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1、1数学高考解题研究数学高考解题研究陕西师范大学数学系 罗增儒 邮编 710062 电话 029-85308872 Emil :zrluosnnueducn不管人们怎么看高考和对高考的研究已经构成了一个具有中国特色的文化现象它 是考试文化的一部分也是数学文化的一部分涉及高考的性质、高考的复习、高考的解 题、高考的命题和高考临场的技术等很多方面有的属于教育有的属于数学其中的高 考解题正与竞赛解题形成“双龙出海”之势堪称中国初等数学研究大地上的长江与黄 河 罗增儒：谈中学教师的数学研究工作 中学数学教学参考 1997 年第 79 期1 1 从数学高考的变革到高考解题的认识从数学高考的变革到高考解题的
2、认识1-11-1 数学高考的数学高考的 3232 年回顾年回顾数学高考自 1977 年恢复以来32 年间“两个有利”基本不变但考试工作不断改革命题改革不断深入1-1-11-1-1 考试工作不断改革考试工作不断改革 1977 年 12 月 10 日恢复的高考沿用了“文革”前的考试办法：文理分科文史类专 业考政治、语文、数学、历史、地理、外语；理工类专业考政治、语文、数学、物理、化 学、外语、生物但是由于准备工作来不及1977 年的高考由各省、市、自治区独立命 题文理两类都只考政治、语文、数学文科加考史地理科加考理化可以说这是一 种早期的各省自主命题且采用“3+X”模式（但“3”没有外语） 从 1
3、978 年开始高考恢复全国统一命题前几年的关键词是“恢复” 试题主要“考 知识”, 1985 年以后高考发展的总体趋势朝着减少高考科目的方向前进先是将理科 7 门、文科 6 门均减为 32 共 5 门（上海则实行 31 共 4 门的方案） 这一年国家教委 决定在北京大学等 43 所高等学校进行招收保送生的试点工作1989 年 8 月国家教委决定将广东省试行 4 年的标准化考试逐步推向全国推行命题标准化、施测标准化、评卷标准化；1993 年又推行标准分数制度1994-2001 年间曾有7 个省市采用标准分后来由于社会不理解而陆续退出1991 年实行高中毕业会考并在总结（恢复）高考十五年成果的基础
4、上正式颁布考试说明 对考试目的、考试性质、考试内容、考试要求以及试卷的题型构成、难度构成、学科构成等都作出了规范的界定与明确的说明1996 年后上大学实行收费；1997 年高校全面并轨,到 2000 年一直由国家“全包”的师范专业亦执行收费标志着招生并轨改革的落幕而 2007 年教育部对六所部属师范大学又实行免费师范生制度1998 年起高校扩招如今毛入学率已达到 21%步入高等教育的大众化阶段（毛入学率在 15%以下为精英教育达到 15%为大众教育） 成为中国高教史上备受好评亦饱经争议的一件大事考试的时间也由一年一次增加为一年两次从免费到收费从精英教育到大众教育表明在 20 世纪末中国的高考已
5、与社会的变革“接轨” 1999 年全国实行“3X”高考科目设置改革方案数学课提出了高考命题“能力立意”22001 年教育部宣布取消高考考生年龄和婚姻限制2003 年起高考从月改为 6 月并试行高校自主招生北大、清华等 22 所高校被赋予的自主招生权；这一年国家教育部允许香港高校在内地自主招生赴港念大学在 2006 年形成一个小高潮2004 年教育部决定在上海（1985 年） 、北京（2002 年）两地试行的基础上扩大省市高考自主命题2004 年有 11 个省市（上海、北京、天津、辽宁、江苏、浙江、福建、湖北、湖南、广东、重庆） 2005 年有 14 个省市（增加山东、安徽、江西） 2006 年
