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1、111能能 量量 法法1. 试就图示杆件的受载情况，证明构件内弹性应变能的数值与加载次序无关。证：先加 F1后加 F2，则22 1212()/(2)/(2)/(2)VFabEAF aEAFF aEA先加 F2后加 F1，则22 2112/(2)()/(2)/(2)VF aEAFabEAFF aEA所以 V 1 = V 2 2. 直杆的支承及受载如图，试证明当 F1=2F/3 时，杆中应变能最小，并求出此时的应变能值。解： ；1ACFFF1BCFF 2222 1111() 2 /(2)/(2)(23/2) /()VFFlEAF lEAFFFFlEA： ， 1/0VF1230FF12/3FF2 m
2、in/(3)VF lEA3. 图示杆系的各杆 EA 皆相同，杆长均为 a。求杆系内的总应变能，并用功能原理求 A、B 两点的相对线位移AB。解： 25/(6)VF aEA视 CD 相对固定 2FAB /4 = 5F2a/(6EA)AB = 5Fa/(3EA) ( 拉开 ) 4. 杆 AB 的拉压刚度为 EA，求(a) 在 F1及 F2二力作用下，杆的弹性应变能；(b) 令 F2为变量，F2为何值时，杆中的应变能最小？此时杆的应变能是多少？ 答： ， N12ACFFFN2BCFF (a) 22 122() 2 /(2)/(2)VFFlEAF lEA22 1122(23/2)/()l FFFFEA
3、(b) ， 2/0VF12230FF212/3FF此时 2 1min/(3)VF lEAab1F 2FF2llEAB1FCAAFC aDa BFaaa2llF1F2ACB1125. 力 F 可以在梁上自由移动。为了测定 F 力作用在 C点时梁的弯曲轴线，可以利用千分表测各截面的铅垂位移。问：如果不移动千分表而移动 F 力，则千分表应放在 x = 处，其根据是。答：x = l a ；位移互等定理。6. 试用能量法证明各向同性材料的三个弹性常数 E、G、 间有如下关系：G = E / 2 ( 1+ ) 证：(1) 纯切应力状态应变能密度为：u = 2 /（ 2G ）(2) 纯切应力状态也可以用主应
4、力的单元体表示，其上的主应力为 1 = ， 2 = 0 ， 3 = - 应变能密度为： u = 2 ( 1+ ) / E 2 / ( 2G ) = 2 ( 1+ ) / E 得： G = E / 2 ( 1+ ) 7. 图示简支梁，受均布荷载 q 作用，试问与广义力 q相对应的广义位移是什么？并给予证明。解：设梁的弯曲轴线方程为 w = w(x) ，则广义力 q 所作之功为 W = l qdx w (x) = q l w (x) dx 与广义力相对应的广义位移为梁变形前后其轴线所围的面积。8. 图示等截面直杆，受轴向载荷 F 作用，已知杆件的横截面面积为 A，材料的应力应变关系为 = C 1/
5、2 ，其中 C 为已知常数。试计算外力所作的功。解： 3222/(3)WF lC A9. 处于水平线上的两杆铰接如图所示，两杆拉压刚度均为 EA。试求在图示力 F 作用下的应变能。解： F = 2FNsin 2FN ， = ( l /cos - l )/l 2/2 , FN =A=E A= 2EA/2 , = F/(EA)1/3 , = l = l F/(EA)1/3 AxFaB ClqlFllFCl113 / 4 ( 式中为 C 点的最终位移 )33 d(/) dVFEAlF10. 试用莫尔积分法求图示曲杆在力 F 作用下，截面 A 的水平位移Ax及铅垂位移Ay。EI 为已知。解：，sinM
6、FR1sinMR2(1 cos )MRAx （水平向左） ，3/(2)FREI Ay （铅垂向下）32/()FREI11. 用莫尔法求图示桁架点 A 的水平位移Ax。各杆 EA 均相同。 A解：， 11F 23560FFFF41F ，143FFFAx = （）/()2 3/()ii iF FlEAFaEA12. 已知梁的 EI 为常量，试用单位载荷法求下列外伸梁 A 点的挠度。解：AB： ， （）101( )M xq lx 11( )M xx 10/3xlCB：，22 202022()/63(/2/4 )M xq lxq xxl（）22()/2M xx 202 /3xl（）4 016/(405
7、)Awq lEI13. 试用莫尔积分法求图示结构 C 点的铅垂位移。已知杆 AC 的弯曲刚度 EI 和 BD 杆的拉压刚度 EA。受弯构件不计剪力和轴力的影响；BD 杆不会失稳。解：梁：CD： ， ( )M xFx( )M xxAD： ， ( )()2M xF xaFxFaFx( )M xax杆： ， 2 2BDFF2 2BDFC y = 32/(3)8 2/()FaEIFaEA14. 简支梁受均布载荷 q 作用如下，弯曲刚度 EI 已知。试用莫尔积分法求横截面 A、C 之间的相对角位移AC 。解：AB： ，2 111( )5/6/2M xqaxqx1( )1M xBC： ， 22()/6M
