激光原理义

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1、第一章第一章 光学谐振腔理论光学谐振腔理论光学谐振腔是激光器不可缺少的组成部分。它的作用是提供激光振荡所必需的负反馈， 选择振荡模式，并且为激光输出腔外提供一定的耦合。 本章主要研究开放式光腔。这类光学谐振腔通常由线度有限的两面光学反射镜相距一 段距离共轴放置而形成。与微波波段的封闭式谐振腔相比较，光学开腔敞开了侧面边界， 以降低振荡的本征模式数目。两面反射镜之间的轴向距离，称为腔长。腔长远大于波长， 也远大于反射镜的线度，一般为厘米或米的量级。一面反射镜的反射率尽量接近，以减 小能量的损失，另一方面反射镜具有适当的透过率，以便能够输出一定的能量。 对于开腔式光腔的处理方法主要有两种，一种是建

2、立在衍射理论基础上的，另一种是 建立在几何理论基础上的。为了对谐振腔理论有个较全面的理解，本章对那些不能用几何 光学理论研究的谐振腔，则以方形对称共焦腔为例，采用衍射理论进行研究讨论，对于两 面球面腔等，采用几何光学理论的处理方法，其中包括一些等效方法。第一节 光学谐振腔概论如图 11 所示，考虑一个长、宽、高分别为矩形谐振腔中的本征模式，麦克斯lba,韦方程的本征解的电场分量为：ti zti yti xpnmpnmpnmezlpybnxamEtzyxEezlpybnxamEtzyxEezlpybnxamEtzyxE,sincossin),(sinsincos),(cossinsin),(00

3、0（1.11）其中波矢，（zzyyxxekekekkvvvvlpkbnkamkzyx/,/,/） ，谐振角频率：L, 3 , 2 , 1 , 0,pnm222,/ lpbnamckcpnm （1.12） （111）式表明在 x，y，z 三个方向上，每一个本征模式的空间分布都是稳定的驻 波分布，任意（m，n，p）表征一种空间驻波分布。每一个本征解代表场的一个模式，因此任意（m，n，p）代表一个模式，称为模指数。或者任意一个分立的波矢代表一个pmmk,v模式。在波矢空间中（图 22） ，相邻两个模式波矢之间的间距：xzyabc图 11 矩形三维空腔lkbkakzyx,（1.13）因此，一个模式在波

4、矢空间中占有体积：Vablkkkzyx33（1.14）其中为空腔体积。在波矢空间中，波矢绝对值在范围（球形壳层）内的体Vkdkk积为（为光频率） ，因此在频率范3242/8)8/1 (4cdkdk2/kcv d围内模式数目：。考虑到对于每一个波矢所代表的3224/4/8cdvVkkkdzyx模式存在两个独立的偏振方向，在单位体积、单位频率间距内模式数目（模式密度）:328 cpnmk.,v1, 1, 1pnmkvxkykzk图 12 波矢空间中的相邻两个模式（1.15） （1.1.5）式表明在空腔内，模式数目与频率的平方成正比。这个现象称为频谱浓缩。当频率在光波段时，空腔内存在大量允许的模式。

5、例如波长为的红光，在 1cm3m6326. 0体积内，1MHz 频率范围内，模式数目近似为：。但在微波波段（） ，同样5102cm1体积和频率范围内的模式数目只有几个，模指数 m，n，p0，1，2。 用这样一个三维空腔来构成一个微波谐振腔，可以实现单模振荡。但构成光学谐振腔， 由于腔内存在大量模式，不易实现单模振荡。假设将 z 方向的限制去掉，成为 z 方向开放 两维矩形谐振腔，则沿 z 方向传播的光不能形成振荡，振荡模式将减少，此时模式密度为：（1.16）24 c进一步将 y 方向或 x 方向限制去掉，成为两维开放的一维谐振腔，实际上成为一个法布里 珀罗干涉仪结构，模式密度将变为一个常数。这

