《弹性力学与有限元分析复习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹性力学与有限元分析复习题（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1四、分析计算题四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。中存在。 （1），；ByAxxDyCxyFyExxy（2），；其中，；其中，A，B，C，D，E，F 为常数。为常数。)(22yxAx)(22yxByCxyxy解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程）在区域内的平衡微分方程；（；（2）在区）在区 00xyyxxyyyxx域内的相容方
2、程域内的相容方程；（；（3）在边界上的应力边界条件）在边界上的应力边界条件；（；（4）对）对02222 yxyx sflmsfmlysxyyxsyxx于多连体的位移单值条件。于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须 A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。此外还应满足应力边界条件。 （2）为了满足相容方程，其系数必须满足）为了满足相容方程，其系数必须满足 A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足 A=B=-C/2。上两。上两 式是矛盾的，因此，此
3、组应力分量不可能存在。式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已已知知应应力力分分量量，体体力力不不计计， Q为为常常数数。试试利利用用平平3 12xCQxyx2 223xyCyyxCyCxy2 33 2衡衡微微分分方方程程求求系系数数 C1，C2，C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程解：将所给应力分量代入平衡微分方程得得即即 00xyyxxyyyxx023033322 32 22 12xyCxyCxCyCxCQy 023033322 22 31 xyCCyCQxCC由由 x，y 的任意性，得的任意性，得由此解得，由此解得， 023030332231CCCQCC61QC 32QC23
4、QC 3、已知应力分量、已知应力分量，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。qxqy0xy解：将已知应力分量解：将已知应力分量，代入平衡微分方程，代入平衡微分方程qxqy0xy 00YxyXyxxyyyxx可知，已知应力分量可知，已知应力分量，一一般般不不满满足足平平衡衡微微分分方方程程，只只有有体体力力忽忽略略不不计计时时才才满满足足。qxqy0xy按按应应力力求求解解平平面面应应力力问问题题的的相相容容方方程程：yxxyxy xyyx22222 )1 (2)()(将已知应力分量将已知应力分量，代入上式，可知满足相容方程。代入上式，可知
5、满足相容方程。qxqy0xy2按应力求解平面应变问题的相容方程：按应力求解平面应变问题的相容方程：yxxyxy xyyx2222212)1()1(将已知应力分量将已知应力分量，代入上式，可知满足相容方程。代入上式，可知满足相容方程。qxqy0xy4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。 （1），Axyx，；（；（2），；（；（3），3Byy2DyCxy2AyxyBxy2Cxyxy0x0y；其中，；其中，A，B，C，D 为常数。为常数。Cxyxy解：应变分量存在的必要
6、条件是满足形变协调条件，即解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即yxxyxyyx 22222将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。）相容。（2）（1 分）分） ；这组应力分量若存在，则须满足：；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。CByA22（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则，则，（1 分）分） 。0x0y0xy5、证明应力函数、证明应力函数能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐
7、标系中能解决什么问题（体力不计，2by） 。0b解：将应力函数解：将应力函数代入相容方程代入相容方程2by024422444 yyxx可知，所给应力函数可知，所给应力函数能满足相容方程。能满足相容方程。2by由于不计体力，对应的应力分量为由于不计体力，对应的应力分量为，byx222 022 xy02 yxxy对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，上边，；2hy 0l1m0)(2 hyxyxf0)(2 hyyyf下边，下边，；2hy0l1m0)(
8、2 hyxyxf0)(2 hyyyf左边，左边，；2lx 1l0mbflxxx2)(2 0)(2 lxxyyf右边，右边，。2lx1l0mbflxxx2)(2 0)(2 lxxyyf可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向3左和向右的均布面力左和向右的均布面力 2b。因此，应力函数。因此，应力函数能解决矩形板在能解决矩形板在 x 方向受均布拉力（方向受均布拉力（b0）和均布压力（）和均布压力（b0）的）的2by问题。问题。6、证明应力函数、证明应力函数能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，能满足相容方程，并考
9、察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，axy） 。0a解：将应力函数解：将应力函数代入相容方程代入相容方程axy024422444 yyxx可知，所给应力函数可知，所给应力函数能满足相容方程。能满足相容方程。axy由于不计体力，对应的应力分量为由于不计体力，对应的应力分量为，022 yx022 xyayxxy2对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，上边，；2hy 0l1mafhyxyx 2)(0)(2 hyyyf下边，下边，；
10、2hy0l1mafhyxyx 2)(0)(2 hyyyf左边，左边，；2lx 1l0m0)(2 lxxxfaflxxyy 2)(右边，右边，。2lx1l0m0)(2 lxxxfaflxxyy 2)(可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力 a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力 a。因此，。因此，应力函数应力函数能解决矩形板受均布剪力的问题。能解决矩形板受均布剪力的问题。axy7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。，在一边侧
11、面上受均布剪力，试求应力分量。解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设。由此可知。由此可知0x022 yx将上式对将上式对 y 积分两次，可得如下应力函数表达式积分两次，可得如下应力函数表达式 )()(,21xfyxfyx将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得 0)()(424414 dxxfd dxxfdy这是这是 y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的 y 值都应该满足它）值都应该满足它） ，可见它的
12、系数和自由项都应该，可见它的系数和自由项都应该等于零，即等于零，即， 0)(414 dxxfd0)(424 dxxfd这两个方程要求这两个方程要求， ICxBxAxxf23 1)(KJxExDxxf23 2)(代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得对应应力分量为对应应力分量为 2323)(ExDxCxBxAxy022 yx4gyEDxBAxyxy26)26(22 CBxAxyxxy2322 以上常数可以根据边界条件确定。以上常数可以根据边界条件确定。左边，左边，沿，沿 y 方向无面力，所以有方向无面力
13、，所以有 0x1l0m0)(0Cxxy右边，右边，沿，沿 y 方向的面力为方向的面力为 q，所以有，所以有 bx1l0mqBbAbbxxy23)(2上边，上边，没有水平面力，这就要求，没有水平面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即 0y0l1mxy0)(00dxybxy将将的表达式代入，并考虑到的表达式代入，并考虑到 C=0，则有，则有 xy0)23(23 02302BbAbBxAxdxBxAxbb而而自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢在这部分边界上合成的主矢00)(00dxybxyy量和主矩均为零，即量和主矩均为零，即 ， 0)(00dxyby0)(00xdxyby将将的表达式代入，则有的表达式代入，则有 y02323)26(2 020EbDbExDxdxEDxbb022)26(23 0230EbDbExDxxdxEDxbb由此可得由此可得，2bqA bqB0C0D0E应力分量为应力分量为, , 0xgybx byqy
