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1、2012 年普通高等学校招生全国年普通高等学校招生全国统统一考一考试试（广（广东东卷）卷）B 卷卷数学（文科）数学（文科） 本试题共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：注意事项： 1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填 写在答题卡上。用 2B B 铅笔将试卷类型（A A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡 右上角“条形码粘贴处”. 2、 选择题每小题选出答案后，用 2B B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3、 非选择
2、题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上 要求做大的答案无效。 4、 作答选做题时，请先用 2B B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的， 答案无效。 5、 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：参考公式：锥体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高.1 3VShSh球的体积，其中为球的半径。34 3VRR一组数据的标准差，12,nx xxL222 121()()() nsxxxxxxnL其中x表示这组数据的平均数
3、。一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 4040 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。符合题目要求的。1. 设 为虚数单位，则复数=( )i34i i( )A43i ( )B43i ( )Ci()Di【解析】选 依题意：D234(34 )43ii iiii2设集合；则( )1,2,3,4,5,6,1,3,5UMUC M ( )A , , ( )B 1,3,5( )C , , ()DU【解析】选 AUC M , , 3. 若向量；则( )(1,2),(3,4)ABBCu
4、uu ruuu rAC uuu r( )A(4,6)( )B ( 4, 6)( )C (,) ()D( , ) 【解析】选 A(4,6)ACABBCuuu ruuu ruuu r4. 下列函数为偶函数的是( )( )Asinyx( )B3yx( )Cxye()Dlnyx【解析】选 与是奇函数,，是非奇非偶函数Dsinyx3yxxye5. 已知变量满足约束条件，则的最小值为( ), x y1 10 1xy x xy 2zxy( )A3( )B1( )C5()D6【解析】选 约束条件对应边际及内的区域： CABC(1,0), ( 1,2),1, 2)ABC则2 5,3zxy 6. 在中，若，则(
5、)ABC60 ,45 ,3 2ABBCAC ( )A 4 3( )B 2 3( )C()D 【解析】选B由正弦定理得：3 22 3sinsinsin60sin45BCACACACAB7某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为( )( )A72( )B48( )C()D【解析】选 几何体是半球与圆锥叠加而成C它的体积为3222141335330233V8. 在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，xOy3450xy224xy,A B则弦的长等于( )AB( )A 3 3( )B 2 3( )C()D【解析】选B圆的圆心到直线的距离224xy(0,0)O3450xy515d弦的长AB2222 3
6、ABrd9. 执行如图 2 所示的程序框图，若输入的值为 6，则输出的值为ns( )A105( )B16( )C()D【解析】选C s11315 i135710. .对任意两个非零的平面向量和，定义；若两个非零的平面向量满足， gog, a br r与的夹角，且都在集合中，则( )arbr(,)4 2 ,a b b arr rroo2nnZa b rro( )A1 2( )B1( )C ()D 【解析】选A21cos0,cos0() ()cos(0, )2ab a bb aa bb a barr rrrrrrrroooorr都在集合中得：,a b b arr rroo2nnZ*12 121()
7、 ()( ,)42n na bb an nNa brrrrrrooo二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 5 5 小题，考生作答小题，考生作答 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分。分。( (一）必做题（一）必做题（11-1311-13 题）题）11. 函数的定义域为_1xyx【解析】定义域为_ 1,0)(0,)U中的满足：或1xyxx10100xxx 0x 12. 等比数列满足，则na241 2a a 2 135a a a _【解析】2 135a a a _1 4224 2431353111,224a aaa a aa13. 由正整数组成的一组数据，其
