空间向量及其运算知识总结

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1、下关一中 2014 级数学1空间向量及其运算空间向量及其运算 1空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量奎屯王新敞新疆 注：空间的一个平移就是一个向量奎屯王新敞新疆 向量一般用有向线段表示奎屯王新敞新疆同向等长的有向线段表示同一或相等的向量奎屯王新敞新疆 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示奎屯王新敞新疆2空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下;baABOAOBvrbaOBOABArr)(RaOPr运算律：加法交换律：abbavvvr加法结合律：)()(cbacbavvvvrv数乘分配律：babavvvv )( 3平行六面体

2、： 平行四边形 ABCD 平移向量到的轨迹所形成的几何体，arDCBA 叫做平行六面体，并记作：ABCD奎屯王新敞新疆它的六个面都是平行四DCBA 边形，每个面的边叫做平行六面体的棱奎屯王新敞新疆 4. 平面向量共线定理 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线 上，所以平行向量也叫做共线向量向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使.brarbrar要注意其中对向量的非零要求ar5 奎屯王新敞新疆共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于记作arbrbarv/当我们说向量、共线（或/）时

3、，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，arbrarbrarbr也可能是平行直线6 共线向量定理：空间任意两个向量、（） ，/的充要条件是存在实数 ，使arbrbr0rarbr.arbr推论：如果 为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么lar对于任意一点O，点P在直线 上的充要条件是存在实数t满足等式 l其中向量叫做直线 的方向向量.tOAOPararl 空间直线的向量参数表示式：或，tOAOPar)(OAOBtOAOPOBtOAt)1 (中点公式 )(21OBOAOP7向量与平面平行：已知平面和向量，作，arOAauu u rr如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行OAar于平

4、面，记作：通常我们把平行于同一平面的/ar向量，叫做共面向量奎屯王新敞新疆 说明：空间任意的两向量都是共面的奎屯王新敞新疆8共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量, a brrpr共面的充要条件是存在实数使奎屯王新敞新疆, a brr, x ypxaybrrr推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使PMAB, x y或对空间任一点，有MPxMAyMBuuu ruuu ruuu rOOPOMxMAyMBuuu ruuuu ruuu ruuu r或 ,(1)OPxOAyOBzOMxyzuuu ruu u ruuu ruuuu raCBADDABCApbaOPABM下关一中 20

5、14 级数学2ykiA(x,y,z)Ojxz上面式叫做平面的向量表达式奎屯王新敞新疆MAB9 奎屯王新敞新疆空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序, ,a b crrrpr实数组，使奎屯王新敞新疆, ,x y zpxaybzcrrrr若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意, ,a b crrr , , a b crrr, ,a b crrr三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底奎屯王新敞新疆推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使, , ,O A B CP, ,x y z奎屯王新敞新疆OPxOAyOBz

6、OCuuu ruu u ruuu ruuu r10 奎屯王新敞新疆空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则, a brrO,OAa OBbuu u ruuu rrr叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；AOBarbr, a brr0, a brr,a bb arrrr若，则称与互相垂直，记作：.,2a brrarbrabrr11向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.OAauu u rrOAuu u rar|ar12向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即, a brr| | cos,aba brrrr, a brra brra brr| |

7、cos,aba brrrr已知向量和轴 ，是 上与 同方向的单位向量，作点在 上的射影，作点在ABauuu rrlerllAlAB上的射影，则叫做向量在轴 上或在上的正射影. 可以证明的长度lBA B uuuu rABuuu rlerA B uuuu r| |cos,|A BABa ea e uuuu ruuu rr rr r13空间向量数量积的性质： （1） （2） （3）|cos,a eaa er rrr r0aba brrrr2|aa arr r 14空间向量数量积运算律：（1） （2）（交换律） ()()()aba babrrrrrra bb arrrr（3）（分配律）奎屯王新敞新疆(

8、)abca ba crrrrrr r空间向量的直角坐标及其运算空间向量的直角坐标及其运算 1 奎屯王新敞新疆空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 ，这个基底叫单位正1交基底，用表示； , , i j kr r r（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，O , , i j kr r rO分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它, ,i j kr r rxyz们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，OxyzO向量 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称, ,i j kr r r为平面，平面，平面；xOyyOzzOx 2