8、xqax2()1M xR FBAFF124356aa30ABC2l/3l/3lqF003qBCaaEIEIEAFAD45ACB a2aq11437/(12)ACqaEI11515. 由两个半圆组成“S”形的等截面弹簧片，截面的弯曲刚度为 EI。该弹簧在B 端受水平力 F 作用。试用莫尔积分法求该弹簧的刚度。解：取一半计算水平位移 ， ( )sinMF rsinMr / 2 = ds (1/)EIM M = d （ A = 0 ，B = ）22(1/)sinBAEIFrr 可得： = ， 3/()FrEI弹簧刚度：k = F / = 0.32EI / r 3 16. 试用单位载荷法求图示桁架中杆
9、 AB 的转角。各杆的拉压刚度 EA 相同，且均为常数。解： （顺时针）EAF EAlFFiii AB22417. 试用单位载荷法计算图示结构中铰链 A 左、右两截面间的相对转角A 。设各杆的弯曲刚度 EI 相同，且均为常数。解： A = （反向转动）2(2)/(4)FREI18. 图示一缺口圆环， 为很小的角度， 、EI 和 R均已知。为使缺口处两截面恰好密合，试问在缺口处的两截面上应加多大的力偶 M。必须验证此时两截面的相对线位移为 R 。 （用莫尔积分法）解： ，( )MM( )1M ，2/()ABMREI/(2)MEIR 19. 图示位于水平面内的半圆形构件，其平均半径为 R，C 端固
10、定 A 端自由并作用一铅垂力 F。杆的 EI 及均为常数。用莫尔积分法求 A 端铅垂位移和水pGI平位移的表达式。解： ，sinyMFRsinyMR，(1 cos )TFR(1 cos )TRx = 0 ， y = 3( /2)(1/3/)FREIGIAB Cr rFABF132445455FARR A BACCRAF11620. 半径为 R 的开口圆环受力如图所示，A 点 F 力垂直纸面向外，B 点 F 力垂直纸面向里。EI 及 GIp均为常数。试用莫尔积分法求开口处 A 及 B 两点的相对铅垂位移。解：， ；sinMFRsinMR，(1 cos )TFR(1 cos )TRAB = 33/
11、()3/()FREIFRGI 21. 由拉杆 AB、AC 和小曲率杆 BDC 组成的结构及其受力情况如图。已知各杆的截面积均为 A，弯曲刚度均为 EI。试用莫尔积分法求 B、C 两点之间的相对位移。解：ABACFFF，( 3/2)sin(1 cos )/2MFRFRsinMRBC = （两点靠近）33(23 )/(4)1.86/()FREIFREI22. 薄壁圆环的受力如图所示。已知该环的宽度 b、厚度 h（见图） ，弹性模量E。试用莫尔积分法求缺口两侧面的相对线位移和相对角位移。解：(1) 相对线位移：（张开）333 )4(622 1EbhFR EIFRAA (2) 相对角位移：（张开）32
12、22421EbhFR EIFRAA23. 图示刚架各杆的 EI 和分别相同，并均pGI为已知。 试用莫尔积分法求由于力 F 的作用使缺口两侧上下错开的距离。 解：1p33(4)/(6)( /2)/()AAF abEIFab abGI24. 承受径向均布载荷半径为 R 的开口薄壁圆环如图。已知该环的 b、h、弹性模量 E。求缺口两侧面的张开位移。解： ，2(1 cos )MqR (1 cos )MR R FFA BAFBCDR30F30A A1FRhFChbFFA baBCa/2 A1C1B1yxzOqARhhbA1117AA1=4336/()qREbh11825. 已知梁的弯曲刚度 EI 为常
13、数。试用莫尔积分法求图示三角形分布载荷作用下简支梁两端截面的转角A和B。解：， 3 00/6/(6 )Mq lxq xl1/AMx l /BMx l（顺时针）3 07/(360)Aq lEI（逆时针）3 0/(45)Bq lEI26. 一半径为 R 的半圆形曲杆，杆截面直径为 d，d R 。此曲杆 A 端固定，在自由端 B 承受一力偶 Me（Me作用面平行于 xOz 平面，z 轴垂直于图面） 。试用莫尔积分法求 B点的 z 向位移。设杆的弯曲和扭转刚度分别是 EI 和 GIp。解： ， esinTM (1 cos )TR ，ecosMMsinMRp2 e2/()zM RGI27. 一半径为 R 的半圆形曲杆，杆截面直径为 d，d R 。此曲杆 A 端固定，在自由端 B 承受一位于 yz 面内的力偶Me（xyz 构成右手直角坐标系） 。试用莫尔积分法求 B 端的z 向位移。设杆的弯曲和扭转刚度分别是 EI 和。pGI解： ， ecosTM(1 cos )TR ，esinMMsinMRp22 ee/(2)/(2)zM RGIM REI 28. 图示桁架，各杆的横截面面积均为 A，拉压应力应变关系呈非线性，拉伸时，压缩1/2B时，B 为材料常数。试用单位载1/2()B 荷法计算节点 C 的铅垂位移C y 。解： C
