，既考 查数形结合思想， 分类讨论思想，也 考查学生灵活运用 所学知识和方法的 能力.考题可能以选 择题或填空题的形 式来考查导数与定 积分的基本运算与 简单的几何意义， 而以解答题的形式 来综合考查学生的 分析问题和解决问 题的能力.知识网络3.1 导数的概念与运算典例精析 题型一 导数的概念 【例 1】 已知函数 f(x)2ln 3x8x，求0lim x的值.f(12x)f(1)x【解析】由导数的定义知：0lim x20lim x
4、2f(1)20.f(12x)f(1)xf(12x)f(1)2x【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当 x0 时， 平均变化率的yx极限. 【变式训练 1】某市在一次降雨过程中，降雨量 y(mm)与时间 t(min)的函数关系可以近似地表示为 f(t)，则在时刻 t10 min 的降雨强度为( )t2100A. mm/minB. mm/min1514C. mm/minD.1 mm/min12【解析】选 A. 题型二 求导函数 【例 2】 求下列函数的导数.(1)yln(x)；1x2(2)y(x22x3)e2x；(3)y.3x1x【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.(1)
5、y(x)1x 1x21x2(1).1x 1x2x1x211x2(2)y(2x2)e2x2(x22x3)e2x 2(x2x2)e2x.(3)y (32 )13x1x1xx(1x)2 (32 )13x1x1(1x)2 x32(1x) 3413【变式训练 2】如下图，函数 f(x)的图象是折线段 ABC，其中 A、B、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 f(f(0) ；0lim x (用数字作答).f(1x)f(1)x【解析】f(0)4，f(f(0)f(4)2，由导数定义0lim xf(1).f(1x)f(1)x当 0x2 时，f(x)42x，f(x)2，f(1)2. 题型三 利
6、用导数求切线的斜率 【例 3】 已知曲线 C：yx33x22x， 直线 l：ykx，且 l 与 C 切于点 P(x0，y0) (x00)， 求直线 l 的方程及切点坐标.【解析】由 l 过原点，知 k (x00)，又点 P(x0，y0) 在曲线 C 上，y0x 3x 2x0，y0x03 02 0所以 x 3x02.y0x02 0而 y3x26x2，k3x 6x02.2 0又 k， y0x0所以 3x 6x02x 3x02，其中 x00， 2 02 0解得 x0 .32所以 y0 ，所以 k ，38y0x014所以直线 l 的方程为 y x，切点坐标为( ， ).143238【点拨】利用切点在曲
7、线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程， 即可求得切点的坐标.【变式训练 3】若函数 yx33x4 的切线经过点(2，2)，求此切线方程. 【解析】设切点为 P(x0，y0)，则由 y3x23 得切线的斜率为 k3x 3.2 0所以函数 yx33x4 在 P(x0，y0)处的切线方程为 yy0(3x 3)(xx0).2 0又切线经过点(2,2)，得 2y0(3x 3)(2x0)，2 0而切点在曲线上，得 y0x 3x04， 3 0由解得 x01 或 x02. 则切线方程为 y2 或 9xy200. 总结提高 1.函数 yf(x)在 xx0 处的导数通常有以下两种求法：(1
8、) 导数的定义，即求0lim x0lim x的值；yxf(x0x)f(x0)x(2)先求导函数 f(x)，再将 xx0 的值代入，即得 f(x0)的值. 2.求 yf(x)的导函数的几种方法： (1)利用常见函数的导数公式； (2)利用四则运算的导数公式； (3)利用复合函数的求导方法. 3.导数的几何意义：函数 yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)，就是函数 yf(x)的曲线在点 P(x0，y0)处的切线的斜率.导数的应用(一)典例精析 题型一 求函数 f(x)的单调区间 【例 1】已知函数 f(x)x2axaln(x1)(aR)，求函数 f(x)的单调区间. 【解析】函数 f(x)x
9、2axaln(x1)的定义域是(1，).f(x)2xa，ax12x(xf(a2,2)x1若 a0，则1，f(x)0 在(1，)上恒成立，所以 a0 时，f(x)的增a222x(xf(a2,2)x1区间为(1，).若 a0，则1，a22故当 x(1，时，f(x)0；a222x(xf(a2,2)x1当 x，)时，f(x)0，a222x(xf(a2,2)x1所以 a0 时，f(x)的减区间为(1，f(x)的增区间为，).a22a22【点拨】在定义域 x1 下，为了判定 f(x)符号，必须讨论实数与 0 及 1 的大小，分类讨a22论是解本题的关键. 【变式训练 1】已知函数 f(x)x2ln xax