6、就是最早提出的光学谐振腔，是两维开 放两个平面反射镜平行放置的光学谐振腔。 这样一个横向边界开放的光学谐振腔，有没有电磁波本征模式，怎样求解本征模式， 是曾经受到置疑的一个问题。1960 年，Fox.Li 等建立了基于衍射效应的模式自再现积分方 程，并用数值求解模拟了平行平面镜腔模式自再现的过程。第一台红宝石激光器的实现证 明了由两个平面反射镜平行放置、两维开放的光学谐振腔能够形成稳定光学振荡。在对称 共焦腔条件下，自再现积分方程成为可分离变量的积分方程。该方程在光轴附近的解为厄 密高斯函数。此结果可推广到一般球面稳定腔。高斯光束在光学系统中的变换理论使得 上述结果可以进一步推广到多元件光学谐

7、振腔中。开放稳定光学谐振腔的模式问题得到较 为完满的解决。但平面反射镜构成的光学谐振腔，只有传播方向垂直于镜面的模式能够在 两镜之间振荡，传播方向偏离垂直镜面方向哪怕是很小的角度，光就很快从反射镜边缘折 射出腔外。因此，很快就提出了由两个球面反射镜构成开放球面反射镜腔。光在两个球面 反射镜构成的光学谐振腔中传播时，傍轴光线在两个球面反射镜之间反射情况决定于两个 球面反射镜的曲率半径和他们之间的距离。用几何光学理论可以将其分为稳定腔、临界腔 于非稳定腔。非稳定腔的自再现模式可用球面波或平面波近似。光在两个球面反射镜之间 的传播，等效于在等间距的系列透镜构成的透镜波导中的传播。波动方程在透镜波导中

8、的 传播，可在傍轴近似下对波动方程进行求解。这是求解开放球面谐振腔模式的另一种方法。实际激光器的横向边界并不是真正完全不受约束。气体放电激励的气体激光器，一般 是在园放电管或陶瓷矩形波导中放电，当放电管直径较小时，光束实际上在横向受到一定 的约束。这种腔称为气体波导腔。这种腔的横模结构通过求解波动方程在波导中的本征解 得到。 半导体激光器的谐振腔是一种波导结构。光增益区域被高折射率的介质包围，形成类似 于光纤的波导。其横模结构也通过求解波动方程的本征解得到。气体波导腔和半导体激光 的模式分析不在本书中涉及。在分析谐振腔模式结构之前，我们讨论激光器的振荡条件。 为简单起见，考虑平行平面镜腔（图

9、13） 。假设两平面反射镜之间充满了激活介质， 激活介质的光增益系数定义为lIIG)/ln(0（1.17）其意义是光强为的光波，从长为 的介质棒的端面内出发（不考虑端面反射） ，达到另一0Il端面时光强为。当很弱时，增益系数与光强无关。称为小信号增益系数。I0I0GG 0G经过长为 的介质棒，光强指数增加。考虑到可能的损耗，光强应为llGeII00（1.18）lGeII)( 00为损耗系数。由于光强正比于光波电场振幅的平方，初始电场振幅为的平面光波，0E经过长为 的介质棒后，电场为l（1.19）ikllGeElE2/)( 00)(设反射镜 M1、M2的振幅透射率分别为、，振幅反射率分别为、。假

10、设初始时从1r2r1t2tM1镜入射振幅为的平面波，透过 M1镜并经过长为 的增益介质，从 M2镜透射，场为0ElikllGettEE2/)( 210)0(0（1.110） 在腔内往返一周后，从 M2镜透射，场为kliGettrrEE32/3)( 21210)1(0（1.111） 在腔内往返 n 周后，场为)12)(2/)( 21210)(0nikllGnnnettrrEE（1.112） 从 M2镜透射的场为多光束干涉ikllGikllGnikllGnnnnnerrettEettrrEEE2)( 212/)(2100)2/)(12( 21220 0)(0001（1.113）自激振荡意味着对于初

