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1、行程问题行程问题在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做三种量的问题，叫做“行程问题行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。四、过桥问题等。 行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。相遇（相离）行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。相遇（相离）问题和追及
2、问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。一、相遇问题一、相遇问题 两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。 这类问题即为相遇问题。这类问题即为相遇问题。 相遇问题的模型为：甲从相遇问题的模型为：甲从 A 地到地到 B 地，乙从地，乙从 B 地
3、到地到 A 地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共 同走了同走了 A、B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么：之间这段路程，如果两人同时出发，那么： A，B 两地的路程两地的路程(甲的速度乙的速度甲的速度乙的速度)相遇时间速度和相遇时间速度和相遇时间相遇时间基本公式有：基本公式有：两地距离两地距离=速度和速度和相遇时间相遇时间相遇时间相遇时间=两地距离两地距离速度和速度和速度和速度和=两地距离两地距离相遇时间相遇时间二次相遇问题的模型为：甲从二次相遇问题的模型为：甲从 A 地出发，乙从地出发，乙从 B 地出发相向而行，两人在地出发相向而行，两人在 C
4、 地相遇，相遇后甲继续走地相遇，相遇后甲继续走到到 B 地后返回，乙继续走到地后返回，乙继续走到 A 地后返回，第二次在地后返回，第二次在 D 地相遇。则有：地相遇。则有：第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。 相遇问题的核心是相遇问题的核心是“速度和速度和”问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速 解题。解题。二、追及问题二、追及问题 两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢两个运动着的物体从不同
5、的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢 的。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看的。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看 作追及问题。解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。解题的关键作追及问题。解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。解题的关键 是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，
6、然后运用公式求出第三者来 达到解题目的。达到解题目的。 基本公式有：基本公式有： 追及（或领先）的路程追及（或领先）的路程速度差速度差=追及时间追及时间 速度差速度差追及时间追及时间=追及（或领先）的路程追及（或领先）的路程 追及（或领先）的路程追及（或领先）的路程追及时间追及时间=速度差速度差 要正确解答有关要正确解答有关“行程问题行程问题” ，必须弄清物体运动的具体情况。如：运动的方向（相向、相背、同向），必须弄清物体运动的具体情况。如：运动的方向（相向、相背、同向） ，出发的时间（同时、不同时），出发的时间（同时、不同时） ，出发的地点（同地、不同地），出发的地点（同地、不同地） 、运动
7、的路线（封闭、不封闭）、运动的路线（封闭、不封闭） ，运动的结，运动的结 果（相遇、相距多少、追及）果（相遇、相距多少、追及） 。三、相离问题三、相离问题 两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和） 。基本公式有：两地距离基本公式有：两地距离
8、=速度和速度和相离时间相离时间相离时间相离时间=两地距离两地距离速度和速度和速度和速度和=两地距离两地距离相离时间相离时间相遇（相离）问题的基本数量关系：相遇（相离）问题的基本数量关系： 速度和速度和相遇（相离）时间相遇（相离）路程相遇（相离）时间相遇（相离）路程常用公式：常用公式：行程问题基本恒等关系式：速度行程问题基本恒等关系式：速度时间时间=路程，即路程，即 S=vt. 行程问题基本比例关系式：路程一定的情况下，速度和时间成反比；行程问题基本比例关系式：路程一定的情况下，速度和时间成反比；时间一定的情况下，路程和速度成正比；时间一定的情况下，路程和速度成正比；速度一定的情况下，路程和时间
9、成正比。速度一定的情况下，路程和时间成正比。 相遇追及问题中符号法则：相向运动，速度取和；同向运动，速度取差。相遇追及问题中符号法则：相向运动，速度取和；同向运动，速度取差。 流水行船问题中符号法则：促进运动，速度取和；阻碍运动，速度取差。流水行船问题中符号法则：促进运动，速度取和；阻碍运动，速度取差。 行程问题常用比例关系式：路程比行程问题常用比例关系式：路程比=速度比速度比时间比，即时间比，即 S1/S2=v1/v2t1/t2 电梯运行规律：能看到的电梯级数电梯运行规律：能看到的电梯级数=（人速（人速+电梯速度）电梯速度）顺电梯运动所需时间顺电梯运动所需时间能看到的电梯级数能看到的电梯级数
