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1、高二数学圆锥曲线知识汇总高二数学圆锥曲线知识汇总知识整理知识整理解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系） ，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。1、三种圆锥曲线的研究（1）统
2、一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：，其 0e, ed|PF|P中 F 为定点，d 为 P 到定直线的距离，F，如图。因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。当 01 时，点 P 轨迹是双曲线；当 e=1 时，点 P 轨迹是抛物线。（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：P|PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|0，F1、F2为定点，双曲线P|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|2a0，F1，F2为定点。（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点
3、中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。定量：椭 圆双 曲 线抛 物 线焦 距2c长轴长2a实轴长2a短轴长2b焦点到对应准线距离P=2cb2p通径长2ab22p离心率 ace 1基本量关系a2=b2+c2C2=a2+b2（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在 x 轴上的方程如下：椭 圆双 曲 线抛 物 线标准方程1byax2222 （ab0）1byax2222 （a0，b0）y2=2px（p0）顶 点（a，0） （0，b）（a，0）（0，0）焦 点（c，0）（，0）2p准 线X=ca2 x=2p中 心（0，0）有界性|
4、x|a|y|b|x|ax0P(x0，y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点焦半径|PF1|=a+ex0|PF2|=a-ex0P 在右支时：|PF1|=a+ex0|PF2|=-a+ex0P 在左支时：|PF1|=-a-ex0|PF2|=a-ex0|PF|=x0+2p总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2、直线和圆锥曲线位置关系（1）位置关系判断：法（适用对象是二次方程，二次项系数不为 0） 。其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形
5、下，消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0。直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0。（2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。例题研究例题研究例 1、根据下列条件，求双曲线方程。（1）与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，） ；116y 9x22 32（2）与双曲线有公共焦点，且过点（，2）
6、 。14y 16x22 23分析：分析：法一：（1）双曲线的渐近线为116y 9x22 x34y令 x=-3，y=4，因，故点（-3，）在射线（x0）及 x 轴负半43232x34y轴之间， 双曲线焦点在 x 轴上设双曲线方程为， （a0，b0）1byax2222 1b)32(a)3(34 ab2222解之得： 4b49a22 双曲线方程为14y49x22 （2）设双曲线方程为（a0，b0）1byax2222 则 1b2a)23(20ba222222解之得： 8b12a22 双曲线方程为18y 12x22 法二：（1）设双曲线方程为（0）16y 9x22 16)32( 9)3(22 41 双曲
7、线方程为14y49x22 （3）设双曲线方程为1k4y k16x22 0k40k16 1k42 k16)23(22 解之得：k=4 双曲线方程为18y 12x22 评注：与双曲线共渐近线的双曲线方程为（0） ，当 01byax2222 2222byax时，焦点在 x 轴上；当 0，b2-k0） 。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高1kbykax2222 解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。例 2、设 F1、F2为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知 P、F1、F2是一14y 9x22 个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求的值
8、。|PF|PF|21解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。法一：当PF2F1=900时，由得： 5c) c2(|PF|PF|6|PF|PF|222 22 121，314|PF|134|PF|2 27 |PF|PF|21当F1PF2=900时，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2 2|PF|PF|21法二：当PF2F1=900，5xP 34yP P（）34,5 又 F2（，0）5 |PF2|=34 |PF1|=2a-|PF2|=314当F1PF2=900，由得： 14y 9x)5(yx22222P（） 。下略。554,553评注：由|PF1|PF2|的条件，直角
