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1、临沂大学理学院毕业论文（设计）反证法在分析学中的应用反证法在分析学中的应用专 业 数学与数学与应应用数学用数学 系 （院） 理学院理学院 临沂大学理学院 2011 届本科毕业论文（设计）2摘 要“反证法”是数学证明中的一种重要方法，运用起来简明间接，是一种重要的数学思想方法.本文主要介绍了“反证法”的逻辑依据和步骤.列举了一些在分析学中比较适合用反证法解决的问题.同时指出了如何正确的运用反证法.关键字：数学分析 反证法 应用临沂大学理学院 2011 届本科毕业论文（设计）3ABSTRACT“Reductio ad absurdum“ is an important method of math
2、ematical proof, use condensed indirect, is an important mathematical thinking. This paper describes the rationale of the “reductio ad absurdum“ and steps. Examples reductio ad absurdum more suitable for use in the analysis of learning to solve problems.Also pointed out how to properly use reductio a
3、d absurdumKey words: mathematical analysis, reductio ad absurdum, the application临沂大学理学院 2011 届本科毕业论文（设计）4目 录1 1，引言，引言 .1 12 2 ，反证法的原理和步骤，反证法的原理和步骤 .1 13 3，反证法的应用，反证法的应用 .1 13.1 应用类型一.2 3.2 应用类型二.3 3.3 应用类型三.5 3.4 应用类型四.8 3.5 应用类型五.94.4.结束语结束语 .10参考文献参考文献 .1212致谢致谢 .1313临沂大学理学院 2011 届本科毕业论文（设计）51 引言
4、反证法是分析学中经常要用到的解题方法之一.无论是在定理证明中还是在解题中，经常都要用到反证法.并且相对对一些比较抽象或者是用直接证法比较困难的命题而言，反证法具有一定的优势，效果非常明显.此外，反证法作为一种间接证明的方法在分析学中应用非常广泛.首先我们来了解一下反证法.2，反证法的原理和步骤反证法就是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设二否定结论，通过推理导出矛盾，进而证明命题.反证法证明命题的具体步骤：（1）反设，即作出与求证结论相反的假设；（2）由反设与题设条件出发，推出与公理，定义，已知定理或题设相矛盾的结果.（3）存真，即由所得矛盾证明了反设不成立，从而
5、肯定了原结论正确.3，反证法的应用反证法运用巧妙，适用范围广泛。一般说来，能用直接证明的命题，其证明过程都可以改写成反证法的形式.但通常我们只对那些用直接证法难以下手的问题转而使用反证法.而如何判断命题“若A则B“有没有直接证明的证明依据，则是数学分析中是否建立了关于B或不B的有关理论而定.若建立了关于B的有关理论，则宜用直接证法证明，若没有建立关于B的有关理论，而建立了关于不B的有关理论，则用反证法.经过观察，以下几种命题类型用反证法证明比较合适. 3.1当命题的结论中带有“函数F(x)F(x) 某个特定的常数”时，适合用 反证法证明.例例 1 1 设F为闭区间上的连续函数，且F(a)F(b
6、)0,则,使得ba,ba,F（）=0.证法证法1 1 不妨设F（a）0,F(b) 0.假设F(x).现将两等分，若F()0,则取，bax, 0ba,2ba 21bab=a;若F()0，则取，=b. 此时，F（）0,F（）0.1a2ba 21baa1b1a1b再将两等分，若F()0，则取=，=；若11,ba211ba 2a1a2b211ba 临沂大学理学院 2011 届本科毕业论文（设计）6F（）0,则取，=，此时F（）0,F（）0,如此211ba 211 2baa2b1b2a2b下去，得一递降闭区间套：，ba,11,ba22,bannba ,=0（n+），F（）0,F（）0.根据实数连续nna
7、b nab 2nanb性命题（三）（闭区间套原理）知，显然，=I10,nnnbaxba,lim nna=.0xlim nnb由F连续知，0F（）=F（）=F（）0.所以有F（）limnna0xlim nnb0x=0，又F（a）0,F(b) 0，故a,b, ,这与假设相矛盾.因此，0x),(0bax 必有，使得F（）=0.ba,证法证法2 2 假设F(x),由F连续知，0，s.t.F在bax, 0x上严格同号，则开区间族baxxxx,IQ=baxxxxx,为上的一个开区间覆盖，根据实数连续性命题（四）（的紧致性）知ba,ba,存在有根的子覆盖Q =。不失一般性，设1kixx iixixi,.,2
8、 , 1,，如果，那么F与F（a）严格同 1111,xxxxa111, 1xxbaxba,号，从而F(a)F(b) 0，这与题设F(a)F(b)0相矛盾，因此，从而，不妨设. 1111,xxxxbbax ix,1 2222,xxxixxx i由于，所以F在与 2212211,xxxxxxxI 1111,xxxx上严格同号，依次得到一串开区间 2222,xxxx，F在这些开区间上依次是同号的，并且kllixx iixixi其中,.,2 , 1,，所以F（a）与F（b）严格同号，这与F（a）与F（b）严 llxlxlxxb, 1格异号相矛盾.3.2当命题的结论中带有“极限零或某个特定的常数”时，在
9、已知极临沂大学理学院 2011 届本科毕业论文（设计）7限存在或者易证出极限存在的前提下，宜于用反证法证明；反之，则比较适合用直接法来证明.例例 2 2 设收敛，F在中一致收敛，则=0. xadxF, a xfxlim证证 假设0，则.又因为F在 xfxlim 010, 0. ., 0xfts有 xf上一致连续，故时，有, a xx当, 0 .20 xfxf于是，当时，有 =11,xxx xf= xfxfxfxfxfxf111120 020并且F（x）与F(x )同号，（否则，1矛盾）.如果 20 1011xfxfxfxfxf与 , 0, 01xfxf则从而. 20xf故， 22001111x
10、xxxxdxf这就证明了，对于. ., 0, 02110tsxx. 2011xxxdxf根据无穷积分的Cauchy准则，发散，这与题设收敛矛盾. xadxF xadxF3.3当命题的结论中带有“不存在”或者类似的带有否定意味的词临沂大学理学院 2011 届本科毕业论文（设计）8时，反证法相对直接证证法比较好证.例例 3 3 证明Dirichlet函数D（x）=Qx QRx , 1 /, 0在任何点处无极限.证证 反设在点，则0与1中至少有一个不为a.不妨设axDxxRx)(lim0,0，则存在a的开领域.于是，时，1a aUaU1 ,00, 0xx当D(x)U(a).当然D（x）.但因Q在R中
11、是稠密的，必有1所以，,0 . .0xxtsQx，1=D（）U(a),x 这与1U（a）相矛盾.例例 4 4 设F在区间上可导，则导函数无第一类间断点.ba,f 证法证法1 1 假设为的第一类间断点，则与存在极限，因为F0x xf 0xf 0xf在点处可导，故F在点处连续.根据导数极限定理，有0x0x=. 0xf 0xf 0xf 0xf 0xf所以，在点处连续，这与为的间断点相矛盾.f 0x0x xf 证法证法2 2 假设为的第一类间断点，则与存在极限，且0x xf 0xf 0xf（或）.不失一般性，设.对 00xfxf 00xfxf 00xfxf00，时， 00xfxf00, 0xxx当， 000 021 2xfxfxfxf. 00001
