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1、2015 年山东财经大学 数学建模竞赛参赛队员：基于灰色预测和多元线性回归分析的房地产预测模型及其基于灰色预测和多元线性回归分析的房地产预测模型及其价格的影响因素价格的影响因素摘要摘要：房地产价格是房地产业运行的“晴雨表” 。 近年来，房地产行业在飞速发展的同时其价格的飞涨也引发了社会资源配置失衡、产业结构失调、购房难等各种经济和社会问题。尽管中央和地方各级政府纷纷出台了一系列宏观调控政策和措施，但实际上全国房价一直在高速上升，房价仍未得到有效控制。这既有调控措施方向不准、力度不够的原因，也有房地产价格的影响因素错综复杂而难以调控。因此，研究房地产价格的影响因素并对房价的未来发展趋势进行预测就
2、显得十分重要。首先，本文分析了许多可能影响房价的因素并作出了层次分析图，结合 2011-2014 年通过作图拟合从中挑选出四个主要因素，即济南市 GDP，城市居民可支配收入，房屋贷款利率，商品房平均售价。其次，对于模型的选择，考虑到影响因素众多，不能全部考虑，而且有部分数据不全，同时采用了多元线性回归和灰色预测（GM(1，1)）对未来房价走势进行预测，结果显示房价总体呈上升趋势。关键词关键词：济南市房价预测 灰色预测 多元线性回归分析 数学模型GM(1,1)预测一、一、问题重述问题重述房地产价格问题一直是引起广泛争论的热点问题。1998 年以来，房地产业经历了巨大的变革，消费者住房条件有了很大
3、的提升。但是在房地产业快速发展的同时也带来了很多问题，其中最为突出的是房价上涨过快。伴随着一些宏观调控措施的出台，房价成为社会焦点问题。然而基于房地产业在消费投资中所处的地位，其价格的波动有着广泛的影响。所以，分析房地产价格的影响因素并提出合理的建议和解决办法是至关重要的。1、分析影响房价的主要因素。2、建立中短期的房价预测模型。3、收集济南地区 2011-2014 的房价资料，用前述模型预测2015-2020 年的房价。4、根据预测的结果，提出建议。1 1、基本假设基本假设1) 预测时不涉及自然灾害的影响2) 假设影响房价的各因素间是相互独立的3) 查询的数据在误差允许范围内真实有效4) 忽
4、略政策出台的各项政策的影响5) 忽略各城市某个时段特殊活动的影响6) 人民买房没什么偏好；2 2、符号说明符号说明y房价相关系数X自变量矩阵Y因变量矩阵n样本数k影响因素的数目随机误差模型参数GDP城市居民可支配收入房屋贷款利率商品房销售价格3 3、问题分析及模型建立和求解修正问题分析及模型建立和求解修正(一)对济南市房价的影响因素的分析通过对有关资料的分析，我们对影响房价的因素作出如下层次分析图：房价人 均 可 支 配 收 入人 均 消 费 支 出住 房 支 付 能 力 合 理 指 数消 费 者 物 价 指 数房 屋 平 均 造 价地 价贷 款 利 率人 均 占 有 面 积税 收 政 策货
5、币 政 策土 地 政 策消费者购买 力开发成本供求关系政府调控房 屋 竣 工 面 积图 1 房价影响因素层次分析图1）消费者购买力与房价。消费者购买力的增加是影响房价上涨的主要因素。改革开放以来，我国居民收入大幅度增加，恩格尔系数食品占总支出的比重明显下降，消费结构不断升级，投资能力越来越强。随着居民收入的大幅度上升，人均可支配收入也会相应增加，这会在一定程度上刺激消费，而购置房产是居民比较理性的选择，在这种购房需求的拉动下，房价必然会保持上涨趋势。2）建筑成本与房价。建筑成本的增加是房价上涨的又一重要原因。建筑成本是以房地产开发项目有关的各种费用,包括土地成本、材料成本以及劳动力成本等因素。
6、随着物价水平的上涨，土地成本、材料成本以及劳动力成本等均有了不同程度的增加，各种因素加权起来对房价上涨的推动力量是不容忽视的。3）供求关系与房价。众所周知，供需关系是影响价格最基本也是最主要的因素,当然房地产价格也不例外。4）政府调控。政府调控与房地产房产具有较强的公共产品“属性” ，也就是说其发展变化和波动等与政府经济社会发展政策及宏观调控有高度关联性。房地产涉及货币信贷、土地、规划、财税、社会保障等各个环节，受政策性影响很大。房地产市场的发展变化在很大程度上受制于政府经济与社会发展政策取向。通过以上分析，我们对房价有了比较深层次的认识，但去逐一的分析每个因素是不可能的，能的，通过各因素与房
7、价的相关性分析，选取主要的影响因素来预测房价未来的走势。选取四种主要影响因素：年份年份济南市济南市 GDP(亿元亿元)城镇居民可城镇居民可 支配收入支配收入(万元万元)房屋贷款利房屋贷款利 率（率（%）商品房平均商品房平均 销售价格（元销售价格（元/ 平方米）平方米）20114400.0025321.14.006698.3620124812.6332570.04.456832.4420135150.0035648.04.007152.0020145230.1938000.03.757383.22以下是针对四中影响因素做出的散点图：（1）GDP（亿元）经计算： =0.9346,可得房价与 GDP
8、 呈正相关 图 2 房价与济南市 GDP 间的散点图 （2）城镇居民可支配收入（万元）图 3 房价与城镇居民可支配收入间的散点图 经计算： =0.8895,可得房价与城镇居民可支配收入呈正相关（3）房屋贷款利率（%）图 4 房价与房屋贷款利率间的散点图 经计算： =-0,8895,可得房价与呈正房屋贷款利率呈负相关 (4)年末总人口数（万人）图 5 房价与年末总人口数间的散点图 经计算： =0.9924 可得房价与年末总人口数呈正相关（5）城市化率（%）经计算：=0.8837 可得房价与城市化率呈正相关。 图 6 房价与城市化率间的散点图（6）商品房平均销售价格（元/平方米）图 7 房价与商品