9、顶点应有两种情况，需分类讨论。例例 3 3、设点 P 到 M（-1，0） ，N（1，0）的距离之差为 2m，到 x 轴、y 轴的距离之比为2，求 m 取值范围。分析：分析：根据题意，从点 P 的轨迹着手 |PM|-|PN|=2m 点 P 轨迹为双曲线，方程为（|m|m，x2m2 2 222 mm51)m1 (m又 00 且 m055|m| )55, 0()0,55(mU评注：利用双曲线的定义找到点 P 轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想，建立函数关系式。例例 4 4、已知 x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线同时满足下列两个条件：与双曲线交于不同两点；与
10、圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线方程。分析：分析：选择适当的直线方程形式，把条件“是圆的切线” “切点 M 是弦 AB 中点”翻译为关于参数的方程组。法一：当斜率不存在时，x=-1 满足；当斜率存在时，设：y=kx+b与O 相切，设切点为 M，则|OM|=1 1 1k|b|2 b2=k2+1 由得：(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0 1y) 1x(bkxy22当 k1 且0 时，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则中点 M（x0，y0） ，20221k1kb1x,k1)kb1 (2xx y0=kx0+b=2k1bk M 在O 上 x02+y02=1 (1
11、+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2 由得： 或 332b33k 332b33k ：或332x33y332 33y法二：设 M（x0，y0） ，则切线 AB 方程 x0x+y0y=1当 y0=0 时，x0=1，显然只有 x=-1 满足；当 y00 时，000 y1xyxy代入(x-1)2-y2=1 得：(y02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0 y02+x02=1 可进一步化简方程为：(1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0由中点坐标公式及韦达定理得：2 002 0 0x211xxx 即 2x03-x02-2x0+1=0解之得：x0=1(舍)，x0=21 y0=。下
12、略23评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点” ）转化为关于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。例例 5 5、A、B 是抛物线 y2=2px（p0）上的两点，且 OAOB，（1）求 A、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求证：直线 AB 过定点；（3）求弦 AB 中点 P 的轨迹方程；（4）求AOB 面积的最小值；（5）O 在 AB 上的射影 M 轨迹方程。分析：分析：设 A（x1,y1） ，B（x2,y2） ，中点 P（x0,y0）（1）22 OB 11 OAxyk,xyk OAOB kOAkOB=-1 x1x2+y
13、1y2=0 y12=2px1，y22=2px2 0yyp2y p2y 212 22 1 y10，y20 y1y2=-4p2 x1x2=4p2（2） y12=2px1，y22=2px2 （y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) 212121 yyp2 xxyy 21AByyp2k 直线 AB：)xx(yyp2yy1 211 211 1 21yypx2yyypx2y 212112 121yyyypx2y yypx2y 2 2112 1p4yy,px2y 21221yyp4 yypx2y )p2x(yyp2y21 AB 过定点（2p，0） ，设 M（2p，0）（3）设 OAy=kx，代入 y
14、2=2px 得：x=0，x=2kp2 A（）kp2,kp22同理，以代 k 得 B（2pk2，-2pk）k1 )kk1(Py)k1k(px022 0 2)kk k1(k1k2 22 2)py(px200即 y02=px0-2p2 中点 M 轨迹方程 y2=px-2p2（4）|)y|y(|p|)y|y(|OM|21SSS2121BOMAOMAOB 2 21p4|yy|p2当且仅当|y1|=|y2|=2p 时，等号成立评注：充分利用（1）的结论。（5）法一：设 H（x3,y3） ，则33 OHxyk 33 AByxk AB：)xx(yxyy3 33 3即代入 y2=2p 得33 33x)yy(xy
15、x0px2xp2yxpy2y3 32 3332由（1）知，y1y2=-4p2 2 3 32 3p4px2xpy2整理得：x32+y32-2px3=0 点 H 轨迹方程为 x2+y2-4x=0（去掉（0，0） ）法二： OHM=900，又由（2）知 OM 为定线段 H 在以 OM 为直径的圆上 点 H 轨迹方程为(x-p)2+y2=p2，去掉（0，0）例例 6 6、设双曲线上两点 A、B，AB 中点 M（1，2）12yx2 2（1）求直线 AB 方程；（2）如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点，那么 A、B、C、D 是否共圆，为什么？分析：分析：（1）法一：显然 AB 斜率存在设 AB：y-2=k(x-1
