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1、 黑龙江中公教育：http:/ 浅谈国考中数量关系中容斥问题的解法浅谈国考中数量关系中容斥问题的解法2014 年国考中，考察到容斥问题，数量为一道，该题是结合特值思想一起考察的，考生只要在认真读题的基础上一定能够正确的接触此题。接下来，我们一起来看一下有关容斥问题的解法。对于容斥问题，解题关键是首先找到各个集合，然后理清各集合之间的关系，让后通过两大核心方法便可解决问题，两大核心方法为：1、将所有区域化为一层将所有区域化为一层2、画文氏图画文氏图黑龙江中公教育：http:/ 容斥问题考察的题型包括求定值、求极值，求定值通常考察两种题型两者容斥、三者容斥，首先来看两者容斥问题：例：大学四年级某班
2、有 50 名同学，其中奥运会志愿者 10 人，全运会志愿者 17 人，30 人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少？ A.6 B.7 C.8 D.9解析：第一步：根据题意画文氏图，描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系： 黑龙江中公教育：http:/ 第二步：在集合当中把每一个独立的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。A 表示是奥运会自愿者B 表示是全运会志愿者I 表示是全班人数X 表示全运会且奥运会志愿者Y 表示非奥运会且非全运会志愿者第三步：根据题意建立等量关系，根据把重复数的次数变为只数 1 次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则。IAB-X+
3、Y，所以 X=AB+Y-I=7(利用尾数法） 。结论：两结论：两者容斥问题，画图之后可知，两个圆相交的地方有者容斥问题，画图之后可知，两个圆相交的地方有 1 层、层、2 层两种情况，当将两个集合相加的时候，层两种情况，当将两个集合相加的时候，2 层部分多计算一次，故层部分多计算一次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三两容斥问题的公式为：若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三两容斥问题的公式为：全集全集 I=A+B-X+Y（I 代表全集，A、B 分别代表两个集合，X 代表两个集合的交集，Y 代表集合之外的部分）接下来看三者容斥问题，三者容斥问题所给的已知条件不同，导致其公式不同，首先来看第一种
4、：例：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向 125 人进行调查，有 89 人看过甲片，有 47 人看过乙片，有 63 人看过丙片，黑龙江中公教育：http:/ 其中有 24 人三部电影都看过，20 人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人？A、69 B、65 C、57 D、46解析：第一步：根据题意描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系第二步：在集合当中把具有相似属性的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。A 表示看甲片的人B 表示看乙片的人C 表示看丙片的人X 表示看过甲乙丙三种片子的人Y 表示三部电影都没看过的人I 表示总共接受调查的人数O、P、Q 表示看过两部片子的人
5、第三步：根据题意建立等量关系，根据把重复数的次数变为只数 1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则。黑龙江中公教育：http:/ I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y,O+P+Q=A+B+C-2X+Y-I=89+47+63-224+20-125=尾数是 6结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有 1 层、层、2 层、层、3 层三种情况，当将三个集合相加的时候，层三种情况，当将三个集合相加的时候，2 层和层和 3 层区域分层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三别多计算一次和两次，故若想求全集，
6、需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：者容斥问题的公式为：I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y（I 表示全集，表示全集，A、B、C 代表三个集合，代表三个集合，O、P、Q 表示两个只有两表示两个只有两层的区域，层的区域，X 表示三层的区域，表示三层的区域，Y 代表圆之外的部分）代表圆之外的部分）接下来看第二种三者容斥问题：接下来看第二种三者容斥问题：容斥极值问题容斥极值问题（AB）=A+B-I（I 表示全集）min例：小明、小刚两人一起参加一次英语考试，已知考试共有 100 道题，且小明做对了 68 题，小刚做对了 58 题。问两人都最对的题目至少有几题？（ABC）=A+B+C-2Imin例：小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100 道题，且小明做对了 68 题，小刚做对了 58 题，小红做对了 78题。问三人都最对的题目至少有几题？（ABCD）=A+B+C+D-3Imin黑龙江中公教育：http:/ 依此类推