9、房平均销售价格间的散点图在假设条件下通过函数拟合可知房价与其主要影响因素之间呈正相关关系（除与房屋贷款利率呈负相关关系以外） 。且经修正 (决定系数)越大（接近于 1），它们之间的关系越密切，拟合的效果越好。 所以城市化率因素不予考虑。综上所述，可知影响房价的主要因素为济南市 GDP，城市居民可支配收入，房屋贷款利率，商品房平均售价。(二)通过建立模型对济南市未来 5 年房价的预测及模型求解与修正利用多元线性回归我们建立模型如下：=+ (i=1,2,，n; j=1,2,n)令，x= ,其中 k=4，n=4。程序如下： clear all y=8556 8589 8735 8729; x1=44
10、00.00 4812.63 5150.00 5230.19; x2=25321.1 32570.0 35648.0 38000.0; x3=606.64 609.21 681.40 681.40; X=ones(4,1), x1,x2,x3; b,bint,r,rint,stats=regress(y,X); b,bint,statsb =1.0e+003 *6.86420.0003-0.00000.0012bint =NaN NaNNaN NaNNaN NaNNaN NaNstats =1.0000 NaN NaN NaN r,rintr =1.0e-011 *-0.36380-0.1819
11、0rint =NaN NaNNaN NaNNaN NaNNaN NaN所以预测济南房价模型为：Y=6.8642*x1+0.0003*x2+0.0012*x34 4、模型结果检验与分析模型结果检验与分析检验代码： clear clc x=rand(50,10);y=rand(50,1); % example n,k=size(x);X=ones(n,1),x;%构建结构阵 X， A=X*X; %求算信息阵 A， C=inv(A); %求算信息阵的逆阵， b=Xy, % 求算回归统计数向量，其中第一行为回归截距 a, RSS=y*y-b*X*y, %求算离回归平方和， MSe=RSS/(n-k-1
12、),%求算离回归方差， Up=b.*b./diag(C);%求算偏回归平方和，其中第一行是 a 与 0 差异的偏平方和， F=Up/MSe,%F 测验，其中第一行为 a 与 0 差异的 F 值， sb=sqrt(MSe*diag(C); %求算回归统计数标准误， t=b./sb, % 回归统计数的 t 测验，其中第一行为 a 与 0 差异的 t 测验值。 t, t.2, F,%验证 t2=F SSy=var(y)*(n-1) R2=(SSy-RSS)/SSyb =0.5742-0.26200.0869-0.11150.0100-0.02370.24100.2190-0.2031-0.1188-
13、0.0336RSS =3.2205MSe =0.0826F =4.37093.07560.28710.40000.00460.02341.88011.71321.38430.48750.0607t =2.0907-1.75370.5358-0.63240.0677-0.15291.37121.3089-1.1765-0.6982-0.2465ans =2.0907 4.3709 4.3709-1.7537 3.0756 3.07560.5358 0.2871 0.2871-0.6324 0.4000 0.40000.0677 0.0046 0.0046-0.1529 0.0234 0.0234
14、1.3712 1.8801 1.88011.3089 1.7132 1.7132-1.1765 1.3843 1.3843-0.6982 0.4875 0.4875-0.2465 0.0607 0.0607SSy =4.0970R2 =0.2139 对于复杂的多变数非线性关系的分析，统计上应以离回归方差（MSe）最小为佳。MSe=RSS/(n-k-1), RSS 为离回归平方和，n 为观察值组数，k 为模型的效应项数（不包括常数项）。根据检验可知，本建模 MSe 为 0.0826,比较小，效果较佳。用用 MATLAB 实现灰色预测基于实现灰色预测基于 GM11 模型：模型：functionX,
15、c,error1,error2=GM11(X0,k)%建立函数X,c,error1,error2=GM11(X0,k) %其中 X0 为输入序列，k 为预测长度， %X 为预测输出序列，c 为后验差检验数，error1 为残差，error2 为相对误差 format long; n=length(X0); X1=; X1(1)=X0(1); for i=2:nX1(i)=X1(i-1)+X0(i);%生成累加序列 end for i=1:n-1B(i,1)=-0.5*（X1(i)+X1(i+1)）;%计算 B,YnB(i,2)=1;Y(i)=X0(i+1); endalpha=(B*B)(-1
16、)*B*Y;%作最小二乘估计 a=alpha(1,1); b=alpha(2,1);d=b/a;%计算时间响应函数参数 c=X1(1)-d; X2(1)=X0(1); X(1)=X0(1); for i=1:n-1X2(i+1)=c*exp(-a*i)+d;X(i+1)=X2(i+1)-X2(i);%计算预测数列 end for i=(n+1):(n+k)X2(i)=c*exp(-a*(i-1)+d;%计算预测数列X(i)=X2(i)-X2(i-1); end for i=1:nerror(i)=X(i)-X0(i);error1(i)=abs(error(i);%计算残差error2(i)=erro
