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1、4.1第八章第八章 机械结构的动力有限元法机械结构的动力有限元法本章介绍介绍机械结构动力学的有限元建模方法，然后利用有限元求解机械结构系 统的固有动特性，对典型工况下的动态响应进行分析，并介绍了几个典型应用实例。8.1 动力学方程的建立动力学方程的建立在动力学问题中，位移、速度、应变、应力和载荷都是时变的。弹性结构的动力学 问题的基本方程如下平衡方程 (4.70),0ij jii tti tfuu几何方程 (4.71),1 2iji jj iuu物理方程 (4.72)ijijklklD边界条件 , (在 Su边界上)、, (4.73)iiuuijjinT在S边界上以及初始条件 。, , ,0,
2、 , , , ,0, ,iii ti tux y zux y zux y zux y z式中，是密度，是阻尼系数，分别是对 t 的二阶导数和一阶导数，即加, i tti tuuiu速度和速度。分别表示惯性力和阻尼力，作为体积力的一部分出现在平, i tti tuu衡方程中。 只对空间域进行离散，单元内位移的插值函数分别为, ,u v w(4.74) 111, , , , , , , , , ,nii inii inii iu x y z tNx y z u tv x y z tNx y z v tw x y z tNx y z w t机械产品动态优化设计理论与方法4.2其中，u。 , , ,
3、, , , ,u x y z tv x y z tw x y z t 平衡方程式(4.71)以及力边界条件的等效积分形式的 Galerkin 提法如下(4.75)0,d()d0iij jii ui tiijjiVSufuuVunTS对上式第一项进行分部积分，并引入物理方程，则由上式可以得到,diij jVuV (4.76)0,dddijijklklii uii tViiiiVsDuuuuVu f VuT S 将位移空间离散后的表达式(4.74) 代入上式，注意这里的相当于 u, v, w，321,uuu并根据变分原理，最终得到结构系统的动力学方程(4.77)( )( )( )( )tttt&
4、&Ma+Ca+ ka= Q其中，和分别是结点加速度向量和速度向量，和分别是结构系( ) t& &a( ) t&a,M C K( ) tQ统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和结点载荷向量，分别由各自的单元矩阵和向量集 成， , (4.78)eeMMeeKKeeCCeeQQ其中，,deeTVVMN NdeeTVVKB DBdeeTVVCN Ndde eeTTVSVSQN fN T分别是单元的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵和单元载荷向量。 质量矩阵和阻尼矩阵质量矩阵和阻尼矩阵 式(4.79)所表达的单元质量矩阵（4.79）deeTVVMN N称为协调质量矩阵或一致质量矩阵，这是因为公式导出时采用了和导出
5、刚度矩阵一致的 位移插值函数，其质量分布是按照实际分布情况考虑的。式中的形函数矩阵 N 随单元类 型而异。例如，对于平面三角形常应变单元，其位移插值函数为, 其中，I123N N NNI4.3是单位矩阵，系数见前文，A 是三角形单2 2()/2 , 1,2,3iiiiNab xc yAi,iiia b c元面积。利用上式可以算得平面三角形常应变单元的协调质量矩阵具体表达式为201010 020101 102010 01020112 101020 010102etAM 如果是等参元，设其形函数矩阵为，单元协调质量矩阵为( , , ) N(4.80)111111|d d deT MN N J为计算
6、方便，还经常采用集中质量矩阵，即假设单元的质量集中在结点上，即把每 个单元的分布质量按静力学中的平行分解原理，平均分配到每个结点上，形成一个阶数 等于单元自由度数的对角线质量矩阵，而非主角线元素均为 0。例如，对于平面三角形 常应变单元，其集中质量矩阵为(4.81)100000 010000 001000 0001003 000010 000001etA M对于式(4.78)所表达的单元阻尼矩阵（4.82）deeTVVCN N称为协调阻尼矩阵，它是假设阻尼力正比于质点运动速度的结果。通常将介质阻尼简化 为这种情况，这时单元阻尼矩阵比例于单元质量矩阵。 除此之外，还有比例于应变速度的阻尼，例如由
7、于材料内摩擦引起的结构阻尼通常可简化为这种情况，这时的阻尼力可表示成，可以得到单位阻尼矩阵&D（4.83）deeTVVCB DB此单元阻尼矩阵比例于单元刚度矩阵。由于系统的固有振型对于和具有正交性，MK因此固有振型对于比例于和的阻尼矩阵也具有正交性。所以这种阻尼矩阵称为MKC 比例阻尼矩阵或振型阻尼矩阵。通常允许将实际结构的阻尼矩阵简化为和的线性MK 组合。即（4.84）CMK机械产品动态优化设计理论与方法4.4其中是不依赖于频率的常数。这种振型阻尼称为 Rayleigh 阻尼。, 8.2 利用有限元分析机械结构的固有动特性利用有限元分析机械结构的固有动特性8.2.1 机械结构的固有频率和固有