6、达到 16 个省市（增加四川、陕西） 2007 年首批进行实验的 4 个省（广东、山东、海南、宁夏）开始新课程高考2008 年增加到 5 个（江苏） 2009 年增加到 10 个（福建、辽宁、浙江、安徽、天津） 明年还会有 5 个省市（北京、陕西、湖南、黑龙江、吉林）进入新课程高考还有网上阅卷（2000 年广西率先网上阅卷） 、网上系统（在北京便可看到全国的考场）等举措总之高考改革连年不断高考经历了从恢复、到规范、到改革的发展1-1-21-1-2 命题改革不断深入命题改革不断深入 1977 年恢复高考的头几年试题主要“考知识” 曾有“高分低能”的非议；1984 年 “出活题、考能力” 考生成绩
7、低社会有议论；1985 年开始“出活题、考基础、考能力” 趋于平稳；1996 年后注重了“数学思想方法”的考查1999 年数学高考命题提出了“能 力立意” 题型上1985 年开始引进选择题1993 年强调了“数学应用题” 、 “开放探索题”1994 年有“信息迁移题” 1998 年出现了“数学情景题”和“数学开放题” 2002 年把三角形剪拼为三棱锥的题目是一道有深刻数学背景的开放题2008 江苏高考取消了选择题 （2009 能高中数学联赛取消选择题）题量上,经历了从少到多、从增到减的变化过程.19781982 年一般为六九道大题（连小题、附加题一般不超过 10 道） ；1983 年开始使用选
8、择题（5 道） 有九大题、15 小题、18 问之后主要是选择题的题量增加到 1992（18 道选择题） 、1993 年（17 道选择题）达到全卷 28 题 30 问；之后主要是选择题的题量减少到 2001 年基本稳定在 22题 28 问. 可以说高考命题一直在“稳中求进稳中求变、稳中求新” 已完成了从经验性命题 向命题标准化、施测标准化、评卷标准化等的过渡考试更加公平、公正、公开在探索 公平选拔、为素质教育服务的道路上已形成了一些稳定性的风格和值得注意的导向 （1）在明确考查“三基四能力”的基础上更加突出数学思想方法的考查突出数学 与现实生活的联系 （2）在主体上考查中学数学的同时体现进一步学
9、习高等数学的需要主要体现在一 些有挑战性的拉距离题上尤其是各省独立命题之后关注点从关注学生的现实水平变为 “关注学生的未来发展潜能与关注现实水平相结合”. （3）新课程理念的渗透虽然新课程高考 2007 年才开始出现但其三维目标和十个基 本理念在新课程实验时就开始渗透如拓展命题范围出现人文关怀体现“情感、态 度、价值观”课程目标 （4）在命题技术上可以看到： 以教材为依据又不拘泥于教材 在知识交汇处设计命题 能力立意重视代数抽象推理的考查改变了“知识立意” 和“代数考计算、几何 靠推理”的旧认识3减少题量降低难度增加学生分析思考的时间 对三类题型设计了两个从易到难的三个小高潮 变小量难题把关为
10、全卷把关 试题切入容易深入难（阶梯题） 避免死记硬背的内容和繁琐的运算（试卷提供难记易忘的公式） 文理分卷难度有区别（姐妹题） 1-21-2 高考解题研究的初步认识高考解题研究的初步认识由上面的简要回顾可以看到高考变革对解题研究影响比较大的因素主要有 5 个分为 2 大类.1-2-11-2-1 稳定性因素稳定性因素（1）试卷题型.1983 年引进选择题并逐步增加到 18 题、稳定在 12 题导致了选择题的研究.1988 年定型、并由考试说明法定下来的三大题型导致了选择题、填空题、解答题三大题型的研究.陆续出现的“应用题” 、 “探索题” “信息迁移题” “情景题”和“开放题” 推动了多类题型的
