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1、 港中数学网2010 年普通高中自主招生考试 科学素养（数学）测试题 命题人：赵永琴 方志 审题人：程鸣 注意事项：1. 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；2. 所有题目必须在答题卷上作答，否则不予计分。一、选择题（每小题 5 分，共 30 分。每小题均给出了 A、B、C、D 的四个选项，其中有 且只有来源:学科网 一个选项是正确的，不填、多填或错填均得分）1、有一正方体，六个面上分别写有数字 1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示。如果记 6 的对面的数字为，2 的对面的数字为，那么的值为 abba A3 B7 C8 D112、右图是某条公共汽车线路收支差
2、额与乘客量的图像（收支差额=车票收入-支出yx费用）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格。下面给出四个图像（如图所示）则A反映了建议（2） ，反映了建议（1） B反映了建议（1） ，反映了建议 （2） C反映了建议（1） ，反映了建议（2） D反映了建议（1） ，反映了建议 （2）11 xyOA11 xyOA11 xyOy11 xOAA11 xyO 港中数学网ODCBAFEDCBA3、已知函数，并且是方程的两个根，则)(3nxmxyba,0)(3nxmx实数的大小关系可能是banm,A B C Dn
3、bambnamnbmabnma4、记=，令，称为，这列数的nSnaaaL2112n nSSSTnLnT1a2ana“理想数” 。已知，的“理想数”为 2004，那么8，1a2a500a1a2a的“理想数”为 500aA200 B2006 C2008 D20105、以半圆的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠后BCBC与直径交于点，若，且，则的ABD32DBAD10ABCB长为 A B C D45434246、某汽车维修公司的维修点环形分布如图。公司在年初分配给 A、B、C、D 四个维修点某种配件各 50 件。在使用前发现需将 A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为 40、45、54、61
4、件，但调整只能在相邻维修点之间进行。那么要完成上述调整，最少的调动件次（件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 n）为 nA B C D15161718二、填空题(每小题 6 分,共 48 分)7、若表示不超过的最大整数（如等） ，则 xx 3322, 3 _ 200120002001132312121L_。8、在中，分别是上的点，ABCED、ACBC、，交于点，若，则四CDBDCEAE2,2BEAD、F3ABCS 港中数学网xyEODCBA边形的面积为_。DCEF9、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的旗帜上分别标有号码1、2、3，现任意抽取 3 面，它们的颜色与号码均不相
5、同的概率是_。 10、已知抛物线经过点 A(4,0)。设点 C（1，-3） ，请在抛物线的对称轴上bxxy2 21确定一点 D,使得的值最大，则 D 点的坐标为。 CDAD 11、三角形纸片内有 100 个点，连同三角形的顶点共 103 个点，其中任意三点都不共线。现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为_。12、已知点（1，3）在函数的图像上。正方形)0( xxky的边在轴上，点是对角线的中点，函数ABCDBCxEBD的图像又经过、两点，则点的横坐标为)0( xxkyAEE_。13、按下列程序进行运算（如图）规定：程序运行到“判断结果是否大于 244”为一次运算
6、。若，则运算进行5x_次才停止；若运算进行了 次才停止,则的取值范围是_。5x14、给你两张白纸一把剪刀。你的任务是：用剪刀剪出下面给定的两个图案，你可以将纸片任意折叠，但只能沿直线剪一刀,要得到下面两个图案，在不实际折叠的情况下，想象一下，该如何折叠？用虚线画出折痕，用实线画出剪的这一刀(分别在旁边的白纸上画出来)输入是乘以 3减去 2大于 244停止否X 港中数学网图 1 图 2三、解答题（本大题共 5 小题，）276181412121 15、已知：如图在 RtABC 中，斜边 AB5 厘米，BC厘米，ACb 厘米，b，aa且、b 是方程的两根。a2(1)40xmxm 求和 b 的值；a
7、与开始时完全重合，然后让固定不动，将以 1 厘CBAABCABCCBA米/秒的速度沿所在的直线向左移动。BC 设 x 秒后与的重叠部分的面积为 y 平CBAABC方厘米，求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出 x 的取值范围； 几秒后重叠部分的面积等于平方厘米？8316、已知过点（3，4）,点与点关于轴对称，过作的切线交轴于ODHDxHOx点。A 求的值；HAOsin 如图，设与轴正半轴交点为，点、是线段上的动点（与点OxPEFOP不重合） ，连接并延长、交于点、，直线交轴于点，若PDEDFOBCBCxG是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化，请说明理由。DEFEFCGOsin17、青海
