《江苏2018高三数学一轮复习 导数及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏2018高三数学一轮复习 导数及其应用（73页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 讲 导数的概念及运算考试要求 1.导数的概念及其实际背景，A 级要求；2.导数的几何意义，B 级要求；3.根据导数定义求函数 yc，yx，y ，yx2，yx3，y的导数，A1xx级要求；4.利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，B 级要求知 识 梳 理1导数的概念设函数 yf(x)在区间(a，b)上有定义，且 x0(a，b)，若 x 无限趋近于 0 时，比值无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 xx0处可导，并yxfx0xfx0x称该常数 A 为函数 f(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0)若函数 yf(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则 f(x
2、)在各点的导数也随着 x 的变化而变化，因而是自变量 x 的函数，该函数称作 f(x)的导函数，记作 f(x)2导数的几何意义函数 yf(x)在点 x0处的导数的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率，过点 P 的切线方程为 yy0f(x0)(xx0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C 为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0)f(x)axln_af(x)ln xf(x)1xf(x)logax(a0，且 a1)f(x)1
3、xln a4.导数的运算法则若 f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)fxgxfxgxfxgxgx2诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同( )(2)求 f(x0)时，可先求 f(x0)，再求 f(x0)( )(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点( )(4)若 f(x)a32axx2，则 f(x)3a22x.( ) 解析 (1)f(x0)表示函数 f(x)的导数在 x0处的值，而 f(x0)表示函数值 f(x0)的导数，其意义不
4、同，(1)错(2)求 f(x0)时，应先求 f(x)，再代入求值，(2)错(4)f(x)a32axx2x22axa3，f(x)2x2a，(4)错答案 (1) (2) (3) (4)2(选修 11P57 例 4 改编)函数 f(x)2x10 在区间3，1内的平均变化率为_解析 平均变化率为f（1）f（3）1（3）2.2 （1）102 （3）102答案 23(2016天津卷)已知函数 f(x)(2x1)ex，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(0)的值为_解析 因为 f(x)(2x1)ex，所以 f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以 f(0)3e03.答案 34(2017镇江期末)曲
5、线 y5ex3 在点(0，2)处的切线方程为_解析 y5ex，所求曲线的切线斜率 ky|x05e05，切线方程为 y(2)5(x0)，即 5xy20.答案 5xy205(2015全国卷)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_.解析 由题意可得 f(x)3ax21，则 f(1)3a1，又 f(1)a2，切线方程为 y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得 a1.答案 1考点一 导数的计算 【例 1】 求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(x21x1x3)(3)yxsin cos ；x2x2(4)y.co
6、s xex解 (1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.1x(ln x1x)(2)因为 yx31，1x2所以 y(x3)(1)3x2.(1x2)2x3(3)因为 yx sin x，12所以 yx1 cos x.(x12sin x)(12sin x)12(4)y.(cos xex)cos xexcos xexex2sin xcos xex规律方法 (1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导【训练 1】 (1
7、)f(x)x(2 017ln x)，若 f(x0)2 018，则 x0_.(2)(2015天津卷)已知函数 f(x)axln x，x(0，)，其中 a 为实数，f(x)为f(x)的导函数若 f(1)3，则 a 的值为_解析 (1)f(x)2 017ln x x2 018ln x由 f(x0)2 018，得 ln 1xx00，则 x01.(2)f(x)aa(1ln x)(ln xx1x)由于 f(1)a(1ln 1)a，又 f(1)3，所以 a3.答案 (1)1 (2)3考点二 导数的几何意义(多维探究)命题角度一 求切线方程【例 21】 (1)(2016全国卷)已知 f(x)为偶函数，当 x0
8、 时，f(x)ex1x，则曲线 yf(x)在点(1，2)处的切线方程是_(2)(2017扬州中学质检)已知函数 f(x)xln x，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 yf(x)相切，则直线 l 的方程为_解析 (1)设 x0，则x0 时，f(x)ex1x.因此，当 x0 时，f(x)ex11，f(1)e012.则曲线 yf(x)在点(1，2)处的切线的斜率为 f(1)2，所以切线方程为y22(x1)，即 2xy0.(2)点(0，1)不在曲线 f(x)xln x 上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，Error!Error!解得 x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln
9、11.直线 l 的方程为 yx1，即 xy10.答案 (1)2xy0 (2)xy10命题角度二 求切点坐标【例 22】 (2017苏、锡、常、镇四市调研)设曲线 yex在点(0,1)处的切线与曲线 y (x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_1x解析 由 yex，知曲线 yex在点(0,1)处的切线斜率 k1e01.设 P(m，n)，又 y (x0)的导数 y，1x1x2曲线 y (x0)在点 P 处的切线斜率 k2.1x1m2依题意 k1k21，所以 m1，从而 n1.则点 P 的坐标为(1,1)答案 (1,1)命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围)【例 23】 已知直线 y
10、xb 与曲线 y xln x 相切，则 b 的值为1212_解析 设切点坐标为 P(x0，y0)，由 y xln x，得 y .12121xy|xx0 ，121x0依题意， ，x01，则 P，121x012(1，12)又切点 P在直线 y xb 上，(1，12)12故 b，得 b1.1212答案 1规律方法 (1)导数 f(x0)的几何意义就是函数 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上切线有可能和曲线还有其他的公共点(2)“曲线在点 P 处的切线”是以点 P 为切点， “曲线过点 P 的切线”则点 P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标(3)当曲线 yf(
11、x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于 x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是 xx0.【训练 2】 (1)若曲线 yxln x 上点 P 处的切线平行于直线 2xy10，则点P 的坐标是_(2)(2017常州复习检测)已知曲线 y在点(3,2)处的切线与直线 axy10x1x1垂直，则 a_.解析 (1)由题意得 yln xx 1ln x，直线 2xy10 的斜率为 2.1x设 P(m，n)，则 1ln m2，解得 me，所以 neln ee，即点 P 的坐标为(e，e)(2)yx3 ，|x32x12|12又切线与直线 axy10 垂直a1，则 a2.(12)答案 (1)(e，e)
12、 (2)2思想方法1f(x0)代表函数 f(x)在 xx0处的导数值；(f(x0)是函数值 f(x0)的导数，而函数值 f(x0)是一个常数，其导数一定为 0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则在实施化简时，必须注意交换的等价性3曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点易错防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2曲线 yf(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别：前者 P(x0，y0)为切点，而后者 P(x0，y0)不
13、一定为切点3对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零基础巩固题组(建议用时：40 分钟) 一、填空题1设 yx2ex，则 y_.解析 y2xexx2ex(2xx2)ex.答案 (2xx2)ex2已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)2xf(1)ln x，则 f(1)_.解析 由 f(x)2xf(1)ln x，得 f(x)2f(1) ，1xf(1)2f(1)1，则 f(1)1.答案 13曲线 ysin xex在点(0,1)处的切线方程是_解析 ycos xex，故切线斜率为 k2，切线方程为 y2x1，即2xy10.答案 2xy104(2017苏州调研)已知曲线 yln x 的切线过原点，则此切线的斜率为_解析 yln x 的定义域为(0，)，且 y ，设切点为(x0，ln x0)，则1xy|xx0，切线方程为 yln x0(xx0)，因为切线过点(0,0)，所以ln 1x01x0x01，解得 x0e，故此切线的斜率为 .1e答案 1e5若曲线 yax2ln x 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a_.解析 因为 y2ax ，所以 y|x12a1.因为曲线在点(1，a)处的切线平1x行于 x 轴，故其斜率为 0，故 2a10，解得 a .12答案 126(2017南师附中月考)如图，y
