16届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案

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1、第十六届全国中学生物理竞赛复赛试题 全卷共六题，总分为 140 分。 一、（20 分）一汽缸的初始体积为 V0，其中盛有 2mol 的空气和少量的水（水的体积可以忽略）。平衡 时气体的总压强是 3.0atm，经做等温膨胀后使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此 时的总压强为 2.0atm。若让其继续作等温膨胀，使体积再次加倍。试计算此时： 1汽缸中气体的温度； 2汽缸中水蒸气的摩尔数； 3汽缸中气体的总压强。 假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。 二、（25 分）两个焦距分别是 f1和 f2的薄透镜 L1和 L2，相距为 d，被共轴地安置在光具座上。 1若要求入射光线和与之对

2、应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？ 2根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。 三、（25 分）用直径为 1mm 的超导材料制成的导线做成一个半径为 5cm 的圆环。圆环处于超导状态， 环内电流为 100A。经过一年，经检测发现，圆环内电流的变化量小于 10-6A。试估算该超导材料电阻率 数量级的上限。 提示：半径为 的圆环中通以电流 后,圆环中心的磁感应强度为 ,式中、 、各量均用国际单位，。四、（20 分）经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过 对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由 两个星体构

3、成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星 体很远，可以当作孤立系统处理。 现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是，两者 相距。他们正绕两者连线的中点作圆周运动。 1. 试计算该双星系统的运动周期。 2. 若实验上观测到的运动周期为，且。为了解释与的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。 作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而 不考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。五、（25 分）六个相同的电阻（阻值均为）连成一个

4、电阻环，六个接点依次为 1、2、3、4、5 和 6，如图复 16-5-1 所示。现有五个完全相同的这样的电阻环，分别称为、。 现将的 1、3、5 三点分别与的 2、4、6 三点用导线连接，如图复 16-5-2 所示。然后将的 1、3、5 三点分别与的 2、4、6 三点用导线连接， 依此类推。最后将的1、3、5 三点分别连接到的 2、4、6 三点上。 1证明全部接好后，在上的 1、3 两点间的等效电阻为。 2求全部接好后，在上的 1、3 两点间的等效电阻。六、（25 分）如图复 16-6 所示， 轴竖直向上，平面是一绝缘的、固定的、刚性平面。在处放一带电量为的小物块， 该物块与一细线相连，细线的

5、另一端穿过位于坐标原点的光滑小 孔，可通过它牵引小物块。现对该系统加一匀强电场，场强方向垂直 与 轴，与 轴夹角为（如图复 16-6 所示）。设小物块和绝缘平面 间的摩擦系数为,且静摩擦系数和滑动摩擦系数相同。不计重力作用。现通过细线 来牵引小物块，使之移动。在牵引过程中，我们约定：细线的端只准沿 轴向下缓慢移动， 不得沿 轴向上移动；小物块的移动非常缓慢，在任何时刻，都可近似认为小物块处在力平 衡状态。若已知小物块的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程。第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答一、参考解答 1 只要有液态水存在，平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸气压强之 和

6、：（1）第一次膨胀后 （2） 由于第一次膨胀是等温过程，所以（3） 解（1）、（2）、（3）三式，得（4）（5）（6）由于，可知汽缸中气体的温度（7） 根据题意，经两次膨胀，气体温度未改变。2 设水蒸气为经第一次膨胀，水全部变成水蒸气，水蒸气的压强仍为，这 时对于水蒸气和空气分别有（8）（9） 由此二式及（5）、（6）式可得（10） 3. 在第二次膨胀过程中，混合气体可按理想气体处理，有（11）由题意知，再将（2）式代入，得（12）二、参考解答l在所示的光路图（图复解 16-2-1）中，人射光经透镜折射后沿射向，经折射后沿出射、与透镜主轴的交点分别为、和，如果为物点， 因由沿主轴射向的光线方向

7、不变，由透镜性质可知，为经过所成的像，为经所成的像，因而图中所示的、之间有下列关系：（1）（2）（3） 当入射光线与出射光线平行时，图中的，利用相似三角形关系可求得, 从而求得 （4）联立方程（1）、（2）、（3）、（4），消去、和，可得（5）由于、均已给定，所以为一确定值，这表明：如果入射光线与出射光线平行，则此入射光线必须通过主轴上一确定的点，它在的左方与相距处，又由于与无关，凡是通过该点射向的入射光线都和对应的出射光线相互平行2由所得结果（5）式可以看出，当时，此情况下的光路图就是图复 解 16-2-1当时，此时入射光线和出射光线均平行于主轴，光路如图复 解 16-2-2当时，这表明点在

8、的右方，对来说，它是虚物由（1）式可知，此时，由可知，又由可知，所以此时的光路图如图 复解 16-2-3三、参考解答 根据题中所给的条件，当圆环内通过电流 时，圆环中心的磁感应强度穿过圆环的磁通量可近似为（1） 根据法拉第电磁感应定律，电流变化产生的感生电动势的大小（2）圆环的电阻 （3）根据题设条件 ，,代入（3）式得（4） 由电阻与电阻率、导线截面积、长度的关系及已知导线的直径，环半径，得电阻率（5）四、参考解答 1双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，设运动速率为 ，向心加速度满足下面的方 程：（1）（2） 周期（3） 2根据观测结果，星体的运动周期（4） 这说明双星系统中受到的向心力大于

