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1、物理试题中的动量和能量问题解析及复习要点物理试题中的动量和能量问题解析及复习要点陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室 邢彦君在历年高考试题中，以计算题形式出现的力学综合问题，大多为多体多过程问题，一般可从动量、能量观点出发，运用动量守恒定律和机械能、能量守恒定律及动量定理、动能定理进行分析求解。本文对 2008 年高考物理试题中的动量能量问题做以解析。例例 1 1（广东物理20）如图 1 所示，固定的凹槽水平表面光滑，其内放置 U 形滑板N，滑板两端为半径 R=045m 的 1/4 圆弧面。A 和 D 分别是圆弧的端点，BC 段表面粗糙，其余段表面光滑。小滑块 P1和 P2的质量均为 m。滑板的质量
2、 M=4m，P1和 P2与 BC面的动摩擦因数分别为1=010 和2=040，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。开始时滑板紧靠槽的左端，P2静止在粗糙面的 B 点，P1以 v0=40m/s 的初速度从 A 点沿弧面自由滑下，与 P2发生弹性碰撞后，P1处在粗糙面 B 点上。当 P2滑到 C 点时，滑板恰好与槽的右端碰撞并与槽牢固粘连，P2继续运动，到达 D 点时速度为零。P1与 P2视为质点，取 g=10m/s2。问：（1）P2在 BC 段向右滑动时，滑板的加速度为多大？（2）BC 长度为多少？N、P1和 P2最终静止后，P1与 P2间的距离为多少？分析与求解：分析与求解：（1）P1滑到最低点速
3、度为，由机械能守恒定律有：解得：解得：。P1P2碰撞，满足动量守恒，机械能守恒定律，设碰后速度分别为、，则有：和，解得：，=5m/s。碰后 P2向右滑动时，假设 P1保持不动，对 P2有：（向左），对P1M 有： 而 ，此时对 P1有：，所以假设成立。故 P2在 BC 段向右滑动时，滑板的加速度为 08m/s2 。（2）P2滑到 C 点时，滑板与槽碰撞粘连后速度为零。设此时 P2速度为，由P1P2碰撞到 P2滑到 C 点时，设 P1、M 速度为 v，对 P2及 P1M 整体运用动量守恒定律有：。P2从滑至过程中，机械能守恒，故有：，解得，。对 P1P2M 为系统运用功能关系有：，代入数值解得：
4、。滑板碰后，P1从 B 向右滑行距离：，P2从 C 向左滑行距离：。所以 P1P2静止后二者的距离：。例例 2 2（全国卷 I24）如图 2 中滑块和小球的质量均为m，滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点O由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为l。开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止。现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好被一表面涂有粘住物质的固定挡板粘住，在极短的时间内速度减为零，小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角60时小球达到最高点。求：（1）从滑块与挡板接触到速度刚好变为零的过程中，挡板阻力对滑块的冲量。（2）小球从释放到第一次到达最低点的过程
5、中，绳的拉力对小球做功的大小。（1）设小球第一次到达最低点时，滑块和小球速度的大小分别为、，从小球释放到经过最低点过程中，只有小球的重力做功，小球与滑块系统的机械能守恒，对小球、滑块系统运用机械能守恒定律得：。小球由最低点向左摆动到最高点过程中机械能守恒，对小球运用机械能守恒定律得：，解以上两式得：。设所求的挡板阻力对滑块的冲量为I，规定动量方向向右为正，有：，代入v1解得：。（2）小球从开始释放到第一次到达最低点的过程中，设绳的拉力对小球做功为W，由动能定理得： ，代入v2解得：。则，小球从释放到第一次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做功的大小为。例例 3 3（全国卷 II23）如图 3，
