解数学题的思维策略

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1、第 1 页一、一、 数学解题数学解题 dede 思维策略思维策略导导 读读数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思 维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实 际情况，从以下四个方面进行讲解：一、数学思维的变通性 根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性 提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。三、数学思维的严密性 考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。四、数学思维的开拓性 对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、 对一个题目运用多种不同的解法。策略通过对错误解法、错误分析、思维障碍、思路分析、 正确解法、一题多解等内容的讲解，从实践的

2、层面，演义了解 题思维的全过程。选题严格遵循实用、经典两项原则，深入浅 出，让更多的学生从寻求“是什么”向探究“为什么”转变，从而 培养他们的思维能力。 策略的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到 了全面验证。第一第一讲讲 数学思数学思维维的的变变通性通性一、概念一、概念 数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维 的变通性善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主 要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（ （1）善于）善于观观察察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一 种有

3、目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和 解决问题的前提。 任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征， 对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定 解题思路，找到解题方法。例如，求和.) 1(1 431 321 211 nnL第 2 页这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且，因此，原式等于问题很快就解决111 ) 1(1 nnnn111111 31 21 211nnnL了。 （ （2）善于）善于联联想想联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知

4、识的联系，都是不明显的、间接的、复杂 的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相 应的联想，将问题打开缺口，不断深入。例如，解方程组. 32 xyyx这个方程指明两个数的和为，这两个数的积为。由此联想到韦达定理，、是一元二23xy次方程 的两个根，0322 tt所以或.可见，联想可使问题变得简单。 31 yx 13 yx（ （3）善于将）善于将问题进问题进行行转转化化数学家 G . 波利亚在怎样解题中说过：数学解数学解题题是命是命题题的的连续变换连续变换。 。可见，解题过程是通 过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样

5、转化呢？概括 地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问 题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。例如，已知,cbacba1111)0, 0(cbaabc求证、三数中必有两个互为相反数。abc恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：0)()(accbba思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法 解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公 式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。 综上所述，善于观察、善于联

6、想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提 高思维变通性，必须作相应的思维训练。二、思二、思维训练实维训练实例例 、1、观观察能力的察能力的训练训练虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能 力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。第 3 页例例 1 已知都是实数，求证dcba,.)()(222222dbcadcba思路分析思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点， 可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体

7、现。证证明明 不妨设如图 121 所示，),(),(dcBbaA则.)()(22dbcaAB,2222dcOBbaOA在中，由三角形三边之间的关系知：OAB当且仅当 O 在 AB 上时，等号成立。ABOBOA因此，.)()(222222dbcadcba思思维维障碍障碍 很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用 这些方法证明很繁。学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对 这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此，平时应多注意数学公式、定理的运用 练习。、 2已知，试求的最大值。xyx6232222yx 解解 由 得xyx6232

8、2. 20, 0323, 0.3232222xxxyxxyQ又,29)3(2132322222xxxxyx当时，有最大值，最大值为2x22yx . 429)32(212思路分析思路分析 要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数22yx 22yx 然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大,29)3(21)(2xxfx02y值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。xyO),(baA),(dcB图图121第 4 页思思维维障碍障碍 大部分学生的作法如下：由 得 xyx62322,32322xxy,29)3(2132322222xxxxyx当时，取最大值，最大值为3x22

9、yx 29这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注意审题，不仅能02y从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件， 又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。 有些问题的观察要从相应的图像着手。、 3已知二次函数满足关系),0(0)(2acbxaxxf，试比较与的大小。)2()2(xfxf)5 . 0(f)(f思路分析思路分析 由已知条件可知，在与左右等距离的点的函数值相等，)2()2(xfxf2x说明该函数的图像关于直线对称，又由2x 已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致 图像简捷地解出此题。解解 （如图

10、122）由，)2()2(xfxf知是以直线为对称轴，开口向上的抛物线)(xf2x它与距离越近的点，函数值越小。2x)()5 . 0(25 . 02ffQ思思维维障碍障碍 有些同学对比较与的大小，只想到求出它们的值。而此题函数)5 . 0(f)(f的表达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件)(xf的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真 正含义，这样才能顺利解题。提高思维的变通性。 、2、联联想能力的想能力的训练训练、 4在中，若为钝角，则的值ABCCtgBtgA(A) 等于 1 (B)小于 1 (C) 大于 1

11、 (D) 不能确定思路分析思路分析 此题是在中确定三角函数的值。因此，联想到三角函数正切的两ABCtgBtgAxyO2图图 122第 5 页角和公式可得下面解法。tgBtgAtgBtgABAtg1)(解解 为钝角，.在中CQ0tgCABC)(BACCBA且均为锐角，、BA. 1. 01, 0, 0. 01)()(tgBtgAtgBtgAtgBtgAtgBtgAtgBtgABAtgBAtgtgC即Q故应选择（B） 思思维维障碍障碍 有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握 得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。、 5若.2, 0)(4)(

12、2zxyzyyxxz证明：思路分析思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现 它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。证证明明 当时，等式 0 yx0)(4)(2zyyxxz可看作是关于 的一元二次方程有等根的条件，在进一步t0)()()(2zytxztyx观察这个方程，它的两个相等实根是 1 ，根据韦达定理就有：即 1 yxzyzxy2若，由已知条件易得 即,显然也有.0 yx, 0 xzzyxzxy2、 6已知均为正实数,满足关系式,又为不小于的自然数，求证:cba、222cban3.nnncba思路分析思路分析 由

13、条件联想到勾股定理,可构成直角三角形的三边，进一222cbacba、步联想到三角函数的定义可得如下证法。 证证明明 设所对的角分别为、则是直角，为锐角，于是cba、AB.CCA且,cos,sincbAcaA, 1cos0, 1sin0AA当时，有3nAAAAnn22coscos,sinsin第 6 页于是有1cossincossin22AAAAnn即 , 1)()(nn cb ca从而就有 .nnncba思思维维阻碍阻碍 由于这是一个关于自然数的命题，一些学生都会想到用数学归纳法来证明，难n 以进行数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，单纯学代数，学几何，因而不能 将题目条件的数

14、字或式子特征与直观图形联想起来。 、3、问题转问题转化的化的训练训练 我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知 识，而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。恰当的转化，往往使问题很快得到解决， 所以，进行问题转化的训练是很必要的。转转化成容易解决的明化成容易解决的明显题显题目目 1例例 11 已知求证、中至少有一个等于 1。, 1111cbacbaabc思路分析思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成 我们熟悉的形式。、中至少有一个为 1，也就是说中至少有一个为零，abc111cba、 这样，问题就容易解

15、决了。证证明明 ., 1111abcabacbccbaQ于是 . 0)() 1() 1)(1)(1(cbabcacababccba中至少有一个为零，即、中至少有一个为 1。111cba、abc 思思维维障碍障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一 个为 1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习 这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。、 12直线的方程为，其中；椭圆的中心为，焦点在轴L2px0pE)0 ,22(pOX上，长半轴为 2，短半轴为 1，它的一个顶点为，问在什么范围内取值时，椭圆上有四个)0 ,2(pAp不同的点，它们中的每一点到点的距离等于该点到直线的距离。AL 思路分析思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线（