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1、第二章考虑材料塑性的极限分析知识要点1. 塑性变形在常温下，与时间无关的不可恢复的永久变形称为塑性变形。塑性变形是不可逆的永久变形，应力超过了材料的线弹性范围，胡克定律不再成立，其应力-应变关系一般呈非线性关系。塑性变形与加载历程有关，其应力与应变间的对应关系呈多值性。 2. 塑性极限分析（1）塑性极限分析的假设荷载为单调增加的静荷载。若有多个荷载同时作用，则各个荷载按比例同时由零增至终值。结构（或荷载）在达到极限状态前，保持几何不变体系。材料的应力-应变关系理想化为刚塑性模型或理想弹塑性模型，如图 2-1（a）(b)所示。（2）屈服荷载，极限荷载结构（或构件）开始出现塑性变形的荷载，称为屈服
2、荷载，记为；sF结构（或构件）开始出现大的塑性变形成为几何可变机构，而处于极限状态时的荷载，称为极限荷载，记为。uF（3）屈服扭转（或弯矩） ，极限扭矩（或弯矩）圆轴（或梁）横截面上的最大应力达到材料的屈服极限而开始出现塑性变形时，横截面内的扭矩（或弯矩）称为屈服扭矩（或弯矩）记为（或） ；圆轴（或梁）横截面上的应力全部达到材料的屈sTsM服极限，此时横截面各点均发生塑性变形，整个截面进入完全塑性状态达到极限状态时的扭矩（或弯矩）称为极限扭矩（或弯矩）记为（或） 。uTuM（4）塑性铰当梁的某截面达到极限状态时，该截面两侧的两段梁将绕其中性轴作相对转动，犹如在该截面处安另了一个铰链，故称其为塑
3、性铰。塑性铰并不等同于真实的铰链，而是由于截面达到完全塑性引起的，它能承受弯矩，即截面上的极限弯矩。（5）残余应力当结构或构件达到极限状态后，卸除荷载至零，构件截面上的应力，称为残余应力。由于卸载后外荷载为零，故残余应力必自相平衡。残余应力最大值为材料的屈服极限。习题详解2-1 一组合圆筒，承受荷载，如题图（a）所示。内筒材料F为低碳钢，横截面面积为，弹性模量为，屈服极限为；1A1E1s外筒材料为铝合金，横截面面积为，弹性模量为，屈服极2A2E限为。假设两种材料均可理想化为弹性-理想塑性模型，其2s应力-应变关系如题 2-1 图（b）所示。试求组合筒的屈服荷载和极限荷载。sFuF解 如题 2-
4、1 图（c）所示，设内筒和外筒的轴力分别为，由静力学平衡方程 21NNFF 和021FFFNN得FAA2211结构为一次超静定，当荷载不大时，组合圆筒的内，外筒均F处于弹性状态。变形相容性条件21ll21物理关系22 2 11 1,EE将式代入式，并与式联立求解即可得内，外筒的应力为22112 2 22111 1,AEAEFE AEAEFE 内，外筒的应变为221121AEAEF 如题 2-1 图（b）所示，若增大荷载，则内筒（低21ssF碳钢）的应变将首先达到材料的屈服应变极限，组合筒开始1s产生塑性变形。此时，结构的荷载为屈服荷载，其值由式sF的第一项或式来确定，即122111EAEAEF
5、ss将代入上式，得屈服荷载111ssE21211AEAFsss当外荷载达到屈服荷载时时，虽然组合筒开始产生塑性变形，sF但并未完全丧失继续承载能力。若继续增大荷载，则组合筒的应力保持为，而外筒的应力会继续增大。当荷载虽大于屈1s服荷载，但小于极限荷载时，组合筒处于弹性-塑usFFF性状态，此时，由静力学平衡条件，可求得内，外筒的应力分别为211211,AAFss再继续增大荷载，当外筒（铝合金）内的应力也达到屈服极限时，组合筒开始产生大的塑性变形，整个结构进入完全塑2s性状态而达到极限状态。由静力学平衡条件，可得极限荷载为2211AAFssu2-2 一水平刚性杆 AC，A 段为固定铰链支承，在
6、B,C 处分别与两根长度 横截面面积和材料均相同的等直杆铰接，如题, lA2-2 图（a）所示。两杆的材料可理想化为弹性-理想塑性模型，弹性模量为，屈服极限为。在刚性杆的 D 处承受集中荷载EF,试求结构的屈服荷载和极限荷载。sFuF解 对题 2-2 图（b）应用静力学平衡条件列平衡方程023, 021aFaFaFMNNA得 FAaAaFaAaA230232121 结构为一次超静定，根据题 2-2 图（a）所示几何关系，有几何相容方程2131ll2131由胡克定律有EE2 21 1,联立，可解得AF AF 53,521当外力 F 不太大时，两杆处于弹性状态。增大荷载F，由式可知，杆 2 先达到
7、屈服极限，这时，结构的荷载s为屈服荷载，其值由式确定，即 sFAFss35继续增大荷载 F，杆 2 内的应力保持为，当杆 1 内s的应力达到屈服极限时，结构开始产生大的塑性变形，使整s个结构进入完全塑性状态而达到极限状态。由静力学平衡条件，可得极限荷载为 AFsu22-3文献 1 例题 2-1 中的三杆铰接超静定结构，如题 2-3 图（a）所示，若在荷载达到极限荷载后，卸cos21AFsu除荷载，试求中间杆 3 内的残余应力。解 荷载达到极限荷载时，杆 3 的应力达cos21AFsu到屈服极限，在卸载过程中，应力-应变关系是线性的，s此时杆 3 的应力应按弹性状态计算，应用文献 1 例题 2-
8、1 中的式，有 333cos21cos21 cos21su AF故杆 3 的残余应力为 323303cos21sincos2 cos21cos21 s ss2-4等直圆轴的截面性状如题 2-4 图所示，实心圆轴的直径，空心圆轴的内，外径分别为。mmd60mmDmmd80,4000材料可视为弹性-理想塑性，其剪切屈服极限。MPas160试求两轴的极限扭矩。解 当截面各点处的切应力均达到材料的剪切屈服极限（如题 2-4 图（c） ， （d）所示）时，则横截面上各点处均s将发生塑性变形，整个截面进入完全塑性状态。杆件达到极限状态，其极限扭矩为实心圆轴mkNmNdTsu05. 9101601206.
