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1、赣县中学数学竞赛平面几何讲义1第第 1 讲讲 梅涅劳斯梅涅劳斯(Menelauss)定理及其应用定理及其应用一、知识要点：梅涅劳斯定理：如果一条直线和的三边 BC、CA、AB（或其延ABC长线）交于 P、Q、R 三点，那么1RBAR QACQ PCBP（注：直线 PQR 叫做的莱莫恩（Lemoine）线）ABCABCRQPABCQABCRQPABCQABCP QRABCP QR证法一：证法二：赣县中学数学竞赛平面几何讲义22、梅涅劳斯定理逆定理：设 P、Q、R 分别是的三边 BC、CA、ACABC上或它们延长线上三点，若有，1RBAR QACQ PCBP则 P、Q、R 三点在同一直线上ABCR
2、QPABCQABCRQPABCQABCP QRABCP QR证明：赣县中学数学竞赛平面几何讲义3二、要点分析：梅涅劳斯定理及其逆定理在几何证明中有着广泛的应用，而且往往使证明过程异常简捷，思路流畅，难度趋易。在应用梅涅劳斯定理时要抓住“哪条直线截哪个三角形” ，其逆定理常应用于证明三点共线问题。赣县中学数学竞赛平面几何讲义4三、例题讲解例 1、设 AD 为的边 BC 上的中线，直线 CF 交 AD 于 E,交 AB 于 F,求ABC证：FBAF EDAE2ABCDEFABCDEF例 2、已知 D、F 分别是的边 AB、AC 上的点，且 AD:DB=CF:FA=2:3,ABC连 DF 交 BC
3、边的延长线于 E，那么 EF:FD=_ABCEFDABCEFD赣县中学数学竞赛平面几何讲义5例 3、设的的外角平分线与 BC 的延长线交于 P,的平分线ABCAB与 AC 交于 Q,的平分线和 AB 交于 R,求证：P、Q、R 三点共线CABCRQPABCRQP例 4、在中，M 是 BC 的中点，BC 的中垂线分别交 AC 于 P,交 BAABC的延长线于 Q,且 PM=PQ,求证：)sin(3sinCBAABCMPQABCMPQ赣县中学数学竞赛平面几何讲义6例 5、设 AM 是的边 BC 上的中线，任作一直线分别交 AB、AC、AMABC于 P、Q、N,求证：NANM QAQC PAPB2A
4、CBMQNPACBMQNP第第 1 1 讲讲 梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理(Menelauss)及其应用练习及其应用练习1、 在的两边 AB、AC 上分别取点 Q、R,满足 AQ:QB=2:1,AR:RC=1:2,ABC连接 QR 交 CB 延长线于 P,则_PBPC赣县中学数学竞赛平面几何讲义7ABCPQRABCPQR2、 如图：在平行四边形 ABCD，DC=12,CE=4,CB=10,则 CF=_ABCDOEFABCDOEF3、 如图，在中，D 在 BC 边上且使,E 在 AD 上，使ABC23DCBD,BE 交 AC 于 F,则65EDAE_EFBEABCDEFABCDEF赣县中学数学竞赛平
5、面几何讲义84、 设 D、E 分别在的边 AC 和 AB 上，BD 与 CE 交于 F,AE=EB,ABC,求32DCAD40ABCSAEFDSACBEDFACBEDF5、如图，过的三个顶点 A、B、C 作它的外接圆的切线，分别和ABCBC、CA、AB 的延长线交于 P、Q、R,求证：P、Q、R 三点共线ABCPQRABCPQR赣县中学数学竞赛平面几何讲义9例 6 (南斯拉夫，1983)在矩形 ABCD 的外接圆弧 AB 上取一个不同于顶点 A、B 的点 M，点 P、Q、R、S 是 M 分别在直线 AD、AB、BC 与 CD上的投影证明，直线 PQ 和 RS 是互相垂直的，并且它们与矩形的某条
6、对角线交于同一点第第 2 讲讲 塞瓦塞瓦(Ceva)定理及其应用定理及其应用三、知识要点：塞瓦定理：设 S 为三边所在直线外一点，连接 AS、BS、CS 分别ABC和三边或延长线交于 P、Q、R,则ABC1RBAR QACQ PCBP赣县中学数学竞赛平面几何讲义10ABCPQR SABCPQR SBCAPQSRBCAPQSR证法一：证法二：证法三：赣县中学数学竞赛平面几何讲义112、塞瓦定理逆定理：设 P、Q、R 分别是的三边 BC、CA、AC 上ABC或它们延长线上三点（P、Q、R 都在三边上或只有其中一个在边上） ，若有，则三1RBAR QACQ PCBP直线 AP、BQ、CR 交于一点或
