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1、弹性力学期中测验部分试题解答弹性力学期中测验部分试题解答春暖花开春暖花开1. 利用坐标变换从直角坐标的平衡方程推导极坐标下平衡方程（无体力）利用坐标变换从直角坐标的平衡方程推导极坐标下平衡方程（无体力） 。解解：基本关系和单位矢量关系为：，.将 看作 的函数，对基本关系对 和 分别求偏导，得：由上面得到的结果以及求导连锁法则可得：（1）极坐标下应力分量（ ）与直角坐标下应力分量（ ）有关系：（2）将（1） 、 （2）代入直角坐标下平衡方程有：（3）完成（3）式的运算，得：（4）方程组（4）可以看作括号内量的齐次方程组，其系数矩阵的行列式为从而齐次方程组（4）的只有零解，即这就是极坐标下的平衡方
2、程。2.2. 利用坐标变换从直角坐标下几何方程推导极坐标下几何方程。利用坐标变换从直角坐标下几何方程推导极坐标下几何方程。解解：直角坐标下位移分量（ ）与极坐标下位移分量（ ）的关系式如下：（6）一方面，将（6）式和（1）式代入到直角坐标下的几何方程并进行整理，可得到（7）另一方面，利用不同坐标系下应变分量的转换关系式，也可得极坐标下应力分量（ ）与直角坐标下应力分量（ ）之间的关系：（8）由（7）和（8）可以消去 ，并进行适当的整理可以得到（9）与平衡方程的讨论一样，可以将（9）看作括号内量的齐次方程组，并验证得到其系数行列式故齐次方程（9）只有零解，从而这就是极坐标下的几何方程。注：注：导
3、出极坐标下的平衡方程和几何方程，一般而言有三种方案：其一是在极坐标系下直接利用物理和几何得到；其二是将平衡方程和几何方程的张量形式在极坐标下投影即可；其三就是本答案的写的，利用坐标变换获得。三种方案各有优缺点。3.3. 已知已知 ，其他应力分量为零，求位移场。，其他应力分量为零，求位移场。解解：由本构关系可以得到（10）由（10）的前三个方程分别对 积分，得（11）（12）（13）将（11） 、 （12）代入（10）的第四个方程中，可得稍作整理就可得到：此方程的左边的自变量为 ，右边的自变量为 ，等式要恒成立则要求两边只能是自变量 的函数，故可以令：将这两个方程分别对 积分就得到（14）将（14）代入到（10）的第五、六个方程中，分别得到即：（15）（16）一方面，对（15）求 x 偏导，对（16）求 y 偏导，得到从而可得： ，即（ 为常数） （17）另一方面， （15） 、 （16）两等式的左边均只为 的函数，从而要求等式的左边不能有含 z 的项，也就是说（ 均为常数）将上两式分别对 z 积分后有（18）（19）其中 均为常数。综合以上两个方面的讨论， （15） 、 （16）可以化简为积分就可以得到（20）将（18） 、 （19）代入到（14）的两个方程中，可以得到（21）（22）最后将（22） 、 （21） 、 （20）分别代入（11） 、 （12） 、 （13）就得到了
