《高中数学 第二章函数、导数及其应用(2.4指数函数)【新】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章函数、导数及其应用(2.4指数函数)【新】（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数、导数及其应用函数、导数及其应用第四节第四节 指数函数指数函数【高考目标定位高考目标定位】一、考纲点击一、考纲点击1了解指数函数模型的实际背景；2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4知道指数函数是一类重要的函数模型。二、热点、难点提示二、热点、难点提示1指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数的图象与性质的综合应用同时考查分类讨论思想和数形结合思想；2幂的运算是解决与指数有关问题的基础,常与指数函数交汇命题。【考纲知识梳理考纲知识梳理】1根式（1）根式的概
2、念根式的概念根式的概念符号表示符号表示备注备注如果,那么叫做的nxaxa次方根n1nnN且当为奇数时,正数的次方根nn是一个正数,负数的次方根是n一个负数na零的次方根是零n当为偶数时,正数的次方根nn有两个,它们互为相反数(0)na a负数没有偶次方根（2） 两个重要公式两个重要公式；(0) (0)nnanaaaanaa 为奇数为偶数。()()nnnaaaa注意必须使有意义2有理数指数幂有理数指数幂（1）幂的有关概念）幂的有关概念正整数指数幂:;()nnaa aa nNg g L g14 2 4 3 个零指数幂:;01(0)aa负整数指数幂:1(0,);p paapNa正分数指数幂:;(0,
3、1)m nmnaaamnNn、且负分数指数幂: 11(0,1)m n mnm naamnNn aa、且0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质）有理数指数幂的性质aras=ar+s(a0,r、sQ);(ar)s=ars(a0,r、sQ);(ab)r=arbs(a0,b0,rQ);.3指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质y=axa100 时，y1;x0 时，01(3)在（-，+）上是增函数（3）在（-，+）上是减函数注：注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=c
4、x（4）,y=dx的图象，如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？提示：在图中作直线 x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1,cd1ab。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。【热点、难点精析热点、难点精析】一、指数幂的化简与求值一、指数幂的化简与求值1相关链接相关链接指数幂的化简与求值的原则及结果要求（1）化简原则化负指数为正指数；化根式为分数指数幂；化小数为分数；注意运算的先后顺序。注：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于 0，否则不能用性质运算。（2）结果要求若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；若题目以分数指数幂的形式给出，
5、则结果用分数指数幂表示；结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂。2例题解析例题解析例例 1（1）计算：25. 021 21 32 5 . 032 0625. 0)32. 0()02. 0()008. 0()945()833(；（2）化简：53323 3232 33231 34)2(248aaaa abaaabbbaa分析：分析：（1）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求。（2）因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算。解：解：（1）原式=41 32 21 32 )1000062
6、5(102450)81000()949()278(922)2917(2110242512537 94 ；（2）原式=51 31 2121 32 31 31231 31 31 231331 331 31)()(2)2()2()()2()(aaaa ababbaabaa232 31616531 3131 31 312)2(aaaaaabaabaa例例 2已知11 223xx，求2233 2223xxxx的值解解：11 223xx，11 222()9xx，129xx，17xx，1 2()49xx，2247xx，又3311 12222() (1)3 (7 1)18xxxxxx ，2233 222472
7、31833xxxx二、二、指数函数的图象及应用指数函数的图象及应用1相关链接相关链接（1）图象的变换1平移变换规律(1)水平平移：y=f(x+ )的图象，可由 y=f(x)的图象向左( 0), 或向右( 0)的图象，可由 yf(x)的图象上每点的横坐标伸长(00, 0) 的图象变换规律，是上述平移变换与伸缩变换结合在一起的特殊情况，这一变换规律对一般函数 y=Af(x+ ) (A0, 0)也成立。（2）从图象看性质函数的图象直观地反映了函数的基本性质图象在 x 轴上的身影可得出函数的定义域；图象在 y 轴上的身影可得出函数的值域；从左向右看，由图象的变化得出增减区间，进而得出最值；由图象是否关