7、互相平行ABCPQR SABCPQR SABCPQRABCPQR证明：赣县中学数学竞赛平面几何讲义12四、要点分析：1、塞瓦定理可用梅涅劳斯定理推出，因此它们有密切联系，有些题目用梅氏定理和塞瓦定理都可以做出，由塞瓦定理的图形看，包含着几条梅氏线，也说明了这一点。2、凡具有塞瓦定理结构的尽可能用塞瓦定理，塞瓦定理的突出功能在于证三线共点。三、例题讲解题型一、塞瓦定理的应用例 1、已知：O 为底边上中线 AD 上的任一点，BO、CO 的延长线ABC各交对边于 E、F,求证：EFBC 赣县中学数学竞赛平面几何讲义13BCADEFOBCADEFBCADEFO例 2、若梯形 ABCD 的两腰 AD 与
8、 BC 的延长线交于 M,两对角线交于 N,则直线 MN 必平分两底边。MDCABFNEMDCABFNE例 3、设 AD 是的高，且 D 在 BC 边上，若 P 是 AD 上任意一点，ABCBP、CP 分别与 AC、AB 交于 E 和 F,则FDAEDAABCDE PFABCDE PF题型二、塞瓦定理逆定理的应用:证明三线共点。例 4、 （1） 、求证：三角形的三条中线相交于一点 G,G 称为重心；赣县中学数学竞赛平面几何讲义14（2） 、求证：三角形的三条内角平分线相交于一点 I，I 称为内心；（3） 、求证：三角形的三边中垂线相交于一点 O,O 称为外心；（4） 、求证：三角形的三条高相交
9、于一点 H,H 称为垂心；（5） 、求证：三角形的一条内角平分线和另两个内角的外角平分线相交于一点,称为旁心。IIABCDEF G(1)ABCDEF GABCDEF G(1)ABCDEFI(2)ABCDEFIABCDEFI(2)ABCDEFO(3)ABCDEFOABCDEFO(3)ABCDEFH(4)ABCDEFH(4)ABCQRPI(5)ABCQRPIABCQRPI(5)例 5、在正内任取一点 O,设点 O 关于 BC、CA、AB 的对称点分别ABC为,则相交于一点 P.CB、ACC,BB,AA赣县中学数学竞赛平面几何讲义15ABCABCOPABCABCOP第第 2 2 讲讲 塞瓦塞瓦(Ce
10、va)定理及其应用练习定理及其应用练习1.若 E、F 是之 AC、AB 边上的点，且有 AF:AB=CE:CA=1:4,BE 交 CFABC于 P,AP 交 BC 于 D,则 CD：CB=_ABCDEFPABCDEFP2、设 AF、BE、CD 分别是的内角平分线、中线和高，且 AC=b,AB=c,若ABCAF、BE、CD 相交于一点 O,求证：cbbAcosCABFDEOCABFDEO3、 设 D、E、F 分别是三边ABC上的半周点（即赣县中学数学竞赛平面几何讲义16AB+BD=AC+CD=BC+CE=BA+AE=CA+AF=CB+BF=(AB+BC+CA)）,21求证：AD、BE、CF 三线
11、共点。 （这点称为的半周心）ABCABCDE FABCDE F4、 如图：以各边为底边向外作相似的等腰三角形 BCE,CAF,ABG,求ABC证：AE、BF、CG 相交于一点。ABCEGFABCEGF赣县中学数学竞赛平面几何讲义175、经过锐角的顶点 A、B 的圆分别交 BC、CA 于 D、E 两点，ABCAD、BE 交于 H 点，连 CH 并延长交 AB 于 G 点，1433sinsinABCBAC7, 3ABACBC(1)、求的面积；（2） 、若 CDCE=10,求 AG:GB 的值。ABC第第 3 讲讲 和圆有关的角、圆内接四边形与四点共圆和圆有关的角、圆内接四边形与四点共圆五、知识要点