9、本身的引力，故它一定还受到其他指向中心的作用力， 按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与 一质量等于球内暗物质的总质量位于中点处的质量点相同考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度，则有（5） （6） 因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由（4）式得（7） 把（2）、（6）式代入（7）式得（8） 设所求暗物质的密度为，则有故（9）五、参考解答 解法一：1（1）电阻图变形 此题连好的线路的平面图如图预 解 16-5-1 所示 现将电阻环改画成三角形， 1、3、5 三点为顶点，2、4、6 三点 为三边中点，如图预解 1?D5-2 与图 预解 16-5-3

10、 所示整个连好的线路相当于把的三个顶点分别接到的三个中点上，图 预解 16-5-1 变为图预解16-5-4这样第 1 问归 结为求图预解 16-5-4 中最外层三角环任意两 顶点间的等效电阻。（2）递推公式 为使图形简化，讨论如何 将接好的两个电阻环化简成 为一个单环。由六个阻值为 的电阻构成一个三角环，将 其顶点接在另一由六个阻值 为的电阻构成的三角环的 中点上（如图预解 16-5-5 所 示）。 图预解 16-5-6 是由六个阻值为 的电阻构成的三 角环。若图预解 16- 5-5 顶点 1、3 间的 电阻与图预解 16-5- 6 顶点 l、3 间的电 阻阻值相等，我们称 图预解 16-5-

11、6 中的 为等效单环电 阻 用符号“/”表示电阻的并联，如由图预解 16-5-5 中的对称性可知 l、3 两顶点间的电阻等于图预解 16-5-7中 1、0 间的电阻的 2 倍，即（1）同理，图预解 16-5-6 中 1、3 两顶点间的电阻为（2） 由（1）、（2）式得等效单环电阻为（3） 2. 第一问现在考虑把、按相反的次序，由内向外依次连接的情况首先将接在外面，求双环的等效单环电阻即（3）式中的这时由 （3）式得到为其次，在双环外面接上，这时三环的等效单环电阻 为由此可得一般公式，环的等效单环电阻可由求出（4） 于是由（2）式得出由一个环（）、两个环（）直至五个环（）构成的线路 1、3 点间

12、的电阻为答：所求的五个环的 1 与 3 间的等效电阻确为证毕。3. 第二问根据五个组成的圆柱形网络的对称性，的 l、3 两点等价于的 2、4 两点等价 线路如图预解 16-5-8 与图预解 16-5-9 所示设二图等价，求图预解 16-5-9 中的即可所以答：所求值为。解法二： 第一问图预解 16-5-3 可看做的接线图，其一半如图预解 16-5-10 所示，竖直粗线为一短路线一个环（）构成线路的 1 与 0 点间的阻值用表示，根据对称性，。当接入后，由两个环（类似图预解 16-5-5）构成线路图的一半如图预解 16-5-11 所示三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形（）中的 2 与间的阻值就

13、是图预解 16-5-10 中 1 与 0 间的阻值。其等效电路如图预解 16-5-12 所示图预解 16-5-11（或图预解 16-5-12）中的 l 与 0 点间的阻值用表示有再将双环接入，其一半如图预解 16-5-13 所示，三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形中含有六个电阻，其 2 与间的阻值就对应为，参看图预解 16-5-12 的等 效电路，得同理，得由此得 第二问五个电阻环构成线路后，最外层环（）上 2 点与 4 点间的等效电阻可借用图预解 16-5-12 求得，将图中换成，五个环构成的线路中 2 与 4 间阻值可如下求得： 因故六、参考解答设所加匀强电场的场强为，它在方向和 方向的

14、分量分别为， 。 由于物块带负电，电场作用于物块的电力的两个分量分别为（1）（2）在平面内，方向沿轴正方向垂直于平面，被绝缘平面的支持力所平衡， 故物块对绝缘平面的正压力的大小和的大小相等，即绝缘平面作用于物块的摩擦力（3） 的方向决定于物块移动的方向 根据题意，物块在平面内的运动可看做是一种在力平衡下的缓慢移动作用于物块的三个力、和线的拉力 都在平面内物块在任一位置达到平衡时的受力情况如 图预解 16-6 所示。为细线与 轴的夹角。把沿 和方向 分解得用和表示的两个分量，物块平衡时，有（4）（5） 由（4）、（5）式得注意到（3）式，得得 或 （6） 因要小物块缓慢移动，需要细线牵引，不符合

15、题意，应舍去因，将代入（4）、（5）式， 有摩擦力方向的斜率（7） 是摩擦力方向与 轴夹角的正切，即摩擦力方向的斜率，因摩擦力始终沿轨道的切线 方向，故也就是轨道切线的斜率下面，通过对（7）式的分析来寻找轨道方程当中一 0，kco 即在起点 A 时，轨道的切线与 x 轴垂直 当，即在起点时，轨道的切线与 轴垂直。当，一种情况是小物块运动到轴上后，沿轴做直线运动到点，但这 与题设轨迹移动是一条二次曲线不符，因而它一定表示轨道在点的切线与 轴垂直 在二次曲线中，曲线上两点切线相互平行的只有椭圆或圆又因为、两点的切线与 它们的连线相垂直，这连线应为曲线的轴线，且在轴上，另一轴在它的垂直平分线上且与轴平行。曲线与此轴线的交点的切线的斜率为 0.代入（7）式得，故该曲线为圆， 其方程为（8）