11、始极其微弱的入射场，会产生有限输出场。因此0EE0/ EE（1.114）从而012)( 210ikllGerr（1.115） 上式可分解为两个条件2)ln(), 3 , 2 , 1 , 0(22210rrGqqklLL（1.116）1 第一式表示平面波从腔内任意位置出发，在腔内往返一周后，相位滞后为的整数倍，2 形成最大相干增长。这个条件也称为光学正反馈条件。写成频率表达式，这个条件为qlcq2（1.117） 可见有无穷多个等间距的分立频率满足振荡要求。考虑到横模结构后，这个条件将作修改。 详细情况将在第五节再作说明。初始入射波0E10tEikllGettE2/)( 2100ikllGertE

12、2/)( 2100liklGertE22/2)( 2100liklGetrrE22/2)( 12100liklGetrrE32/3)( 12100 kliGettrrE32/3)( 212100liklGetrrE242/4)(2 12 2100ikllGetE2/)( 100liklGetrrE32/3)( 12 2100liklGetrrE242/4)( 12 22 100liklGetrrE52/5)( 12 22 100 kliGettrrE52/5)( 212 22 100)12)(2/)(212100nikllGnnettrrE图 13 腔内填充增益介质平面反射镜腔的多光束干涉输出

13、2 第二式表示自激振荡的能量要求，表示从增益介质获取的能量等于损耗的能量。这个 条 件实际上是稳定振荡的条件，即从增益介质获取的能量等于损耗能量。但是真正稳定振荡 条件因该考虑到增益介质的饱和效应（第五章） 。在饱和效应下，增益系数比小信号增益系 数低。此条件应为lrrG)ln(210（1.118） 损耗包括两部分，一部分为腔内损耗，另一部分为两个反射镜透射损耗。表示成光强反射率（） ，此条件为2 2)2(2 1)1(,rRrRlRRG2)ln()2()1( 0（1.119）实际激光器一般把一个反射镜作成全反射镜（，另一个作成部分透射镜（) 1)1(R。此时（1.119）式为)1)2(TRlT

14、G2)1ln(0（1.120） 实际激光器并不需要初始从腔外输入微弱场以触发自激振荡。腔内初始一个光子的微 弱自发辐射即可以使激光器振荡。这和电路振荡器的情况类似。练习 1 与电路振荡器比较，讨论（1.116）所代表的两个振荡条件的物理意义。练习 2. 说明振荡条件为什么又叫驻波条件。当其中一个反射镜有的反射相移qkL22时 这个公式应该怎样修改？ 练习 3. 推导公式（1.117） 。第二节 开放光学球面谐振腔的稳定性1.2.1 光线变换矩阵光线变换矩阵几何光学中常见的光学系统，往往是由各种均匀介质、非均匀介质、透镜、反射镜、 折射率突变的界面以及它们的组合而构成的。当光线入射到光学系统的一

15、个参考平面RP1，由从另一个参考平面 RP2出射时，光线的参数发生变化。在几何光学中，光线的参数 可以用离开传输轴线的距离 r 以及光线传输方向与轴线的夹角表示。光学系统对光zz 线的变换作用，在旁轴光线近似下，是用变换矩阵（传输矩阵）所代表的。在所讨论的轴对称系统的情况下，光线用矩阵表示，光学系统的变换矩阵用矩阵表示，其变 r DCBA换关系为：（1.2-1） 111122 rTrDCBAr其中下标 1，2 分别代表入射、出射参考平面处的光线参数。与的符号规定如图 1-3 所r 示。图 1-3 r 与 符号的规定常见的光学系统变换矩阵如表 1-1 所示。在该表给出的变换矩阵中，一部分变换矩阵 是对折射光线而言，另一部分变换矩阵是对透射光线而言，分别称为折射矩阵和透射矩阵。表中还涉及球面反射镜或者介质分界面，必须规定球面曲率半径 R 的符号。本书中规 定当球