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1、13 弹性静力学变分原理弹性静力学变分原理一 、弹性力学平衡问题的基本方程：回顾、弹性力学平衡问题的基本方程：回顾,0ij jif(3.1),()/2iji jj iuu(3.2)或 ijijklklcijijklkls在域内V(3.3a,b)式中ijklijlkjiklklijcccc(3.4)边界条件：在域的边界上，有VB12BBB， 在上 iiuu1B(3.5)， 在上 ijijipnp2B(3.6)补注 1：有限变形应变公式不限于小变形的应变定义依据坐标的选取分两类，一类是以变形前坐标来衡量，称iX为 Lagrange 应变或者 Green 应变，另一类则是以变形后坐标来衡量，称为 E
2、uler 应变或者ixAlmansi 应变，分别为1 2jikk ij jiijuuuuLXXXX1 2jikk ij jiijuuuuExxxx(s-3.1)补注 2：微极弹性理论经典的弹性力学中，从微六面体的平衡出发推导平衡方程时，六面体各面上仅有一合力2作用，自然有三个分量。但我们在研究宏观构件，比如弹性直梁时，其截面上除了一个合力 外，尚有一个合力矩（即三个力矩分量） 。也就是说，在经典的弹性理论中，微元体面上的 合力矩被忽略了。如果考虑这一合力矩的影响，我们便得到所谓的 Cosserat 理论，相应的介 质称为 Cosserat 介质。事实上，第一个考虑合力矩影响的是德国学者 W.
3、Voigt，他于 1887 年发表论文，发现这一考虑将导致应力张量的非对称性。E. Cosserat 和 F. Cosserat 兄弟俩于 1909 年完善了 Voigt 的工作，特别是提出了物体在变形过程中其每一点不仅有平移变位，而 且伴随着转动变位。Cosserat 兄弟的工作发表后一直少有人问津，原因是他们的理论是直接 建立在非线性构架上的，而且有很多讨论与弹性理论无关，所谓的曲高和寡正是他们的论文 遭到冷遇的最好写照。到 1950 年代左右，由于发现诸如高频振动时经典弹性理论的预测结 果和实验结果有较大的差距，Cosserat 理论才被重视起来，发表了一系列的学术论文，例如 C. Tr
4、uesdell，R. A. Toupin，R. Mindlin，A. C. Eringen 等力学大家都曾致力于 Cosserat 介质 的研究。目前文献中，也称 Cosserat 介质为微极（micropolar）介质，称 Cosserat 理论为偶应 力（couple stress）理论或者非对称（asymmetric）弹性理论。其运动平衡方程有两组，一组 与 Cauchy 线动量方程（Cauchys equation of linear momentum）相同，另一组与 Cauchy 角动量方程（Cauchys equation of angular momentum，即）有区别，为ij
5、ji,0ijkjkji jieY(s-3.2)1995 年后至今仍为研究热点的梯度塑性（gradient plasticity）理论，其出发点和 Cosserat 理论是类似的，都是在分析中尽量考虑材料微结构的影响。补注 3：对称性与独立材料常数对于具有某种对称性质的弹性体，其独立弹性常数的个数可进一步减少。 (1) 具有一个弹性对称面的弹性体（三斜，triclinic）111213161222232613233336444545551626366600 00 00 0000 0000 00cccc cccc cccc cc cc cccc C(s-3.3)(2) 具有三个弹性对称面的弹性体（
6、正交各向异性，orthotropic）111213122223132333445566000 000 000 00000 00000 00000ccc ccc ccc c c c C(s-3.4)3(3) 具有一个弹性对称轴的弹性体（横观各向同性，transversely isotropic）111213121113131333444466000 000 000 00000 00000 00000ccc ccc ccc c c c C(s-3.5)其中。1112662ccc(4) 中心对称的弹性体（各向同性，isotropic） 200020002000000000000000000 C(s-
7、3.6)其中和为 Lam 常数，用工程常数表示为，(1)(1 2 )E2(1)E(s-3.7)二 、变形可能位移和静力可能应力、变形可能位移和静力可能应力满足方程(3.2)和(3.5)的位移和应变，称为变形可能位移和变形可能应变，将 变形可能应变代入(3.3a)计算所得的应力称为变形可能应力。满足方程(3.1)和(3.6)的应力称为静力可能应力，将静力可能应力代入(3.3b)所 得到的应变称为静力可能应变，如果相应此应变还有位移的话，就称为静力可能 位移。 通常称方程(3.2)和(3.5)为连续条件，称方程(3.1)和(3.6)为平衡条件。因此满 足连续条件的位移称为变形可能位移，满足平衡条件