10、 在(0,1)上是增函数，求 a 的取值范围.【解析】因为 f(x)2x a，f(x)在(0,1)上是增函数，1x所以 2x a0 在(0,1)上恒成立，1x即 a2x 恒成立.1x又 2x 2(当且仅当 x时，取等号).1x222所以 a2，2故 a 的取值范围为(，2.2【点拨】当 f(x)在区间(a，b)上是增函数时f(x)0 在(a，b)上恒成立；同样，当函数 f(x)在区 间(a，b)上为减函数时f(x)0 在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数 的取值范围了. 题型二 求函数的极值 【例 2】已知 f(x)ax3bx2cx(a0)在 x1 时取得极值，且 f(
11、1)1. (1)试求常数 a，b，c 的值； (2)试判断 x1 是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由. 【解析】(1)f(x)3ax22bxc. 因为 x1 是函数 f(x)的极值点， 所以 x1 是方程 f(x)0，即 3ax22bxc0 的两根.由根与系数的关系，得 , 13 , 032acab又 f(1)1，所以 abc1. 由解得 a ，b0，c .1232(2)由(1)得 f(x) x3 x，1232所以当 f(x) x2 0 时，有 x1 或 x1；3232当 f(x) x2 0 时，有1x1.3232所以函数 f(x) x3 x 在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)
12、上是减函数.1232所以当 x1 时，函数取得极大值 f(1)1；当 x1 时，函数取得极小值 f(1)1. 【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数 f(x)来讲， f(x)在点 xx0 处取极值的必 要条件是 f(x)0.但是， 当 x0 满足 f(x0)0 时， f(x)在点 xx0 处却未必取得极值，只有在 x0 的两侧 f(x)的导数异号时，x0 才是 f(x)的极值点.并且如果 f(x)在 x0 两侧满足“左正右负”， 则 x0 是 f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果 f(x)在 x0 两侧满足“左负右正”，则 x0 是 f(x)的 极小值点，f(x0)是极小值.【
13、变式训练 2】定义在 R 上的函数 yf(x)，满足 f(3x)f(x)，(x )f(x)0，若 x1x2，且32x1x23，则有( ) A. f(x1)f(x2)B. f(x1)f(x2)C. f(x1)f(x2)D.不确定【解析】由 f(3x)f(x)可得 f3(x )f(x )，即 f( x)f(x )，所以函数 f(x)的图象32323232关于 x 对称.又因为(x )f(x)0，所以当 x 时，函数 f(x)单调递减，当 x 时，函数 f(x)单32323232调递增.当 时，f(x1)f(x2)，因为 x1x23，所以 ，相当于 x1，x2 的中x1x2232x1x2232点向右
14、偏离对称轴，所以 f(x1)f(x2).故选 B. 题型三 求函数的最值【例 3】 求函数 f(x)ln(1x) x2 在区间0,2上的最大值和最小值.14【解析】f(x) x，令 x0，化简为 x2x20，解得 x12 或 x21，其11x1211x12中 x12 舍去.又由 f(x) x0，且 x0,2，得知函数 f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理， 得知函11x12数 f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以 f(1)ln 2 为函数 f(x)的极大值.又因为 f(0)0，f(2)ln 14310，f(1)f(2)，所以，f(0)0 为函数 f(x)在0,2上的最小值，f(1)ln 2 为函数 f(x)在140,2上的最大值. 【点拨】求函数 f(x)在某闭区间a，b上的最值，首先需求函数 f(x)在开区间(a，b)内的极值， 然后，将 f(x)的各个极值与 f(x)在闭区间上的端点的函数值 f(a)、f(b)比较，才能得出函数 f(x) 在a，b上的最值. 【变式训练 3】(2008 江苏)f(x)ax33x1 对 x1,1总有 f(x)0 成立，则 a . 【解析】若 x0，则无论 a 为何值，f(x)0 恒成立.当 x(0,1时，f(x)0 可以化为 a，3x21x3设 g(x)，则 g
