2014年高考数学复习资料专题五：概率与统计

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1、专题五：概率与统计综合性题型分析及解题策略专题五：概率与统计综合性题型分析及解题策略【命题趋向命题趋向】概率与统计以其独特的研究对象和研究方法，在中学数学中是相对独立的，但是，概率 与统计试题的背景与日常生活最贴近，联系最为紧密，不管是从内容上，还是从思想方法上， 都体现着应用的观念与意识，在展现分类讨论、化归思想与同时，培养学生解决问题的能力. 在高考的考查中，基本上都是 1 道小题以及 1 道解答题，其中小题较容易，解答题逐渐取代 了 90 年代兴起的应用题，其难度不大，但有一定的灵活性，对题目的背景和题意理解要求 较高，如 08 年重庆理 5 题(5 分)为容易题，考查正态分布的计算及密

2、度曲线性质、08 年湖南 文 12 题(12 分)为中档题，考查样本的识别与抽样、08 年安徽高考理科第 19 题(12 分)是中档 题，考查几种事件的交汇、08 年福建理 20 题(12 分)中等难度，考查概率的计算与离散随机 变量的分布列及期望，等等.预计在 09 年高考中解答题仍可能是文科题重点考查古典概率， 互斥事件的概率 ，独立事件的概率，独立重复事件的概率等，考查应用意识和实践能力；理 科重点考查随机变量的分布列与期望 ，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发 生的概率，独立重复事件的概率等，穿插考查合情推理能力和有关优化决策能力，难度可能 有所提升，考生应有心理准备.文科一

3、般两个问题都考查概率问题，而理科一般第 1 问考概率 的计算，第 2 问考分布列、期望的计算. 【考试要求考试要求】1了解等可能性事件的概念的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率 2了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 3了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列 4了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差 5会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本 6会用样本频

4、率分布去估计总体分布，了解正态分布的意义与主要性质及线性回归的方法和简单应用【考点透视考点透视】主要考点：（1）等可能事件、互斥事件(对立事件)、相互独立事件及独立重复实验的基本知识及四 种概率计算公式的应用，考查基础知识和基本计算能力.（2）求简单随机变量的分布列、数学期望及方差，特别是二项分布，常以现实生活、社 会热点为载体.（3）抽样方法的确定与计算、总体分布的估计. 【典例分析典例分析】题型一题型一 几类基本概型之间的综合几类基本概型之间的综合在高考解答题中，常常是将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查，主要考查综合计算方法和能力.此类问题一般都同时涉及几类事

5、件，它们相互交织在一起，难度较大，因此在解答此类题时，在透彻理解各类事件的基础上，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所包含的所属的事件类型.特别是要注意挖掘题目中的隐含条件.【例例 1】 （08安徽高考）安徽高考）在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了 10 张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.（）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这 10 张卡片总随机抽取 1 张，测试后放回，余下 2 位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。 （）若某位被测试者从 10 张卡片中一次

6、随机抽取 3 张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于 2 张的概率.【分析分析】 第（）小题首先确定每位测试者抽到一张带“g”卡片的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算；第（）利用等可能事件与互斥事件的概论公式计算.【解解】 （）每次测试中，被测试者从 10 张卡片中随机抽取 1 张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概率为，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，310因而所求的概率为.310310310271000（）设 Ai(i1，2，3)表示所抽取的三张卡片中，恰有 i 张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为 P(Ai)，则 P(A2)，P(A3)，7

7、401120因而所求概率为 P(A2A3)P(A2)P(A3).74011201160【点评点评】 本题主要考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率.解答题注意不要混淆了互斥事件与相互独立事件，第（）的解答根据是“不少于”将事件分成了两个等可能事件，同时也可以利用事件的对立事件进行计算.【例例 2】 （08福建高考）福建高考）三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为 ，且他们是否破译出密码互不影响。()求恰有二人破译出密码的概率；()151413“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.【分析分析】 第（）小题可根据“恰有二人”将事件分为三个互斥的事件进行计

8、算；第（）小题利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算“密码未被破译”的概率，然后再利用对立事件可计算“密码被破译”的概率，进而比较大小. 【解解】记“第 i 个人破译出密码”为事件 Ai(i1，2，3)，依题意有P(A1) ，P(A2) ，P(A3) ，且 A1，A2，A3相互独立.151413()设“恰好二人破译出密码”为事件 B，则有 BA1A2A1A3A2A3，且 A1A2、A1A3、A2A3彼此互斥A3A2A1A3A2A1于是 P(B)P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3) .A3A2A1151423153413451413320答：恰好二人破译出密码的概率为.320()设“密码

