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1、2.1.3 无标度区间正如前面所讨论的，分形曲线，曲线的某些性质如复杂程度、非规则性等，不随尺度的缩小而改变， 这就是所谓的无标度性。 分形分为两类， 一类是严格意义上的分形， 它是由简单的迭代或者是按一定规律生成，理论上其无标度性可以在无穷范围内存在，如科契曲线，谢尔宾斯基海绵等。还有一类分形，它是随机产生，分形只能在统计意义上存在，有一定的存在范围，称为无规分形，自然界中存在的分形大部分属于无规分形。对于这类分形， 其自相似性存在的范围即无标度区间。如图所示，在AB 区间内，可视为分形，超出这一区间，自相似性便不复存在。lnN(R) B A R1 R2 lnR 图 2-1 分形中的无标度区
2、间Fig 2-1 scaling range of fractal 2.2 分形维数及测量方法在分形研究中， 对分形维数有不少定义， 因为要找到一个对任何事物都适用的定义并不容易。 由于测定维数的对象不同， 就某一分形维数而言， 对有些对象可以适用， 而对另一些就可能完全不适用。严格地说， 对不同定义的维数应使用不同的名称以把它们区分开来。 由于分形理论正处于继续发展阶段，因而往往笼统地把取非整数值的维数统称为分形维数19。2.2.1 长度的测量及分数维的提出测量一单位线段，如果选尺子长度=1，则测量次数 N=1，得出长度 L=N*=1; =1,N=1,L=1 =2,N=1/2,L=1 lnL
3、 =5,N=1/5,L=1 ln (a) (b) 图 2-2 单位直线段与测量长度关系Fig 2-2 the relation between the length and scale of a line 当选=1/2，则 N=2，仍有 L=1，类似让 越来越小，则 N 越来越大，但总长度L 不随测量尺度而变化，见图2-2(a)，即 L 为一不变量。将不同测量长度 和测量长度 L 画成双对数图， 将得到一条水平直线， 见图2.1(b)，斜率 S=0。斜率与维数的关系是S=1-D，因而 D=1。几何上，分维D 刻画了曲线的“粗糙”程度，D 越大，曲线越弯折，越不规则。 D 越小，曲线越光滑，越规则。也就是说分维数D 能定量地表征曲线的不规则程度（如图2-5）17
