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1、 佳绩改变未来惠州校区：麦科特大道“升辉苑”A 栋四楼（西枝江桥头名成家居旁） 辅导热线：07522119996- 1 -数列知识点数列知识点1数列数列（1）数列的一般形式：，简记作 。1a2a3ana na通项公式定义：如果数列的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个na公式就叫这个数列的通项公式。说明：表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式； nananna f n同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如， = =；不是每na( 1)n1,21()1,2nkkZnk个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414， （2）数列的函数特征与图象表示：
2、 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函 数观点看，数列实质是特殊的函数，是定义在正整数集（或它的有限子集 1，2，3，n， ）上的函数 f（n） ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函 数值：f（1） ，f（2） ，f（3） ，f（n） ，数列的图象是由一群孤立的点构成的。 （3）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项 与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列。 2等差数列等差数列（1）定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的
3、前一项的差2 等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通 常用字母表示。用递推公式表示为或。d1(2)nnaad n1(1)nnaad n说明：等差数列定义 an1and（常数） （n N） ，这是证明一数列是等差数列的依据， 要防止仅由前若干项，如 a3a2a2a1d（常数）就说an是等差数列这样的错误。（2）等差数列的通项公式：；可整理成 andn（a1d） ，当 d0 时，1(1)naandan 是关于 n 的一次函数，它的图象是一条直线上，那么 n 为正整数点的集合。 说明：等差数列的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。d00d 0d （3）等
4、差中项的概念：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其aAbAab中 ，成等差数列2abAaAb2abA（4）等差数列的前和的求和公式：可以整理成n1 1()(1) 22n nn aan nSnadSnn2，当 d0 时是 n 的一个常数项为 0 的二次函数。2dnda)2(1（5）等差数列判定方法： 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列； nadaann1 na等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。 na212nnnaaa na（6）等差数列性质：佳绩改变未来惠州校区：麦科特大道“升辉苑”A 栋四楼（西枝江桥头名成家居旁） 辅导热线：07522119996- 2 -在等差数列
5、中，对任意，； namnN()nmaanm d在等差数列中，若，且，则。 namnpqNmnpqmnpqaaaa说明：设数列是等差数列，且公差为， （1）若项数为偶数，设共有项，则nad2n奇偶； ；（2）若项数为奇数，设共有项，则偶SSnd1nnSa Sa奇偶21nS奇；。 （3）仍成等差数列Snaa中1Sn Sn奇偶L,232mmmmmSSSSS（7），时，有最大值；，时，有最小值；10a 0d nS10a 0d nS最值的求法：若已知，可用二次函数最值的求法（） ；若已知，则nSnSnNna最值时的值（）可如下确定或nSnnN100nnaa 100nnaa 3. 等比数列：等比数列：（1
6、）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的 比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公 比通常用字母表示。 （2）等比数列通项公式为：。q(0)q )0(11 1qaqaan n 说明：由等比数列的通项公式可知：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列1d （3）等比中项：如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做ba与GbGa,G 的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 。ba与 （4）等比数列前 n 项和公式：一般地，设等比数列的前 n 项和是123,na a aaLLnS，当时， 或；当 q=1 时，123naaaaL1
7、qqqaSnn1)1 (11 1n naa qSq1naSn（5）等比数列判定方法定义法：对于数列，若，则数列是等比数列； na)0(1qqaann na等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。 na2 12nnnaaa na（6）等比数列性质 等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，nanmam且，公比为，则有；nm qmn mnqaa对于等比数列，若，则； navumnvumnaaaa若数列是等比数列，是其前 n 项的和，那么，成等 nanS*Nk kSkkSS2kkSS23 比数列。注意：递减递增，则若1010nnn aqaqa递增递减，则若1010nnn a
8、qaqa数列常数1naq典例解析：等差数列典例解析：等差数列例 1数列中，已知， na21()3nnnanN佳绩改变未来惠州校区：麦科特大道“升辉苑”A 栋四楼（西枝江桥头名成家居旁） 辅导热线：07522119996- 3 -（1）写出，； （2）是否是数列中的项？若是，是第几项？10a1na2na2793解析：（1），21()3nnnanN10a21010 1109 33，； 1na2211131 33nnnn2na 2224211 33nnnn（2）令，解方程得，279321 3nn15,16nn 或， 即为该数列的第 15 项。nN15n 2793 例 2 （2001 天津理）设 Sn
9、是数列an的前 n 项和，且 Sn=n2，则an是（ ） A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列 答案：B；解法一：an= an=2n1（nN） )2( 12) 1( 1 )2( ) 1( 11 nnnanSSnSn nn又 an+1an=2 为常数，常数12121 nn aannan是等差数列，但不是等比数列.解法二：如果一数列的和是一个没有常数项的关于 n 的二次函数，则数列必是等差数列。例 3 （2006 年全国卷 I）设是公差为正数的等差数列，若， na12315aaa，则（ ）12380a a a 1112
10、13aaaA B C D1201059075解析：12322153155aaaaa， 1232228080a a aad aad，将25a 代入，得3d ，从而11121312233103530105aaaaad 。选 B。例 4 （1） （2005 湖南 16）已知数列为等差数列，且)1(log* 2Nnan. 9, 331aa（）求数列的通项公式； （）证明na. 111112312nnaaaaaaL解析：（1） （I）解：设等差数列的公差为 d。)1(log2na由即 d=1。, 8log2log)2(log29, 322231daa得所以即,) 1(1) 1(log2nnan. 12
11、n na佳绩改变未来惠州校区：麦科特大道“升辉苑”A 栋四楼（西枝江桥头名成家居旁） 辅导热线：07522119996- 4 -（II）证明因为，nnn nnaaa21 2111 1 所以n nnaaaaaa21 21 21 21111321 12312LL. 121121121 21 21 nn例 5 （1）若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ） A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项 （2） （2001 全国理）设数列an是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ） A.1 B.2
12、 C.4 D.6（3） （2006 年全国卷 II）设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若，则（ 36S S1 3612S S ）A B C D3 101 31 81 9 解析：（1）答案：A设这个数列有 n 项 dnnnaSdndaSSSdaSnnn2) 1(63322331133133902) 1(146)2(3334)(3111dnnnandadan13（2）答案：B前三项和为 12，a1a2a312，a2433Sa1a2a348，a24，a1a312，a1a38， 把 a1，a3作为方程的两根且 a1a3，x28x120，x16，x22，a12，a36（3）答案为 A； 例 6 （1
13、） （2002 上海春）设an （nN*）是等差数列，Sn是其前 n 项的和，且 S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（ ） A.d0B.a70 C.S9S5D.S6与 S7均为 Sn的最大值 （2） （1994 全国理）等差数列an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ ）佳绩改变未来惠州校区：麦科特大道“升辉苑”A 栋四楼（西枝江桥头名成家居旁） 辅导热线：07522119996- 5 -A.130 B.170 C.210 D.260 解析：（1）答案：C； 由 S50， 又 S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0， 由 S7S8，得 a8S5，即 a6+a7+a8+a902（a7+a8）0， 由题设 a7=0，a80 anan1=5 (n2)。 当 a1=3 时，a3=13，a15=73，a1, a3,a15不成等比数列 a13； 当 a1=2 时,，a3=12， a15=72，有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3。佳绩改变未来惠州校区：麦科特大道“升辉苑”A 栋四楼（西枝江桥头名成家居旁） 辅导热线：07522119996- 6 -例 3 （1） （2006 年辽宁）在等比数列中,前项和为,若数列也是等 na12a nnS1na 比数列，则等于（