11、广泛研究.（2）选拔性质.高考选拔的特点是以解题能力的高低为考核标准一次性决定胜负的如果说平时解题也是一种认识活动是对概念、定理的继续学习是对方法的继续熟练是在发生数学和掌握数学的话那么高考则是“通过解题水平来看数学思维水平” 是一种评估活动.当一道数学题成为高考题后将具有不同于平时作业题的特性如 能力的代表性； 分数的选拔性； 时间的限定性； 评分的阶段性. 需要我们迅速解决两个基本问题：从何处下手？ 向何方前进？由此决定了解题的基本策略 和答题技术. 基本策略有：模式识别差异分析 层次解决 数形结合 当然最重要的是学会分析. 答题技术有： 分解分步的解题策略 缺步解答 引理思想（中途点）的
12、解题策略 跳步解答 以退求进的解题策略 退步解答 正难则反的解题策略 倒步解答 扫清外围的解题策略 辅助解答（3）命题方式.高考命题的依据是考试说明 而考试说明的依据是课程标准 教材是课程的具体化因此高考命题最根本的依据是教材.由教材编拟试题的好处：4依纲靠本抓住课本编题不容易偏离课标教材也不容易产生偏题、怪题或过难 的题 切合学生实际也有利于学生以稳定的心态作答、正常发挥 既有利于检查知识又可以考查能力这类题目与课本内容有某种直接联系但又 作了一定的变化所考查的是“学生理解了的知识” 既不能仅凭死记硬背作答又经过努 力可以做出来 对命题教师既实用又易行教师离开教材重新组织全部题目不仅工作量大
13、而 且容易偏离课标的知识技能目标或过程性目标；如果照搬各种资料则有较大的盲目 性不易结合学生的实际由教材编拟试题既实用、可靠、又容易掌握 有人担心由教材编拟试题会缺少创新其实不然关键在编题技术的运用. 由教材编拟试题的途径： 选编课本原题考试用成题存在公平性的问题通常是要避免的但课本成题却是 一个小小的例外因为它对每个考生是公平的问题是要有典型性、数量适度、并尽量减 少“导致死记硬背”的负面影响 课本中有很多体现核心知识、基本方法或典型模式的例题、习题（重要定理的内容、 证法及应用、自然构成典型模式） 不仅基本题可以用综合题也可以用用好了还能提供 “踏踏实实钻研教材”的导向抵制“资料泛滥”或“
14、题海战术”的歪风 仿制课本类题根据课本的题目类型与编拟思想或变换数据、或变更情境编成 试题 生成课本变题.直接由定义、定理、公式、法则、以及基本运算、基本推理、基本作 图、基本方法、基本经验、基本思想等编拟理解题相当于日常教学的变式练习 综合题更注重知识的整体性结构更注重概念的实质性理解更注重能力的综合性与 灵活性应用（高、中档题） ； 多个公式、多道习题、多个方法的串联、并联与综合 习题的延伸或推广 增加习题的层次 （如给条件增加充分条件、给结论增加必要条件又如换元、把字 母换成代数式等） 改变设问的方向 （如改变知识的形态、从新形态的视角设问又如交换条件与结论 的位置产生逆向问题） 引进讨
15、论的参数 （如把已知数据换成要讨论的字母又如隐去条件、反过来问当什 么情况下时有结论成立） 设置隐含的条件 创设新情景 （如分散条件、或引进应用情景等） 类比 具体实施时常常是多项措施的同时使用 由此产生高考解题的基本方向：化归为课堂上已经解决的问题，包括课本已经解决的 问题和往年的高考题.1-2-21-2-2 发展性因素发展性因素（4）自主命题.2004 年教育部决定在上海（1985 年） 、北京（2002 年）两地试行的基础上扩大省市高考自主命题标志着中国高校招生入学考试实行统一命题这个已经延续了半个世纪的方式迈出了实质性改革的一步有利于素质教育的实施一张试卷难以适应不同层次和不同方面的不同要求分省命题有利于提高选拔的科5学性； 一张试卷承担的风险过分集中分省命题可以防范和降低过分集中而带来的风险；一张试卷难以适应以省市为单位的中学课程改革的实际分省命题有利于中学课程教学改革的推进； 16 个省市自主命题使原来的文、理各 1 套国家卷十几倍的增加以前只有国家卷解题 训练不够用现在自主命题解题