12、：（一） 、和圆有关的角有五种：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角。圆周角是这五种角的核心。1、 定理 1：圆心角的度数等于它所对的弧的度数，圆周角的度数等于 它所对的弧的度数的一半。 定理 2：同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。赣县中学数学竞赛平面几何讲义18定理 3：直径（或半周）所对的圆周角是直角；圆周角是直角，它所对的弦是直径。定理 4：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。2、 圆内角：顶点在圆内的角叫做圆内角（圆心角是其特殊情形） ；定理 5：圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两条弧度数和的一半。BADCPOBAD
13、CPO3、 圆外角：顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角；定理 6：圆外角的度数等于它所夹得两弧度数的差的绝对值的一半APBCDOAPBCDO4、 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做 弦切角。弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹得弧的圆心角的度数的一半，弦切角的度数等于它所夹得弧的圆周角的度数。赣县中学数学竞赛平面几何讲义19BAPCTBAPCT（二） 、圆内接四边形与四点共圆1、圆内接四边形：在圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。性质：（1） 、圆内接四边形的对角互补 ；（2） 、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对
14、角）。2、判定四点共圆的方法：、到一定点等距离的几个点在同一个圆上；、同斜边的直角三角形的各顶点共圆；、同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆；ABCDO ABCDABCDO、如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆；、如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆；、四边形 ABCD 的对角线相交于点 P，若 PAPC=PBPD,则它的四个顶点共圆；赣县中学数学竞赛平面几何讲义20ABCDPOABCDPO、四边形 ABCD 的一组对边 AB、DC 的延长线相交于点 P,若PAPB=PCPD,则它的四个顶点共圆。PABCDPABCD说明：上述关于七种判定四点共圆的基本方法的
15、命题的逆命题也使成立的。六、要点分析：1、在以圆为框架的有关证明三角形全等、相似等问题，常常要用到和圆有关的角。因此熟练地掌握这些角的概念和性质是解决有关圆的问题中极其重要的一环；2、圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系，这是因为顺次连接共圆四点就成为圆内接四边形，这里涉及两个基本问题，其一是四点共圆的判定，其二是四点共圆的性质的应用。证明四点共圆是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似占有同等重要的地位，实际上，在许多题目的已知条件中，并没有给出圆，有时需要通过证明四点共圆，把实际存在的圆找出来，然后再借助圆的性质得到要证明的结论，因此，证明四点共圆就给研究几何图形的
16、性质，开拓了新的思路。七、例题讲解：例 1、已知，如图，在等腰中，AB=AC,D 为腰 AC 的中点，DE 平ABC赣县中学数学竞赛平面几何讲义21分交 AB 于 E,ADE 交 BD 于 N,求证：BN=2AEADBADEBCNADEBCN例 2、如图，折线 ACD 是O 的一条折弦，点 B 在O 上，且弧 AB=弧BD,BMAC 于 M,求证：AM=MC+CD.(阿基米德折弦定理)BADC MBADC M例 3、设 AD 是的高，且 D 在 BC 边上，若 P 是 AD 上任意一点，ABCBP、CP 分别与 AC、AB 交于 E 和 F,则FDAEDAABCDE PFABCDE PF例 4、 （1） 、西姆松(Simson)定理：从的外接圆上任ABC意一点 P 向