9、空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实OxyzA数组，使，有序实数组叫作向量在( , , )x y zOAxiyjzkuu u rrr( , , )x y zA空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵Oxyz( , , )A x y zxy 坐标，叫竖坐标z 常见坐标系常见坐标系正方体：如图所示，正方体的棱长为，一般ABCDA B C DaAADBBDCCyzxBCAD Ozxy下关一中 2014 级数学3选择点为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系DDADCDDxyz，则各点坐标为Dxyz 亦可选点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与

10、之类似. A 正四面体：如图所示，正四面体的棱长为，一般选择在上的射影为原ABCDaABCD 点，、（或） 、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，OCODOBOAxyzOxyz 则各点坐标为 正四棱锥：如图所示，正四棱锥的棱长为，一般选择点在平面的射PABCDaPABCD 影为原点，（或） 、（或） 、所在直线分别为轴、OAOCOBODOPx 轴、轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为yzOxyz正三棱柱：如图所示，正三棱柱 的底面边长为，ABCA B Ca 高为，一般选择中点为原点，（或） 、（为hACOCOAOBOEE 在上的射影）所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角OA Cxyz坐标

11、系，则各点坐标为 Oxyz 3空间向量的直角坐标运算律：（1）若，则123(,)aa a ar123( ,)bb b br，112233(,)abab ab abrr，112233(,)abab ab abrr123(,)()aaaaRr， 1 1223 3a baba ba br r，112233/,()abab ab abRrr1 1223 30ababa ba brr（2）若，则111( ,)A x y z222(,)B xyz212121(,)ABxx yy zzuuu r一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标奎屯王新敞新疆4 奎屯王新敞新疆模

12、长公式模长公式：若，123(,)aa a ar123( ,)bb b br则，222 123|aa aaaarr r222 123|bb bbbbrr r5夹角公式夹角公式：1 1223 3222222 123123cos| |aba ba ba ba babaaabbbr rr rrr6两点间的距离公式两点间的距离公式：若，111( ,)A x y z222(,)B xyz则，或 奎屯王新敞新疆2222 212121|()()()ABABxxyyzzuuu ruuu r222 ,212121()()()A Bdxxyyzz空间向量应用空间向量应用 一、直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或

13、与它平行的向量都称为直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量. .在空间直角坐标系中，由在空间直角坐标系中，由与与确定直线确定直线的方向向量是的方向向量是. .111( ,)A x y z222(,)B xyzAB212121(,)ABxx yy zzuuu r平面法向量平面法向量 如果如果，那么向量，那么向量叫做平面叫做平面的法向量的法向量. .arar 法向量的求解:_. 二、证明平行问题BCACAB xyzOEA BCDPOxyz下关一中 2014 级数学41线线平行线线平行：证明两直线平行可用或.112233/,()abab ab abRrr 31212

14、3/aaaabbbbrr2.线面平行线面平行：直线 的方向向量为，平面的法向量为，且，若即则larnrlanrr0a nr r./ar3.面面平行面面平行：平面的法向量为，平面的法向量为，若即则.1nu r2nu u r12/nnu ru u r12nnu ru u r/三、证明垂直问题1线线垂直线线垂直：证明两直线垂直可用1 1223 30aba baba ba brrr r2线面垂直线面垂直：直线 的方向向量为，平面的法向量为，且，若即则larnrl/anrranrr.ar3. 面面垂直面面垂直：平面的法向量为，平面的法向量为，若即则.1nu r2nu u r12nnu ru u r120n nu r u u r四、求夹角1线线夹角线线夹角：设为一面直线所成角，则：123( ,)aa a ar123( ,)bb b br (0 ,90 ；| | | | cos,a baba b r rrrr r；.1 1223 3222222 123123cos,| |aba ba ba ba babaaabbbr rr rrrcos|cos,|a br r2线面夹角线面夹角：如图，已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向量，过作平面的PAnrP 垂线，连结则为斜线和平面所成的角，记为易得POO