6、一质量为M的物块静止在桌面边缘，桌面离水平地面的高度为h。一质量为m的子弹以水平速度v0射入物块后，以水平速度v0/2 射出。重力加速度为g。求：（1）此过程中系统损失的机械能；（2）此后物块落地点离桌面边缘的水平距离。分析与求解：分析与求解：（1）设子弹穿过物块后物块的速度为v，这一过程中，子弹、物块在水平方向不受外力作用，动量守恒，由动量守恒定律得：mv0mMv，解得：v。系统的机械能损失为：Em，代入v得：E（2）子弹射出物块后，五快离开桌面平抛运动至地面，设物块下落到地面所需时间为t，落地点距桌面边缘的水平距离为s，则有：hgt2，svt，代入 v 解此两式得：s。例例 4 4（北京理
7、综24）有两个完全相同的小滑块A和B，A沿光滑水平面以速度v0与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失。碰后B运动的轨迹为OD曲线，如图所示。（1）已知滑块质量为m，碰撞时间为，求碰撞过程中 A 对 B 平均冲力的大小。（2）为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制做一个与B平抛轨道完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置，让A沿该轨道无初速下滑（经分析，A下滑过程中不会脱离轨道）。a分析A沿轨道下滑到任意一点的动量pA与B平抛经过该点的动量pB的大小关系；b在OD曲线上有一M点，O和M两点连线与竖直方向的夹角为 45。求A通过M点时的水平分速度和竖直
8、分速度。分析与求解：分析与求解：（1）依题意，滑块A与B正碰，由于是在水平面碰撞的，碰时二者在水平方向不受外力作用，动量守恒；又由于碰撞中乌机械能损失，动能守恒，因此对系统有：mvA-mvB=mv0 和，由两式解得：vA=0，vB=v0。碰撞过程中对滑块 B 运用动量定理有：Ft=mvB 解得：(2)a设任意点到O点竖直高度差为d。A、B 由O点分别运动至该点过程中，只有重力做功，所以机械能守恒。选该任意点为势能零点，对 A、B 分别运用机械能守恒定律有：EkA=mgd，EkB= mgd+，由p=可知：，即PAPB，故 A 下滑到任意一点的动量总和是小于B平抛经过该点的动量。b以O为原点，建立
9、直角坐标系xOy，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，则B有：x=v0t ，y=gt2，消去 t 可得 B的轨迹方程为：。在M 点 x=y，所以：。因为A、B的运动轨迹均为OD曲线，故在任意一点，两者速度方向相同。设B水平和竖直分速度大小分别为和，速率为vB，A水平和竖直分速度大小分别为和，速率为vA，则有：，由于 B做平抛运动，故有：，对 A 运用机械能守恒有，解以上三式得：。代入解得：。例例 5 5（天津理综24）光滑水平面上放着质量，mA1kg 的物块A与质量mB2kg的物块B，A与B均可视为质点，A靠在竖直墙壁上，A、B间夹一个被压缩的轻弹簧（弹簧与A、B均不拴接），用手挡住B不动
10、，此时弹簧弹性势能EP49J。在A、B间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示。放手后B向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后B冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，其半径R05m，B恰能到达最高点C。g10m/s2，求（1）绳拉断后瞬间B的速度vB的大小；（2）绳拉断过程绳对B的冲量 I 的大小；（3）绳拉断过程绳对A所做的功W。分析与求解：分析与求解：（1）设B在绳被拉断后瞬间和速度为vB，到达C点时的速度为vC，则这一过程中它的机械能守恒，故有：mBvmB2mBgR ，由于 B 恰能到达 C点，故在 C 点，它和轨道间的作用力为零，对 B 运用由牛顿定律有：mBgmB，代入数据解
11、得：vB5m/s 。（2）设弹簧恢复到自然长度时B的速度为v1，此后 B 以速度v1运动到绳被拉直，接着经一短暂时间绳被拉断，B 的速度由v1变为vB，取水平向右为正方向，由功能关系和动量定理有：EPmB和ImB vBmB v1，代入数据得I4Ns，其大小为4Ns。（3）设绳断后 A 的速度为vA，绳拉断过程中，物块 A、B 动量守恒，取水平向右为正方向，由动量守恒定律有：mB v1mB vBmAvA，对 A 由动能定理有：WmA。代入数据解得：W8J。例例 6 6（四川理综24）图中有一个竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度系数为 k 的轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为 m 的薄滑块，
