工程矩阵理论(倪)

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1、第 1 页 共 55 页双语国际教育版系统分析的数学工具工程矩阵理论（适用于数学专业和其它理工科研究生）倪郁东编著合肥工业大学数学学院第 2 页 共 55 页目录第一章 线性空间与线性变换1 1.1 线性空间1 1.2 线性变换及其矩阵3 1.3 内积空间8 1.4 正交变换及其几何与代数特征 1.5 应用于小波变换的框架理论15 第二章 矩阵的标准形理论 2.1 线性变换的特征值和特征向量29 2.2 矩阵的相似对角化32 2.3 特征矩阵的Smith标准形34 2.4 矩阵的Jordan标准形34 2.5 矩阵的最小多项式第三章 矩阵分解29 3.1 Gauss消去法与矩阵三角分解29 3

2、.2 矩阵的QR分解32 3.3 矩阵的满秩分解34 3.4 矩阵的奇异值分解34 3.5 矩阵分解的应用第四章 矩阵范数理论及其应用16 4.1 范数与赋范线性空间 4.2 向量范数及其性质17 4.3 矩阵的范数18 4.4 范数的应用19 第五章 矩阵分析及其应用20 5.1 矩阵序列20 5.2 矩阵级数21 5.3 矩阵函数22 5.4 矩阵的微分和积分25 第 3 页 共 55 页 5.5 矩阵函数的一些应用26 5.6 梯度分析和最优化27 第六章 特征值估计及极性38 6.1 特征值的估计38 6.2 广义特征值问题40 6.3 对称矩阵特征值的极性41 6.4 广义特征值分析

3、的应用42 第七章 广义逆矩阵43 7.1 投影矩阵43 7.2 广义逆矩阵46 7.3 总体最小二乘方法49 第八章Matlab中的矩阵运算简介50 8.1 基本矩阵运算50 8.2 矩阵分解52 8.3 广义逆矩阵和解线性系统54 参考文献57 第 4 页 共 55 页编著者说明1、体例格式为：知识要点，章节内容，各章习题。2、章节内容包括：定义，结论，例题，定理，推论，注记。其中，定理和例题均有证明或解答，而结论和推论则不加详述。第 5 页 共 55 页前言矩阵的概念和理论已被广泛地应用于现代科技的各个领域，有力地推动着现代科学技术的发展。矩阵的思想方法， 被广大的科技工作者所掌握和应用

4、 (矩阵切换器，线性控制理论)，尤其是计算机科学家和控制科学家爱不释手的重要工具。矩阵的概念脱胎于行列式的形式， 是作为表达线性方程组的简单记法而产生的，但其发展的历史却耐人寻味。为了求解线性方程组，1693 年莱布尼茨首次使用行列式概念，1750年克拉姆 (Gramer)法则创立， 1820年高斯 (Gauss)提出消元法（这是一种基本而又重要的方法，广泛用于线性方程组的求解， 更重要的是由此凝炼出了矩阵初等变换的基本方法），但矩阵的概念一直没有形成。虽然， 1801年高斯已把一个线性变换的全部系数视作一个整体，而爱森斯坦因(Eisenstein)在 1844 年就讨论了线性变换及其乘积，

5、并强调了乘法次序的重要性。直到 1851 年，西尔维斯特 (Sylverster)首先提出使用二维数表的符号表示线性方程组， 才引入了矩阵的概念。 将矩阵作为一个独立的数学对象进行的研究， 开始于 1855 年以及其后凯莱 (Cayley)发表的一系列研究矩阵理论的文章。在这些文献中， 他引进了关于矩阵的一些直至现代仍通用的定义，如矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、矩阵的乘积（并且注意到：矩阵的乘法是可结合的， 但一般不可交换， 且m n矩阵只能用nm矩阵去右乘） 、矩阵的逆、转置矩阵、对称矩阵等，并借助于行列式定义了方阵的特征方程和特征根。1858年凯莱发表了关

6、于矩阵理论的研究报告 ，证明了一个重要结果：任何方阵都满足它的特征方程。这个结果现被称为凯莱哈密顿定理。由于正是由于这些奠基性的工作，凯莱被认为是矩阵理论的创始人。第 6 页 共 55 页当然，在矩阵理论之中，也积淀了其它众多科学家的卓越贡献。埃米特 (Hermite)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施 (Clebsch)、布克海姆 (Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯 (Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯 (Frobenius)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最

7、小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1870 年，约当 (Jordan)研究了矩阵化为标准形的问题，建立了著名的约当标准型理论。1892 年，梅茨勒 (Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。到 19 世纪末，矩阵理论已日臻完善，但其应用并不十分广泛，这主要归因于大规模线性方程组求解问题的计算复杂度太大，难以手工进行下去。进入20 世

8、纪之后， 当人们渐渐以为有限维度的矩阵理论和方法已经终结的时候，计算机技术出现了， 这使得矩阵理论获得新生。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质即相互关系，矩阵由最初作为一种工具经过一个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支矩阵理论。而矩阵理论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。 这些应用主要集中于线性问题表示、计算与分第 7 页 共 55 页析，以及非线性问题的线性分析与处理。矩阵理论发展示意图1820年高斯(Gauss)提出消元法1855-58 年凯莱 (Cayley

