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1、66习题三习题三1 确定下列函数的单调区间：(1) ；3226187yxxx解：所给函数在定义域内连续、可导，且(,) 2612186(1)(3)yxxxx 可得函数的两个驻点：,在内，分别取+，+121,3xx (, 1),( 1,3),(3,) y号，故知函数在内单调增加，在内单调减少.(, 1,3,) 1,3(2) ；82 (0)yxxx解: 函数有一个间断点在定义域外，在定义域内处处可导，且，则函数0x 282yx 有驻点，在部分区间内，；在内0，故知函数在内2x (0,20y2,)y2,)单调增加，而在内单调减少.(0,2(3) ；2ln(1)yxx解: 函数定义域为，,故函数在上单
2、调增加.(,) 210 1y x (,) (4) ；3(1)(1)yxx解: 函数定义域为,，则函数有驻点: ,在(,) 22(1) (21)yxx 11,2xx 内， ，函数单调减少；在内， ，函数单调增加.1(, 20y1 ,)20y (5) ；e (0,0)nxyxnn解: 函数定义域为，0,)11eee()nxnxxnynxxxnx 函数的驻点为,在上，函数单调增加；在上，函数0,xxn0, n0y ,n 0y单调减少.(6) ；sin2yxx67解: 函数定义域为,(,) sin2 , , , ,2 sin2 , , , .2xxxnnn y xxxnnn ZZ1)当时， ，则 ,
3、2xnn12cos2yx ；10cos2 , 23yxxnn .0cos2 , 232yxxnn 2)当时， ，则 , 2xnn1 2cos2yx 10cos2 , 226yxxnn.10cos2 , 26yxxnn综上所述，函数单调增加区间为，, ()223kkkz函数单调减少区间为., ()2322kkkz(7) .54(2) (21)yxx解: 函数定义域为.(,) 4453345(2) (21)4(2) (21)2(21) (1811)(2)yxxxxxxx 函数驻点为,123111,2218xxx 在内， ,函数单调增加，1(,2 0y 在上， ,函数单调减少，1 11,2 180y
4、在上， ,函数单调增加，11,2180y 在内， ,函数单调增加.2,)0y 故函数的单调区间为: ，.1(,2 1 11,2 1811,)182. 证明下列不等式:68(1) 当时， 02xsintan2 ;xxx证明: 令则,( )sintan2 ,f xxxx22(1 cos )(coscos1)( )cosxxxfxx当时， 为严格单调增加的函数，故,02x( )0,( )fxf x( )(0)0f xf即sin2tan2 .xxx(2) 当时， 01x2 esin1.2xxx 证明: 令,则,2 ( ) = esin12xxf xx ( ) =ecosxfxxx,则为严格单调减少的函
5、数,故( ) = esin1e(sin1)0xxfxxx ( )fx,即为严格单调减少的函数,从而,即( )(0)0fxf( )f x( )(0)0f xf2 esin1.2xxx 3. 试证:方程只有一个实根.sin xx证明:设，则为严格单调减少的函数，因此( )sinf xxx( )cos10,f xx ( )f x至多只有一个实根.而，即为的一个实根，故只有一个实( )f x(0)0f0x ( )f x( )f x根，也就是只有一个实根.0x sin xx 4. 求下列函数的极值:(1) ；223yxx解: ,令，得驻点.22yx 0y 1x 又因，故为极小值点，且极小值为.20y 1
6、x (1)2y(2) ；3223yxx解: ,令，得驻点,266yxx 0y 120,1xx,126yx 010,0xxyy故极大值为，极小值为.(0)0y(1)1y (3) ；3226187yxxx69解: ,2612186(3)(1)yxxxx 令，得驻点.0y 121,3xx ,1212yx 130,0xxyy故极大值为，极小值为.( 1)17y (3)47y (4) ；ln(1)yxx解: ，令，得驻点.1101yx 0y 0x ,故为极大值.201,0(1)xyyx(0)0y(5) ；422yxx 解: ，32444 (1)yxxxx 令，得驻点.0y 1231,0,1xxx 2 1