10、=（人速（人速电梯速度）电梯速度）逆电梯运动所需时间逆电梯运动所需时间2v1v2 往返运动问题核心公式：往返平均速度往返运动问题核心公式：往返平均速度= = - ( (其中其中 v1和和 v2分别表示往返的速度分别表示往返的速度) )v1+v23S1+S2 两次相遇问题核心公式：单岸型两次相遇问题核心公式：单岸型 S= -； 两岸型两岸型 S=S=3S1-S2 （S 表示两岸的距离）表示两岸的距离）2 2相向而行：相遇时间=距离速度之和 相背而行：相背距离=速度之和时间 注意：同向而行追及时速度慢的在前，快的在后。在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。 环形运动的追击问题和相遇问题：若同向同起
11、点运动，第一次相遇时，速度快的比速度慢的多跑一圈；若 相向同起点运动，第一次相遇时，两者路程和为一圈的长度。 解决行程问题，常以速度为中心，路程和时间为两个基本点，善于抓住不变量列方程。对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此 刻另外的人或车处于什么位置，他（它）与前两者有什么关系。 分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考。 理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。（3）甲的速度是 a，乙的速度是 b，在相同时间内，甲、乙一共行的At+bt=s t=s/a+b S 甲=a*t=a*s/a+b S 乙=b*t=b*s/a
12、+b四、封闭路线中的行程问题四、封闭路线中的行程问题解决封闭路线中的行程问题，仍要抓住“路程=速度时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时 间三者之间的关系。 封闭路线中的行程问题，可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。在求两个沿封闭路线相向运动 的人或物体相遇次数时，还可以借助图示直观地解决。 直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。 每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。时针每小时走 30 度，分针每分钟走 6 度，分针走一分钟时，时针走 0.5 度，分针与时针的速度差为 5.5 度。五、流水行船问题五、流水行船问
13、题顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程 三者之间的关系进行解答。解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。三者之间的关系进行解答。解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。 已知船的顺水速度和逆水速度，求船的静水速度及水流速度。解答这类问题，一般要掌握下面几个数已知船的顺水速度和逆水速度，求船的静水速度及水流速度。解答这类问题，一般要掌握下面几个数 量关系：量关系： 船速：在静水中的速度船速：在静水中的速度 水速：河流中水流动的速度水速：河流中水流动的速度
14、 顺水船速：船在顺水航行时的速度顺水船速：船在顺水航行时的速度 逆水速度：船在逆水航行时的速度逆水速度：船在逆水航行时的速度 船速船速+水速水速=顺水船速顺水船速 船速水速船速水速=逆水船速逆水船速 （顺水船速（顺水船速+逆水船速）逆水船速）2=船速船速（顺水船速逆水船速）（顺水船速逆水船速）2=水速水速 顺水船速顺水船速=船速船速+水速水速=逆水船速逆水船速+水速水速2六、过桥问题六、过桥问题 一列火车通过一座桥或者是钻过一个隧道，研究其车长、车速、桥长或隧道道长，过桥或钻隧道的时一列火车通过一座桥或者是钻过一个隧道，研究其车长、车速、桥长或隧道道长，过桥或钻隧道的时 间等关系的一类应用题。
15、间等关系的一类应用题。 解答这类应用题，除了根据速度、时间、路程三量之间的关系进行计算外，还必须注意到车长，即通解答这类应用题，除了根据速度、时间、路程三量之间的关系进行计算外，还必须注意到车长，即通 过的路程等于桥长或隧道长加车长。过的路程等于桥长或隧道长加车长。 基本公式有：基本公式有： 桥长桥长+车长车长=路程路程 平均速度平均速度过桥时间过桥时间=路程路程 过桥时间过桥时间=路程路程平均速度平均速度工程问题工程问题比较难的工程问题，其数量关系一般很隐蔽，工作过程也较为复杂，往往会出现多人多次参与工作的比较难的工程问题，其数量关系一般很隐蔽，工作过程也较为复杂，往往会出现多人多次参与工作
16、的 情况，数量关系难以梳理清晰。情况，数量关系难以梳理清晰。一些较复杂的分数应用题、水管问题、工资分配、周期问题、零件加工问题等，其实质也是工程问题。一些较复杂的分数应用题、水管问题、工资分配、周期问题、零件加工问题等，其实质也是工程问题。工程问题是从分率的角度研究工作总量、工作时间和工作效率三个量之间的关系，它们有如下关系：工程问题是从分率的角度研究工作总量、工作时间和工作效率三个量之间的关系，它们有如下关系： 工作效率工作效率工作时间工作时间=工作总量工作总量; 工作总量工作总量工作效率工作效率=工作时间工作时间; 工作总量工作总量工作时间工作时间=工作效率。工作效率。 对于工程问题，要深刻理解工作总量、工作时间、工作效率，简称工总、工时、工效。通常工作总量对于工程问题，要深刻理解工作总量、工作时间、工作