9、)创立矩阵基本理1851年西尔维斯特 (Sylverster)创立矩阵的概念1878年弗罗伯纽斯 (Frobenius)创立矩阵理论1870 年约当 (Jordan)创立标准形理论1892 年，梅茨勒 (Metzler)创立矩阵函数理论第 8 页 共 55 页第一章线性空间与线性变换知识要点：1、线性空间的概念（数域、线性运算封闭性、线性运算公理），结构（线性无关、基、维数，向量在基下的线性表示和坐标），过渡矩阵 和向量的坐标变换 （可按形式矩阵乘法直接表示）。2、线性空间同构的概念（可自学）。3、线性子空间的概念（定义与充要条件，生成子空间，交空间，和空间，维数定理，直和与直和分解定理）。4

10、、线性变换及其矩阵表示（定义与运算，象空间、核空间和不变子空间，线性变换在基下的表示 :变换与矩阵一一对应、不同基下矩阵相似，线性变换下向量的坐标：变换矩阵左乘向量坐标 ）。5、欧氏空间与酉空间（内积、范数与距离，正交基、正交阵与酉阵，正交补与正交分解）。6、正交变换及其特征 （正交变换及其线性性，正交变换的几何特征，正交变换的矩阵特征）。7、应用于小波变换的框架理论（对偶框架，紧框架，Riesz基）。 1.1线性空间一、线性空间的概念定义 1：设非空集合V相对于数域P具有封闭的加法和数乘运算，并且具有与任何元素之和仍为该元素的零元素，同时每个元素均具有与其之和为零元素的负元素。若V中运算满足

11、加法结合律与交换律、数乘结合律与分配律、乘1 不变性，则称V为数域P上的线性空间。注 1：数域是指对加减乘除四则运算封闭的数集，如有理数集、实数集、复数集等。注 2：易证零元素和负元素均是唯一的。例 1：数域P上的n维（列）向量空间nP。按n维向量的线性运算，nP构成数域P上的线性空间。例 2：nP中的子集0m nSx Ax。按nP中的线性运算，非空子集S是封闭的，从而构成数域P上的线性空间。例 3：数域P上的m n阶矩阵空间m nP。按m n阶矩阵的线性运算，m nP构成数域P上的线性空间。例 4：数域P上的多项式空间 P x。按多项式的线性运算， P x构成数域P上的线性空间。例 5：区间

12、 , a b上的实值连续函数空间 , C a b。按函数的线性运算， , C a b构成数域P上的线性空间。第 9 页 共 55 页例 6：nP例 7：二、线性空间的结构定义2：设12,r为数域P上的线性空间V中的一组向量，若有P中不全为零的一组数12,rk kk，使得11220rrkkk，则称12,r线性相关，否则称为线性无关。定义 3： 设线性空间V中有一组向量12,r，满足：（1）12,r线性无关；（2）V中任一向量均可由12,r线性表示。则称12,r为V的一组基，数r称为V的维数，记为dimV。结论1：设12,n为数域P上线性空间V的一组基，则对于任何向量V,存在唯一一组数12,nk

13、kkP,使得1122nnkkk,从而112212,nnnVkkkk kkP。将记为12 12,nnkkk（），12nkkk称为在基12,n下的坐标。注： 线性空间的基可以理解为空间中的一种参照系，能将所有元素线性表示出来。例 6：1,0,0,1,00,0,1TTT（）, （0）, （）为nP中的一组基，ndimPn；100010000000000000,000000001m nm nm n，为m nP中 的 一 组 基 ，m ndimPmn；211, ,nx xx为 nP x中的一组基， ndimP xn；11, ,nxx中任意有限个向量均为 , C a b中线性无关的向量组，因而 , C a

14、 b不是有限维空间。注： 有限维空间的基不是唯一的，但其维数是唯一确定的。三、过渡矩阵和向量的坐标变换定义 4： 设12,n和12,n为线性空间V中的两组基，若11112121nnppp第 10 页 共 55 页21212222nnppp1122nnnnnnppp则矩阵()ijnPp称为从12,n到12,n的过渡矩阵。将上述基变换表达式简记为1212,nnP，称之为基变换公式。定理 1： 线性空间基之间的过渡矩阵是可逆的。证明： 设从基12,n到基12,n的过渡矩阵为P，则1212,nnP。对于任何列向量12,Tnk kk，120nkkPk时，1122 1212,0nnnnkkkkPkk。由此

15、可得120nkkk，从而过渡矩阵P是可逆的。推论： 设P为12,n到12,n的过渡矩阵，则12,n到12,n的过渡矩阵为1P。证明： 设12,n到12,n的过渡矩阵为Q，则由1212,nnP，1212,nnQ可得121212,=,nnnPQP，从而QPE，即1QP。这说明12,n到12,n的过渡矩阵为1P。定理 2： 设向量在基12,n和12,n下的坐标分别为12n和12n，P为12,n到12,n的过渡矩阵，则第 11 页 共 55 页1122nnP或11221nnP。证明： 由11221212,nnnn（）=（）及1212,nnP得，11221212,nnnnP（）=（），从而1122nnP或11221nnP。注： 上述公式称为向量在不同基下的坐标变换公式。例 9：验证2 1231, xx和21231,1,1xx均为3 P x中的基，并求前一组基到后一组基的过渡矩阵，以及2123pxx在后一组基下的坐标。解： 考察122330kkk，即2 1230kk xk x对任何数x成立，则由多项式理论可知123=0kkk。因而123,是线性无关的，并构成3 P x的一组基。由21121231231,1,12xx及111012001P可逆知，123,也构成3 P x的一组基，并且123,到123,的过渡矩阵为P。由22 123123