《高数第二篇线性代数 第五章矩阵的特征值与特征向量定稿》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数第二篇线性代数 第五章矩阵的特征值与特征向量定稿（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章 矩阵的特征值与特征向量5.15.1 矩阵阵的特征值值与特征向量5.2 5.2 相似矩阵阵与矩阵阵可对对角化条件5.3 5.3 实对实对 称矩阵阵的对对角化1一、特征值值与特征向量定义义三、矩阵阵的迹二、特征值值与特征向量求法5.1 矩阵的特征值与特征向量2定义5.1 若存在常数及非零向量一、特征值与特征向量定义3说明4称二、特征值与特征向量的计算方法5定理5.1设是n阶矩阵，则 是的特征值， 是 的属于 的特征向量证明67求矩阵特征值与特征向量的步骤：8例 1求矩阵的特征值与特征向量.解得特征值当时, 解方程由9得基础解系全部特征向量为当时,解方程由得基础解系全部特征向量为二重根10例
2、 2求矩阵的特征值与特征向量.解解得特征值当时,解方程组得基础解系全部特征向量为11当时,解方程得基础解系全部特征向量为注意在例1与例2中,特征根的重数与其对应的线性无关特征向量的个数.二重根12例3如果矩阵则称是幂等矩阵.试证幂等矩阵的特征值只能是 0或 1.证明 设两边左乘矩阵, 得由此可得因为所以有得13例 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于的特征向量，则证明再继续施行上述步骤 次，就得1415矩阵的特征值与其特征多项式的关系1617特点则有：18性质：1920课堂练习21（答：2，-2，0.）22一、相似矩阵阵概念二、相似矩阵阵基本性质质三、矩阵阵可对对角化的条件5.2 相似矩阵
3、与矩阵可对角化条件23设都是阶方阵, 若有可逆矩阵使则称与是相似的, 或说一、相似矩阵概念2425相似是一种等价关系26(1)相似矩阵有相同的行列式.(2)相似矩阵有相同的迹.(3)相似矩阵有相同的秩.(4)相似矩阵有相同的特征多项式.(5)相似矩阵有相同的特征值.二、相似矩阵基本性质(6) 相似矩阵的逆矩阵仍相似(设两者都可逆).(7) 相似矩阵的幂仍相似.27证明设矩阵A与B相似,即有P -1 AP=B(1)(2) 显然.(3)(4) 由(3)即得.(5) 由(4)及特征值与迹的关系可得.(6)(7) 由相似的定义可得.28例1已知与相似,求x,y.解因为相似矩阵有相同的特征值, 故A与B
4、有相同的特征值 2, y, -1.根据特征方程根与系数的关系,有：而故 x =0, y =1. 29课堂练习30所谓方阵可以对角化, 是指即存在可逆矩阵使 成立.定理5.2阶方阵可对角化有个线性无关的特征向量.三、矩阵可对角化的条件31证明设即是的对应于特征值的特征向量.又因可逆,故线性无关.得到32设线性无关.记则因线性无关,故可逆,即可对角化.33定理5.3343536证明则即类推之，有37把上列各式合写成矩阵形式，得38定理5.4对一重特征值来说,相应地只有一个线性无关的特征 向量对k重特征值来说,相应地线性无关的特征向量不会 超过k个39(证明略)定理5.5推论 属于不同特征值的特征向
5、量是线性无关的40定理5.6(充分条 件)若A的n 个特征值互不相等,则A与对角阵相似(可对角化).如教材5.1例3，P169注意：逆不成立,即与对角阵相似的矩阵 ,特征值不一定互不相等.41例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？解42解之得基础解系43求得基础解系44解之得基础解系故 不能化为对角矩阵.45A能否对角化？若能对角化,试求出可逆矩阵P例2解46解之得基础解系47所以 可对角化.48注意即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应49例： 对教材5.1例2、例3的矩阵A，求可 逆阵P，使P-1AP为对角阵. 50例3有三个不同的特征值 对应的特征向量分别为已知求(1)(2)
6、解又所以51(2)若令则有故52课堂练习53一、实对实对 称矩阵阵的特征值值与特征向量5.3 实对称矩阵的对角化二、实对实对 称矩阵阵的对对角化54定理5.7 实对称矩阵的特征值为实数.证明一、实对称矩阵的特征值与特征向量55于是有两式相减，得56定理.的意义57证明于是定理5.8 实对称矩阵的属于不同特征值的特征 向量是正交的58证明 它们的重数依次为根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得：设 的互不相等的特征值为59即： 任一实对称矩阵一定可以对角化.与之相似的对角阵的对角元素就是的全部特征值, 而正交阵是由它们对应的单位特征向量组成的.为阶实对称矩阵,则必存在正交矩
7、阵 使其中是以的个特征值为对角元的对角阵.定理5.二、实对称矩阵的对角化由上面结论(3)得：60根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化，单位化，;3.写出正交矩阵.4.2.1.61例1求一个正交阵解(1) 求特征值:特征值为62(2)求特征向量:对于解得线性无关的特征向量为对于解得线性无关的特征向量为(3)特征向量正交化、单位化：用施密特正交化方法63正交化 取单位化取(4)写出所求正交矩阵:64令则 P 是正交阵. 并且要特别注意本题的解题方法和步骤. 在后面的用正交变换化二次型为标 准形中还要用到类似的方法.65解例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵.(1)第一步 求 的特征值66解之得基础解系 解之得基础解系67解之得基础解系第三步 将特征向量正交化，单位化68写出正交矩阵.第四步.697071于是得正交阵72课堂练习73本章要点矩阵对角化的条件实对称矩阵的对角化矩阵的特征值与特征向量相似矩阵的概念与性质矩阵对角化74