9、012633空心圆轴mkNmNDTsu 8 .18101602111208. 0112633 332-5一半径为 R 的等直实心圆轴，材料可是为弹性-理想塑性，如题 2-5 图所示。在扭转时处于弹性-塑性阶段，即横截面上的扭矩 T 处于状态，试证明弹性区的半径为usTtT。3364ssTRr解 如题 2-5 图所示，杆件处于弹性-塑性阶段时，横截面上的扭矩为21AsAPdAdAT因，代入上式得ss p ssp rr 即,3333412461 3122221sssss ssRrsP ssAsAssrRrRrrdIrdAdArTs故弹性区的半径3364ssTRr2-6试验证下列截面的塑形弯曲截面系
10、数与弹性弯曲截面系sW数的比值 ：W（1）薄壁圆筒截面（壁厚）0r平均半径27. 1WWs（2）对角线尺寸为 h 和 b 的棱形截面00. 2WWs解 当梁达到极限状态时，中性轴将横截面分为面积相等的两部分。对于具有水平对称轴的横截面，极限状态时的中性轴与对称轴重合。其塑形弯曲截面系数为ctAAsSSydAydAWCT式中，分别为横截面上受拉部分面积和收压部分面积，且有ctAA和；分别为面积对中性轴的静矩，均ctAA ctAcAtydASydAS，ctAA和取正值。对于此题，截面分别为薄壁圆筒和棱形，均有水平对称轴，故。ctSS （1）薄壁圆筒截面，如题 2-6 图（a）所示。22332234
11、 3434 234 222rrRRrRrRrrRRSSSWtcts 弹性弯曲截面系数 RrRrRrR RrR W224444 故2222434rRrRRrrRRWWs 式中，则有2,200rrrR03 002 2 02223243rrrrRrRrRRrrRR 因为3 02 2 0022r422r2r rRrR所以27. 14443343 03 0 rrWWs（2）棱形截面，如题 2-6 图（b）所示。把棱形截面视为由四个的直角三角形面积组成，则22bh故2-7如题 2-7 图示 T 形截面梁的材料可视为弹性-理想塑性，其屈服极限，试求该梁的极限弯矩。MPas235解 因 T 形截面无水平对称轴
12、，故塑性弯曲截面系数ctsSSW设 y 表示腹板下底边到中性轴的距离，如题 2-7 图所示，因Cz中性轴将截面分割为面积相等的两部分，所以有。ctAA yy707062708708解上式，可确定中性轴的坐标mmy46.62中性轴位置确定后，以中性轴为界的上，下两部分面积对中性轴的静矩分别为333331990246. 0846. 087015612246. 046. 07046. 031628mmmmSmmmmmmSct将代入式得 ctSS 和3317602199015612mmmmWs则 T 形截面梁的极限弯矩为mNmNWMssu14. 4101760210235962-8矩形截面简支梁受载如
13、题 2-8 图（a）所示。已知梁的截面尺寸为梁的材料可视为弹性-理想塑性，,120,60mmhmmb屈服极限。试求梁的极限荷载。MPas235解 利用静力学平衡方程，很容易地求出梁的支座反力并作梁的弯矩图，如题 2-8 图（b）所示，由弯矩图，可确定最大弯矩FM35max对于矩形截面，塑形弯曲截面系数为sW442122bhhhbSSWcts 当梁达到极限状态时，其最大弯矩等于极限弯矩，故矩形截面梁的极限弯矩为FWMMSsu35max则梁的极限荷载为kNNWFSsu5 .30512. 006. 0411023535326 2-92-9 受均布荷载作用的简支梁如题 2-9 图所示。已知该梁的材料可
14、视为弹性-理想塑性，屈服极限，试求梁MPas235的极限荷载。解 如题 2-9 图所示，设 y 表示腹板下底边到中性轴的距离。因中性轴上下两部分面积相等，所以有ctAA 501002002550250250yy解上式，可确定中性轴的坐标位置mmy45则塑形弯曲截面系数为363310931. 1230501001052002525525024545250mmmmmmSSWcts梁的最大弯矩为2 max81qlM当梁达到极限状态时，其最大弯矩等于极限弯曲梁上的荷载达到极限值，极限弯矩为ssWqlM2 max81于是，梁的极限均布荷载集度为mkNmNlWqss/227/410931. 1102358823622-10 题 2-10 图（a）所示一端固定，一端铰支的超静定梁，承受均布荷载 q。梁的材料可视为弹性-理想塑性，已知其极限弯矩为。试证明梁的极限荷载为。uM266.11lMquu提示：除固定端的塑性铰外，另一塑性铰的位置与弹性分析中的位置不同。令另一塑性铰距固定端为 a，可由，求 maxM0dadqu得另一塑性铰的位置 a。解 题 2-10 图（a）所示为一次超静定梁，在线弹性阶段，按超静