8、平均数和中位数都是，且标准差等于 ，1234,x x x x21则这组数据为_。 （从小到大排列） 【解析】这组数据为_1,1,3,3不妨设得：1234xxxx231234144,84xxxxxxxx22222 12341(2)(2)(2)(2)420,1,2isxxxxx 如果有一个数为或；则其余数为，不合题意042只能取；得：这组数据为21ix 1,1,3,3（2 2）选做题（选做题（1414 - - 1515 题，考生只能从中选做一题）题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为xOy1C2C是参数，）和是参数） ，它们的交点
9、坐标为_.25cos:( 5sinxC y 022212:( 2 2xt Ctyt 【解析】它们的交点坐标为_(2,1)解得：交点坐标为22 12:5( ,0),:1Cxyx yCyx(2,1)15.(几何证明选讲选做题）如图所示，直线与圆想切于点，3PBOB是弦上的点，若，DACPBADBA ,ADm ACn则_。AB 【解析】_AB mn,PBADBAACBBADCABBADCAB :得：2ABADABACADmnABmnACAB三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 8080 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。分。解答需写出文字说明、证明过程和演
10、算步骤。 16. (本小题满分 12 分)已知函数，且。( )cos()()46xf xAxR()23f（1）求的值；A（2）设，；求的值,0,2 43028(4),(4)31735ff cos()【解析】 （1）()2cos2234fAA（2）43015158(4)cos()sin,cos3172171717f 2843(4)cos,sin3555f4831513cos()coscossinsin51751785 17. (本小题满分 13 分) 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图 如图 4 所示，其中成绩分组区间是： 50,6060,7070,8080,9090,100。
11、（1）求图中的值；a （2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； （3）若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩x 相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在y 50，90）之外的人数。【解析】 （1）(20.020.030.04) 1010.005aa （2）平均分为55 0.0565 0.475 0.385 0.295 0.0573（3）数学成绩在内的人数为人50,90)145(0.0050.040.030.02) 10 10090234数学成绩在外的人数为人50,90)1009010答：（1） （2）这 100 名学生语文成绩的平均分为0.
12、005a 73（3）数学成绩在外的人数为人。50,90)1018.(本小题满分 13 分)如图 5 所示，在四棱锥中，平面，是中点，PABCDAB PAD/ /,ABCD PDADEPB是上的点，且，为中边上的高。FDC1 2DFABPHPADAD（1）证明：平面；PH ABCD（2）若，求三棱锥的体积；1,2,1PHADFCEBCF（3）证明：平面EF PAB【解析】 （1）平面，面AB PADPH PADPHAB又面,PHAD ADABAPHIABCD（2）是中点点到面的距离EPBEBCF11 22hPH三棱锥的体积EBCF111112123326212BCFVShFCADh （3）取的中
13、点为，连接PAG,DG EG，又平面面面面PDADDGPAAB PADPAD PABDGPAB点是棱的中点,E G,PB PA11/ /,/ / / /22EGAB DFABEGDFDGEF得：平面EF PAB19.(本小题满分 14 分)设数列的前项和为，数列的前项和为，满足 nannS nSnnT2*2nnTSnnN，（1）求的值；（2）求数列的通项公式。1a na【解析】 （1）在中，令2*2nnTSnnN，1111211naaa （2），相减得：22 1122(1)nnnnTSnTSn，12(21)nnSSn，相减得：12(21)nnSSn212(23)nnSSn2122nnaa，得1
14、2121234aSSa 122nnaa112222(2)nnnnaaaa得：数列是以为首项，公比为的等比数列2na 123a 21123 23 22nn nnaa 20.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点，xoy22122:1(0)xyCabab1( 1 0)F ，且在在上。(0 1)P，1C（1）求的方程；1C（2）设直线 同时与椭圆和抛物线相切，求直线 的方程l1C2 2:4Cyxl【解析】 （1）由题意得：221,12,1bcababc 故椭圆的方程为：1C2 212xy（2）设直线，直线 与椭圆相切: l xml1C2m 直线与抛物线相切，得：不存在2 2:4Cyx0mm设直线: l ykxm直线 与椭圆相切两根相等l1C222(12)4220kxkmxm 22 1021mk