8、于原点（或 y 轴）对称得出函数是否为奇（偶）函数；由两个图象交战的横坐标可得方程的解。2例题解析例题解析例例已知函数 y=()|x+1|。1 3（1）作出图象；（2）由图象指出其单调区间；（3）由图象指出当 x 取什么值时函数有最值。分析：分析：化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式作图象写出单调区间写出 x 的取值。解答：（1）由已知可得1 |1|11(1)1,333(1)x xxxyx 其图象由两部分组成：一部分是： 1111( ) (0)( )(1);33xxyxx 向左平移个单位另一部分是：113 (0)3(1).xxyxyx 向左平移个单位图象如图：（2）由图象知函数在上是增函数，
9、在上是减函数。(, 1 ( 1,) （3）由图象知当时，函数有最大值 1，无最小值。1x 三、指数函数的性质三、指数函数的性质1、相关链接、相关链接（1）与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法函数 y=af(x)的定义域与 y=f(x)的定义域相同；先确定 f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定 y=af(x)的值域；（2）与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤求复合函数的定义域；弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；分层逐一求解函数的单调性；求出复合函数的单调区间（注意“同增异减” ） 。2、例题解析、例题解析例例 11(江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中)已
10、知定义域为 R 的函数abxfxx122)( 是奇函数.（1）求 a,b 的值；（2）若对任意的Rt ，不等式0)2()2(22ktfttf恒成立，求 k 的取值范围.解 （1） 因为)(xf是 R 上的奇函数，所以1, 021, 0)0(babf解得即从而有.212)(1axfxx又由aaff 1121412) 1() 1 (知 ，解得2a（2）解法一：由（1）知,121 21 2212)(1xxx xf由上式易知)(xf在 R 上为减函数，又因)(xf是奇函数，从而不等式0)2()2(22ktfttf等价于).2()2()2(222ktfktfttf因)(xf是 R 上的减函数，由上式推得
11、.2222kttt即对一切, 0232kttRt有从而31, 0124kk解得解法二：由（1）知,2212)(1xx xf又由题设条件得0 221222121221222222 ktkttttt即0) 12)(22() 12)(22(2222212212ktttttkt整理得12232ktt，因底数 21，故0232ktt上式对一切Rt 均成立，从而判别式.31, 0124kk解得例例 2如果函数 f(x)=ax(ax-3a2-1)(a0 且 a1)在区间上是增函数，求实数的0,取值范围分析：先化简 f(x)的表达式，利用复合函数的单调性的方法求解，或利用求导的方法来解。解答：由题意得 f(x
12、)= （ax）2-（3a2+1）ax，令 t= ax。f(t)=t2-(3a2+1)t(t0).当 a1 时，t= ax在上为增函数，则此时 t1,0,而对于 f(t)而言，对称轴 t=2,231 2a 故 f(x)在上不可能为增函数；0,当 00x 12xx2122xx又0 0 即12(21)(21)xx12()()f xf x12()()f xf x在上为减函数。 8 分( )f x(,) （）因是奇函数，从而不等式： ( )f x22(2 )(2)0f ttftk等价于，.10 分222(2 )(2)(2 )f ttftkf kt 因为减函数，由上式推得：即对一切有：， ( )f x22
13、22ttkttR2320ttk.12 分从而判别式 .14 分14 120.3kk 【感悟高考真题感悟高考真题】1 （2009 四川卷文）函数)(21Rxyx 的反函数是A. )0(log12xxyB. ) 1)(1(log2xxyC. )0(log12xxyD. ) 1)(1(log2xxy【答案答案】C【解析解析】由yxyxyx 221log1log12 ，又因原函数的值域是0y，其反函数是)0(log12xxy2(2009 山东卷理)若函数 f(x)=ax-x-a(a0 且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 .【解析解析】: 设函数(0,xyaa且1a 和函数yxa,则函数 f
14、(x)=ax-x-a(a0 且 a1)有两个零点, 就是函数(0,xyaa且1a 与函数yxa有两个交点,由图象可知当10 a时两函数只有一个交点,不符合,当1a时,因为函数(1)xyaa的图象过点(0,1),而直线yxa所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是1a答案答案: 1a3 （2010 辽宁文数）辽宁文数） （10）设25abm，且112ab ，则m （A）10（B）10 （C）20 （D）100解析：解析：选 A.211log 2log 5log 102,10,mmmmab 又0,10.mmQ4.（2010 广东理数）广东理数）3若函数 f（x）=3x+3-x与 g（x）=3x-3-x的定义域均为 R，则Af（x）与 g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 Cf（x）与 g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g