7、0124, 0,0,xxyxyy 故为极大值，为极小值.( 1)1y (0)0y(6) ；1yxx解: ,令，得驻点且在定义域内有一不可导点，112 1yx 0y 13,4x (,121x 当时， ;当时， ,故为极大值点，且极大值为.3 4x 0y3 4x 0y 13 4x 35( )44y因为函数定义域为，故不是极值点.1x 1x (7) ； 21 345xy x 解: ,令，得驻点. 2 3125(45)xy x 0y 12 5x 当时， ；当，,故极大值为.12 5x 0y12 5x 0y 121()205510y(8) ；22344 1xxyxx70解: ,2131xyxx22(2)
8、 (1)x xyxx 令，得驻点.0y 122,0xx 2223( 22)(1)2(21)(2 ) (1)xxxxxxyxx ,200,0xxyy故极大值为，极小值为.(0)4y8( 2)3y (9) ；e cosxyx解: ,e (cossin )xyxx 令，得驻点.0y (0, 1, 2,)4kxkk L，2e sinxyx 2 (21)440,0xkxkyy故为极大值点，其对应的极大值为;22 4kxk2 4 22()e2kky x为极小值点，对应的极小值为.21(21) 4kxk(21)4 212()e2kky x (10) ；1 xyx解: ,11211 ln(ln )xxxyxx
9、xxx令，得驻点.0y ex 当时， ，当时， ,ex 0yex 0y 故极大值为.1 e(e)ey(11) ；2eexxy解: ,令，得驻点.2eexxy 0y ln2 2x ,ln2 22ee ,0xx xyy 71故极小值为.ln2()2 22y (12) ；2 32(1)yx解: ，无驻点. y 的定义域为，且 y 在 x=1 处不可导，当 x1 时321 31yx (,) ，当 x0 时，函数的最大值为，最小值为;22bbyaa(0)0y当 a0，试证：的最大值为.11( )11f x xxa2 1a a 证明： 11,011 11( ),011 11,11xxxaf xxaxxax
10、axxa 当 xa 时，,2211( )0 11fx xxa 又，且.lim( )0 xf x 2(0)( )1aff aa而的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得( )f x故 .max242( ),0121aaf xaaa11. 在半径为 r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.解：设圆柱体的高为 h, 则圆柱体底圆半径为，2 2 4hr 2223244hVhr hhr令, 得0V 2 3.3hr74即圆柱体的高为时，其体积为最大.2 3 3r12. 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如 12 题图所示)，设截面积为 am2，问 底宽 x 为多少时，才能使
11、所用建造材料最省? 解：由题设知2122xxya得 21188axayxxx 截面的周长212112( )2,2424 2( )1,4aal xxyxxxxxxxx al xx 令得唯一驻点，即为最小值点.( )0l x8 4ax 即当时，建造材料最省.8 4ax 13. 甲、乙两用户共用一台变压器(如 13 题图所示)，问变压器设在输电干线 AB 的何处时， 所需电线最短？ 解：所需电线为2222222( )11.5(3)(03)2.25(3)(3)1( ) 1 2.25(3)L xxxxxxxxL x xx 在 02 时，即曲线在内是凹的；0y 2,)当 x1 或 x1 时，即曲线在内是凹
12、的;0y 1,)当 00) 1( )ln1,( )0(0)fxxfxxx 则曲线是凹的，xy，有( )yf x, x yR( )( ) 22f xf yxyf78即 ，1ln( lnln )222xyxyxxyy即 .lnln()ln2xyxxyyxy18. 求下列曲线的拐点：23(1) ,3;xtytt解：22223d33d3(1),d2d4ytyt xtxt 令，得 t=1 或 t=122d0dy x则 x=1，y=4 或 x=1，y=4当 t1 或 t0，不失一般性，当时，即时，3tan3 3322d0dy x当或时，即或时，,tan3tan3 3 322d0dy x故当参数或时，都是 y 的拐点，且拐点为及. 3 3 2 33,32aa 2 33,32aa19. 试证明：曲线有三个拐点位于同一直线上.21 1xyx证明：，22221 (1)xxyx 79232(1)(23)(23) (1)xxxyx 令，得0y 1,23,23xxx 当时，；(, 1)x 0y当时；( 1,23)x 0y 当时；(23,23)x0y当时,(23,)x0y 因此，曲线有三个拐点(1，1)，.1313(23,),(23,)44 因为 =0111131234 131234