8、的应力便是静力可能应力。变形可能位移记成，静力可能应力记成。k ius ij三 、变形能、变形能4线弹性体的比应变能（specific strain energy）定义为 11()22ijijxxyyzzyzyzzxzxxyxyU (3.7)其物理意义是微六面体的变形能。物体总的变形能为1dd2Tijij VVUU VV (3.8)对于各向同性材料，有22222222(1)1111d dd222T VEuvwuvwUxyzxyzwvuwvuxyzyzzxxy (3.9)从式(3.7)可以得到ij ijU(3.10)及c ij ijU(3.11)此两者分别为卡氏（Castigliano）第一和第
9、二定理。事实上对于一般的材料，我们可类似得到，ij ijU(3.12)及，c ij ijU(3.13)其中， 0dij ijijU 0dij cijijU(3.14)分别为比应变能和比应变余能，满足()()0ijcijijijUU (3.15)容易证明式(3.12)，(3.13)和式(3.15)三者是完全等价的（熊祝华和刘子廷，1988） 。对于线弹性材料，。cUU5Born: 9 Nov 1847 in Asti, Piemonte, Italy Died: 25 Oct 1884 in Milan, Italy Alberto Castigliano moved from the regi
10、on of his birth, Piedmont in northwestern Italy, to the Technical Institute of Terni in 1866. After four years in Terni, in Umbria, Castigliano moved north again, this time to become a student at the Polytechnic of Turin. After three years of study in Turin he wrote a dissertation in 1873 Intorno ai
11、 sistemi elastici for which he is famous. After graduating from the Polytechnic of Turin, Castigliano was employed by the Northern Italian Railways. He headed the office responsible for artwork, maintenance and service and worked there until his death at an early age. In his dissertation there appea
12、rs a theorem which is now named after Castigliano. This is stated in 1 as:- . the partial derivative of the strain energy, considered as a function of the applied forces acting on a linearly elastic structure, with respect to one of these forces, is equal to the displacement in the direction of the
13、force of its point of application. Castiglianos results contain the principle of least work as a special case and this was to lead to a dispute with Menabrea in which Castigliano came off less well than he had hoped.From: http:/www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Castigliano.html补注 4：高斯定理和格
14、林公式高斯定理的一般形式为. .d()djk jki iVBTVTnBx(s-3.8)其中为一任意阶的张量，为边界外法线的分量。上式可以写成更为简洁的形式.jkTin. ,.() d()djkijki VBTVTnB(s-3.9)对于零解张量即纯量，高斯定理给出,ddii VBVnB(s-3.10)或写成矢量形式ddVBVB(s-3.11)其中。对于一阶张量即矢量，高斯定理给出dd ABnS,ddj iji VBSVS nB(s-3.12)上式中和 都为自由下标。如果令，则有jiij,ddj jjj VBSVS nB(s-3.13)6写成矢量形式为ddVBVSSBgg(s-3.14)此即高斯公式或者散度定理。若记，则散度定理给出Sijkd()dxyz VBVnnnBxyz(s-3.15)上式也称为格林定理。进一步设，则上式给出uw0()ddddx VVVBuwwuVuVwVuwnBxxx(s-3.16)从而得到dddx VBVwuuVuwnBwVxx(s-3.17)为三维的分部积分公式。将上式进一步推广得到dddi iiVBVwuuVuwnBwVxx(s-3.18)对于二维问题，则有dddi iiSLSwuuSuwnLwSxx(s-3.19