12、圆筒内壁涂有一层新型智能材料ER 流体，它对滑块的阻力可调。起初，滑块静止，ER 流体对其阻力为0，弹簧的长度为 L，现有一质量也为 m 的物体从距地面 2L 处自由落下，与滑块碰撞后粘在一起向下运动。为保证滑块做匀减速运动，且下移距离为时速度减为 0，ER流体对滑块的阻力须随滑块下移而变。试求（忽略空气阻力）:(1)下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能；(2)滑块向下运动过程中加速度的大小；(3)滑块下移距离 d 时 ER 流体对滑块阻力的大小。分析与求解：分析与求解：（1）设物体下落末速度为v0，由于不及空气阻力，物体机械能守恒，对物体运用机械能守恒定律有：，解得：，设碰后共同速度为v
13、1，由于碰撞时间极短，物体与滑块间的作用力远大于二者所受重力、弹簧弹力的矢量和，二者动量守恒，对二者运用量守恒定律有：2mv1=mv0，解得：。则，碰撞过程中系统损失的机械能力 。(2)设加速度大小为a，则：，代入解得：。（3）设弹簧弹力为FN，ER 流体对滑块的阻力为FER受力分析如图所示，由牛顿第二定律有：，将FS=kx 和x=d+mg/k代入解得：。例例 7 7（四川理综25）一倾角为 45的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h01m，斜面底端有一垂直于斜而的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m009kg 的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数 02。当小物块与挡板碰撞后，
14、将以原速返回。重力加速度g10m/s2。在小物块与挡板的前 4 次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？分析与求解：分析与求解：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v。由动能定理有：。以沿斜面向上为正方向由动量定理得，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为：。设碰撞后小物块所能达到的最大高度为，为小物块再次到达斜面底端时的速度，为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。同理，有，解以上几式有：，其中 ，由此可知，小物块前 4 次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为：总冲量为：，由得：，代入数据得：Ns例例 8 8（海南物理192）一置于桌面上质量为M的玩具炮，水平发射质量
15、为m的炮弹。炮可在水平方向自由移动。当炮身上未放置其它重物时，炮弹可击中水平地面上的目标A；当炮身上固定一质量为M0的重物时，在原发射位置沿同一方向发射的炮弹可击中水平地面上的目标B。炮口离水平地面的高度为h。如果两次发射时“火药”提供的机械能相等，求B、A两目标与炮弹发射点之间的水平距离之比。分析与求解：分析与求解：由动量守恒定律和能量守恒定律得：和，解得：。炮弹射出后做平抛，有：和，解得目标A距炮口的水平距离为：同理，可求得炮身上上固定至两位 Mo的重物所发射的炮弹击中的目标B距炮口的水平距离为：，则：。从动量、能量的观点出发分析和求解力学综合问题，首先是研究对象的选取，一般是选有相互作用
16、的几个物体组成的系统为研究对象。其次是对系统内各物体发生相互作用过程中，各物体之间的作用力及系统外的物体对系统内物体的作用力进行分析，若系统外物体对系统内各物体无作用力，系统的动量守恒；若系统外物体对系统内各物体有力作用，但这些力的矢量和为零，系统的动量守恒；若系统外的物体对系统内各物体的作用力的矢量和不为零，但这个矢量和远小于系统内物体间的作用力，系统的动量守恒；若系统外的物体对系统内的物体在某个方向满足以上三点，系统在该方向上的动量守恒。三是分析系统相互作用过程中物体间能量的转移和转化情况，若只是动能和势能的转化或转移，系统的机械能守恒，否则能量守恒。四是系统方法和隔离方法的灵活运用，对系统可运用动量守恒定律、机械能守恒定律或能量守恒定律、功能关系列式，对系统内的各物体分别运用动能定理（涉及位移时）、动量定理（涉及时间时）、运动学公式列式，其次还可根据系统相互作用过程中，各物体位移间的关系运用几何关系列式。五是列式时状态的