9、被破译”为事件 C， “密码未被破译”为事件 D.D，且、 、相互独立，则 P(D)P()P()P() .A1 A2 A3A1 A2A3A1A2A345342325而 P(C)1P(D) ，故 P(C)P(D).35答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大. 【点评点评】 本题主要考查互斥事件、对立事件、相互独立的概率的计算.第（）小题正确解答的关键是将所求事件分解为三个互斥的事件，而第（）的解答则充分利用对立事件进行的计算.一般情况下，如果正面计算概率情况比较复杂或过程较繁，则可以考虑计算对立事件的概率来解答.【例例 3】 （08重庆高考）重庆高考）在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中

10、，只有一个是正确的.若对 4 道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这 4 道题中：()恰有两道题答对的概率；()至少答对一道题的概率.【分析分析】 第()小题事件为独立重复试验，因此可直接计算；第()小题可以考虑利用正确解答，也可以考虑其对立事件进行解答.【解解】 “选择每道题的答案”为一次试验，则这是 4 次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为 .由独立重复试验的概率计算公式得：14（）恰有两道题答对的概率为 P4(2)C ( )2( )2.2 4143427128（）解法一：至少有一道题答对的概率为 1P4(0)1C ( )0( )41.0 41434812561

11、75256解法二：至少有一道题答对的概率为分为 4 类情形：P4(1)C ( )1( )3，P4(2)C ( )2( )2，P4(3)C ( )3( )1，P4(4)C ( )4( )1 414341082562 41434271283 41434122564 414340.1256所以至少答对一道的概率为 P4(1)P4(2)P4(3)P4(4).10825654256122561256175256【点评点评】 本题主要考查独立重复试验及对立事件、互斥事件的综合运算.从第()小题的两种解法可以看到，当正确解答分类情况较多时，还是计算其对立事件的概率来的快.题型二题型二 求离散型随机变量的分布

12、列、期望与方差求离散型随机变量的分布列、期望与方差 此考点主要考查观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集处理信息的能力.主要题型：（1）离散型随机变量分布列的判断；（2）求离散型随机变量的 分 布列、期望与方差应用；（3）根据离散型随机变量的分布列求概率；（4）根离散型随 机 变量分布列、期望与方差性质的求参数. 【例例 4】 (08湖北理湖北理)袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号 的有 n 个(n1，2，3，4).现从袋中任取一球. 表示所取球的标号.()求 的分布列，期 望和方差；()若 ab，E1，D11，试求 a，b 的值.

13、【分析分析】 第()小题根据等可能事件的概率计算公式可求 取 0、1、2、3、4 时的概 率，从而得分布列；第()小题根据离散型随机变量的期望与方差建立方程组可解决. 【解解】 （） 的分布列为：01234P1212011032015E0 1234 1.5.1212011032015D(01.5)2 (11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)2 2.75.1212011032015（）由 Da2D，EaEb，得，解得或.)【点评点评】 （1）求离散型随机变量的分布列有三个步骤：明确随机变量 X 取哪些值； 计算随机变量 X 取每一个值时的概率；将结果用二维表格形式给出.计算概率时注

14、意 结合排列与结合知识.（2）而解决与分布列、期望与方差及应用等问题，一般利用它们相关的性质就可以求解 或通过建立方程来解决来解决. 【例例 5】 （08 全国全国高考）高考）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10000 元的赔偿金假定在一年 度内有 10000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10000 元的概率为 10.999.()求一投保人在一年度内出险的概 率 p；()设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50000 元，为保证盈利的期 望不小于 0，求每位投

15、保人应交纳的最低保费（单位：元） 【分析分析】 第（）小题利用对立事件，并通过比较系数即可求得投保人在一年度内出 险的概率 p；第（）小题首先求投保的 10000 人中出险的人数 的期望，再利用期望 的线性关系的性质求取盈利期望 E 的值. 【解解】 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 p， 记投保的 10000 人中出险的人数为 ，则 B(104，p) （）记 A 表示事件：保险公司为该险种至少支付 10000 元赔偿金，则发生当且仅当 A0，P(A)1P()1P(0)1(1p) A又 P(A)10.999，故 p0.001 （）该险种总收入为 10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和支出 1000050000， 盈利 10000a(1000050000)， 盈利的期望为 E10000a10000E50000， 由 B(104，103)知，E104103， E104a104E5104104a1041041035104. E0104a10410410