8、振型机械结构的固有频率和固有振型不考虑阻尼影响的机械结构的自由振动方程是(4.85) 0tt& &aKa它的解可以假设为以下形式(4.86)0sin()tta其中,是阶向量，是向量振动的频率， 是时间变量，是由初始条件确定的时nt0t间常数。 将式(4.86)代入式(4.85)，就得到一广义特征值问题(4.87)20KM求解以上方程可以确定和，结果得到个特征解，n22 1122,，其中特征值，代表系统的个固有频率，并有2, nn12, nn.120n对于结构的每个固有频率，由式(4.87)可以确定出一组各节点的振幅值，它们互相之间保持固定的比值，但绝对值可任意变化，所构成的向量称为特征向量，在
9、工程上通常称为结构的固有振型。设特征向量，代表结构的个固有振型，它们的12, nn幅度可按以下要求规定(4.88)1 1,2,T iiin M这样规定的振型又称为正则振型，即所谓的固有振型。固有振型具有如下重要性质。将特征解代回方程式(4.86)，得到22,iijj(4.89)22,iiijjjKM KM上式前一式两端前乘以，后一式两端前乘以，并由和的对称性推知T jT iKM(4.90)TT jiij K K4.5所以可以得到(4.91)220T ijji M由上式可见，当时，必有ij(4.92)0T ji M上式表明固有振型对于矩阵是正交的。和(4.88)式在一起，可将固有振型对于M 的正
10、则正交性质表示为M(4.93) 1, 0, T ijij ij M进而可得(4.94) 2, 0, iT ijij ij K定义固有振型矩阵，则12n (4.95)2222 12diag( )nL特征解的性质还可表示成(4.96)T MI2T K 式中，和分别称为固有振型矩阵和固有频率矩阵。由此，原特征值问题还可以表2 示成(4.97)2KM8.2.2 固有频率和固有振型的求解方法固有频率和固有振型的求解方法结构振动的固有频率和固有振型求解是振动模态分析的关键问题。求解固有频率和 振型的方法有振型截断法、矩阵逆迭代法、李兹法、广义雅可比法等。对于一个连续体 的结构，其固有频率有无限多阶，在有限
11、元中，结构被离散成细小的单元，对于大型复 杂的结构，单元的数目可能数以万计，由这些单元形成的振动方程组规模是很庞大的， 由此而得到的特征方程，其矩阵的阶次通常很高。有限元中经常用来求解结构的低阶模 态。另外，同样规模的特征值问题, 其计算量比静力问题的计算量要高出几倍，因此， 如何降低特征值问题的计算规模、减少计算量也是一个重要的课题。如下介绍振型截断 法即所谓的 Guyan 缩聚的基本原理。 对于一个机械结构，设其静力问题的总体刚度方程为（4.98） ()(1)(1)r rrrKqP机械产品动态优化设计理论与方法4.6其中, r 为总自由度。将其写成分块矩阵的形式，有（4.99）1112 1
12、12122 11mm m mm smmss s ms sss qPKKKKqP其中, 。上面的分块是根据节点位置的重要程度来划分的，一般情况下，将对rsm应于结构关键位置的节点位移划分为，叫做“主自由度”（master DOF） ，而剩下的节mq点位移划分为，叫做“从自由度”（slave DOF） 。假定进行分块时考虑到的特征Sq0SP（比如结构内部无载荷，或对应于内部自由度的载荷为零） ，同时还可以定义矩阵对角线的相对刚度系数来确定“主自由度”，即计算（4.100）iiii imk其中，分别为系统的刚度矩阵和质量矩阵主对角线上的元素。当相对刚度系数超iikiim过某一临界值时，所对应的节点自
13、由度选为“主自由度”，即（4.101）cri其中，为临界相对刚度系数值，可以根据需要缩聚的自由度数来确定。cr方程（4.99）可以写为(4.102)111221220msmms K qK qP K qK q由上式中的第二式，有(4.103)1 2221sm qK K q将 q 写成(4.104) 11 1112221 1mm mmmmr mrmmss ms qI qqTqK Kq其中转换矩阵 T 为(4.105)1 2221m mr ms m I TK K将该转换关系（4.105）代入到求动力学问题的虚功方程中，可以得到动力学系统的方程(4.106)1T1T1T1T rmrmmmmrrrrmmmmrrrrmmmmrrrrmPTqTKTqTCTqTMT&即有4.7(4.107)mmmmmmmPqKqCqM&其中(4.108) ,TmrrrrmmmmTKTK ,TmrrrrmmmmTMTM ,TmrrrrmmmmTCTC 1TrmrmmmmPTP考虑无阻尼自由振动，则(4.109) 011 mm mmm mm mmmqKqM&该方程的解为(4.110) i t mmteqq其中为系统的固有频率，将式（4.110）代入到式（4.109）中，有