8、玉树发生 7.1 级强震，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风。刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发前往距营地 30 千米的镇，二分队因疲劳可在营地休息小时再往镇参加救灾。A)30( aaA一分队出发后得知，唯一通往镇的道路在离营地 10 千米处发生塌方，塌方地形复杂，AABCMABCxyHADOOCPFyGDEx B 港中数学网图 4必须由一分队用 1 小时打通道路。已知一分队的行进速度为千米/时，二分队的行进b速度为千米/时。)4(a 若二分队在营地不休息，问要使二分队在最短时间内赶到 A 镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？ 若=4 千米/时，
9、二分队和一分队同时赶到 A 镇，二分队应在营地休息几小时？b18、如图 1、2 是两个相似比为 ：的等腰直角三角形，将两个三角形如图 3 放置，12小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。 在图 3 中，绕点旋转小直角三角形，使两直角边分别与交于点，DBCAC、FE,如图 4。求证：；222EFBFAE 若在图 3 中，绕点旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与CCD交于点，如图 5，此时结论是否仍然成立？若成立，请给出ABFE、222EFBFAE证明；若不成立，请说明理由。来源:学_科_网 Z_X_X_K 如图，在正方形中，分别是边上的点，满足的周长ABCDFE、CDBC、CEF
10、等于正方形的周长的一半，分别与对角线交于，试问线段ABCDAFAE、BDNM、能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；BMMNDN若不能，请说明理由。D图 1BAC图 2DACB 图 3FEDBACNF MEBDACADBFE图 5C 港中数学网图二19、定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。如以正方形的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作ABCD出 8 个不同的向量:、 、（由于和是相等向量，ABBAACCA
11、ADDABDDBABDC因此只算一个） 。 作两个相邻的正方形(如图一)。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值；)2(f)2(f 作个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。以其中的一个顶点为起点，另n一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为，试求的值；)(nf)(nf共 n 个正方形 作个相邻的正方形(如图三)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点32为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为，试求的值；)32( f)32( f图三 作个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶nm图一 港中数学网点为终点作向量, 可
12、以作出不同向量的个数记为，试求的值。)(nmf)(nmf共 m 个 正 方 形 相 连 港中数学网2010 年普通高中自主招生考试科学素养（数学）测试题参考答案和评分标准一、 选择题 (每小题 5 分，共 30 分) 1、B 2、B 3、D 4、C 5、A 6、B二、填空题（每小题 6 分，共 48 分）7、2000 8、 9、 10、 (2,-6) 11、 201 12、 13、 4 , 21 14164 , 114、（本题的答案不唯一，其它画法相应给分）三、解答题（本大题共 5 小题，）276181412121 15、=4，b=3 a y= (0x4) 63832 xx经过 3 秒后重叠部
13、分的面积等于平方厘米。8316、 （2）试探索的大小怎样变化，请说明理由.CGOsin 解：当、两点在上运动时（与点不重合） ，的值不变EFOPPCGOsin 过点作于，并延长交于，连接，DEFDM MDMONON 交于。BCT 因为为等腰三角形， ，DEFEFDM 所以平分DNBDC 所以弧 BN=弧 CN，所以， BCOT 所以 MNOCGO所以=CGOsin53sinONOMMNO即当、两点在上运动时（与点不重合） ，的值不变。EFOPPCGOsin17、一分队的行进速度至少为千米/时。320要使二分队和一分队同时赶到 A 镇，二分队应在营地不休息。BOCPFyGDEx图 1图 2M MN NT T53sinAOHOHAO 港中数学网18、 在图 4 中，由于，将绕点旋转，得， BDAD AEDD180DEB 、。连接 EBAEDEEDFEQ90CABABCEABABCEFB在中有 FEBRt222FEBFBE 又垂直平分 QFDEE EFEF 代换得 222EFBFAE在图 5 中，由，将绕点旋转，BCAC AECC90得CEB 连接 ECCEEBAE,FEQ90CABABCECBABCEFB在中有 FEBRt222FEBFBE 又可证，得VCEFFEC EFEF 代换得
